1+2+3+...+n

[inviteb5e76414]

Comme tout le monde, j'ai du attendre la terminale et l'étude des suites récurrentes pour calculer le résultat de la suite 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2.

Pourtant, il y a une "démonstration" de cette formule qui est accessible à un enfant de 8 ans et qui s'explique en 2 minutes, la connaissez-vous ?

Je met le mot démonstration entre guillement parce qu'on peut toujours discuter de la notion de preuve en mathématique... Toujours est-il que la "preuve" que j'apporte est raisonnable, et encore une fois compréhensible par un enfant de 8 ans "donc" c'est une démonstration. Vous pourrez tester avec vos enfants.
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[invite4793db90]

Salut,

et c'est quoi ta démonstration ?

Cordialement.

[invitea513d05a]

Bonsoir,

On regroupe le 1er terme avec le dernier, puis le 2ème terme avec l'avant dernier ainsi de suite.
Ce qui donne [1+n]+[2+(n-1)].... à vous de voir la suite

A+

[invite8241b23e]

Salut !

Ben oui, le démonstration est dans tous les livres de 1ère S je dirais, et elle est vue en cours il me sembe...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

On regroupe le 1er terme avec le dernier, puis le 2ème terme avec l'avant dernier ainsi de suite.
Ce qui donne [1+n]+[2+(n-1)].... à vous de voir la suite

Bonjour,

Oui, c'est très classique et souvent vu en cours. Il faut juste faire gaffe quand il y a un nombre impair de termes...

-- françois

[inviteb5e76414]

Oui sur le principe c'est ça mais ça reste du niveau 1ère ou terminale. Pour un plus jeune, il faut le visualiser.

En dessinant un triangle composé de petits carrés, en en mettant un deuxième, en le retournant et en l'emboitant dans le premier pour avoir un rectangle.

Ensuite le gamin sait faire la multiplication et diviser par deux.


Graphiquement il le comprend et il peut le retenir alors que les démonstrations à base de formule, c'est impossible pour lui.

[inviteeb34af4c]

way-jouannes, je suis impressionnée, c très bien dit ce que tu dis sur la pédagogie avec un enfant. j'aime le concept je tacherai de m'en souvenir en temps voulu. merci

[invitebeb55539]

Salut.

On est censé en faire quoi du rectangle avec des carrés dans l'une des moitiés ?

Bonne continuation.

[invite6de5f0ac]

Salut.

On est censé en faire quoi du rectangle avec des carrés dans l'une des moitiés ?

Bonne continuation.

Bonsoir,

On en fait ça (j'ai mis des O et des X à la place des carrés), pour N=4, ça devrait rester lisible :
XXXX
OXXX
OOXX
OOOX
OOOO
ou encore:
OXXXX
OOXXX
OOOXX
OOOOX

-- françois

[invitebeb55539]

Il m'aura fallu du temps, merci pour l'aide.
Pour ma défense, des triangles emboités comme cela, ça ne fait pas un rectangle, les pointes dépassent .

Bonne continuation.

[_Goel_]

moi, on me l'avait expliqué comme ca :
__S =____ 1 _+__2_+.....+(n-2)+(n-1)+ (n)
+_S = n+(n-1)+(n-2)+......+ 2 _+__1
------------------------------------------
2.S = [n + n + n + .... + n + n] + n

d'où :
2.S = n.n___________________ + n
2. S = n.n+n = n[n+1]

=> S =n[n+1]/2

[invitead59725c]

Il y a qques années on m'avait montrer une manière très simple de calculer la somme des entiers de 1 à 100 ...

Si on additionne le premier et dernier therme on obtient 101
Pariel avec la somme entre le seconde et avant dernier qui donne 101 et ainsi de suite, on obtient donc 50 résultats égales à 101 => 50x101=5050 ...

Après savoir si c'est accéssible à un enfant de 8 ans je sais pas mais c'est une facon simple de trouver le résultat de la somme des entiers de 1 à 100 ...

[invite41d87764]

C'est marrant que trois personnes disent trois fois la même chose sans même s'en rendre compte (sauf pour le premier qui n'est pas impliqué évidemment)...

[_Goel_]

J'ai quand même la prime de la démonstration la plus mathématique, non !
!

[invite4793db90]

Salut,

j'interviens juste pour signaler que Gauss a écrit dans ces mémoires que son instituteur avait demandé (pour avoir la paix selon la légende) la somme des cent premiers entiers et que c'est à cette occasion qu'à l'âge de 6 ou 8 ans (je ne me souviens plus) il avait redécouvert le principe et répondu rapidement, à la surprise du maître.

C'est un peu tarte à la crème, mais bon, tout le monde ne connaît pas cette anecdote.

Cordialement.

[invitead59725c]

Salut,

j'interviens juste pour signaler que Gauss a écrit dans ces mémoires que son instituteur avait demandé (pour avoir la paix selon la légende) la somme des cent premiers entiers et que c'est à cette occasion qu'à l'âge de 6 ou 8 ans (je ne me souviens plus) il avait redécouvert le principe et répondu rapidement, à la surprise du maître.

C'est un peu tarte à la crème, mais bon, tout le monde ne connaît pas cette anecdote.

Cordialement.

C'est justement partant de cette histoire qu'on m'a expliqué ce que j'ai dit (et répété après deux autres personnes ) puisqu'on m'avait expliqué que Gauss avant pratiqué de cette manière ...

[invite7d63eef1]

Mais Gauss était un génie d'exception !! Son père tenait une entreprise de je sais plus quoi. A trois ans, le petit Gauss aidait son père à faire les comptes... Un génie fabuleux, et puis, découvrir cette formule à 8 ans, c'est tout bonnement extraordinaire lol !

[invitee43bd3c5]

Salut !

Ben oui, le démonstration est dans tous les livres de 1ère S je dirais, et elle est vue en cours il me sembe...

bonjour moi je l'ai meme vu en seconde dans le cadre d'un Dm et c'est de la facon de Goel qu'il fallait faire et le demontrer
cordialement

[invitefe0032b8]

Salut,

Mais Gauss était un génie d'exception !!

Il a fait sa thése à 14 ans
désolé pour le hors sujet

[invite1a299084]

Je l'ai vu sur mon bouquin de maths, ils disent que Gauss a épaté toute sa classe avec cette démonstration. Et en + je trouve ça intéréssant. Mais comment il a fait pour trouver ça?

[piwi]

Il a constaté que 1+100=101, que 2+99 =101 que 3+98=101, du coup on en arrive à 1+2+3+...+100=101x50=5050 et ca se généralise par (1+n)xn/2

Remarque que l'on peut encore généraliser le basard ainsi:
a+a+1+a+2+a+3+...+a+n
On constate que l'on retrouve notre série 1+2+3+...+n et que l'on a (n+1)a. Du coup la somme a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+...+(a+n)= (1+n)xn/2+(n+1)a= (n+1)(2a+n)/2

exemple:
Si on a 3+4+5+6+7=3+(3+1)+3+(2+3)+(3+3 )+(3+4)=(4+1)(6+4)2=21

[inviteba01f777]

C'est marrant que trois personnes disent trois fois la même chose sans même s'en rendre compte (sauf pour le premier qui n'est pas impliqué évidemment)...

La repetition est a la base de la pedagogie !!! Et si on y regarde d'un peu plus pret, meme si certes, l'objectifs des 3 demonstrations est la meme, la facon de les presenter et donc d'etre percu par le public est totalement differente. Je m'explique :

yty propose un debut de demonstration qui necessite une reflexion de la part du lecteur pour comprendre ou il faut arriver. L'eleve est donc directement implique, c'est a lui de trouver...

goel nous donne une demonstration propre d'un point de vue mathematique mais sans doute un peu abscons pour certain !

et leito prend un exemple concret, parlant, avec des chiffres, et qui est celui qui passe le mieux je pense

En definitive, 3 aspects pedagogique differents : tout d'abord essayer de faire trouver la solution a l'eleve (tres valorisant et permet de destigmatiser les difficultes du probleme), la partie theorique rigoureuse, indispensable certes mais qui heurte souvent les eleves si elles presentées d'un bloc et enfin, l'exemple concret, parlant, avec des chiffres parce que bon, les maths avec des x et des n a gogo, ca va 5 minutes

Peut on donc dire que c'est 3 fois la meme chose ?