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1+2+3+...+n



  1. #1
    way-jouannes

    Lightbulb 1+2+3+...+n


    ------

    Comme tout le monde, j'ai du attendre la terminale et l'étude des suites récurrentes pour calculer le résultat de la suite 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2.

    Pourtant, il y a une "démonstration" de cette formule qui est accessible à un enfant de 8 ans et qui s'explique en 2 minutes, la connaissez-vous ?

    Je met le mot démonstration entre guillement parce qu'on peut toujours discuter de la notion de preuve en mathématique... Toujours est-il que la "preuve" que j'apporte est raisonnable, et encore une fois compréhensible par un enfant de 8 ans "donc" c'est une démonstration. Vous pourrez tester avec vos enfants.

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : 1+2+3+...+n

    Salut,

    et c'est quoi ta démonstration ?

    Cordialement.

  3. #3
    yty

    Re : 1+2+3+...+n

    Bonsoir,

    On regroupe le 1er terme avec le dernier, puis le 2ème terme avec l'avant dernier ainsi de suite.
    Ce qui donne [1+n]+[2+(n-1)].... à vous de voir la suite

    A+

  4. #4
    invite19431173

    Re : 1+2+3+...+n

    Salut !

    Ben oui, le démonstration est dans tous les livres de 1ère S je dirais, et elle est vue en cours il me sembe...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    fderwelt

    Re : 1+2+3+...+n

    Citation Envoyé par yty Voir le message
    On regroupe le 1er terme avec le dernier, puis le 2ème terme avec l'avant dernier ainsi de suite.
    Ce qui donne [1+n]+[2+(n-1)].... à vous de voir la suite
    Bonjour,

    Oui, c'est très classique et souvent vu en cours. Il faut juste faire gaffe quand il y a un nombre impair de termes...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  7. #6
    way-jouannes

    Re : 1+2+3+...+n

    Oui sur le principe c'est ça mais ça reste du niveau 1ère ou terminale. Pour un plus jeune, il faut le visualiser.

    En dessinant un triangle composé de petits carrés, en en mettant un deuxième, en le retournant et en l'emboitant dans le premier pour avoir un rectangle.

    Ensuite le gamin sait faire la multiplication et diviser par deux.


    Graphiquement il le comprend et il peut le retenir alors que les démonstrations à base de formule, c'est impossible pour lui.

  8. #7
    superastéroïde

    Re : 1+2+3+...+n

    way-jouannes, je suis impressionnée, c très bien dit ce que tu dis sur la pédagogie avec un enfant. j'aime le concept je tacherai de m'en souvenir en temps voulu. merci

  9. #8
    DaoLoNg WoNg

    Re : 1+2+3+...+n

    Salut.

    On est censé en faire quoi du rectangle avec des carrés dans l'une des moitiés ?

    Bonne continuation.

  10. #9
    fderwelt

    Re : 1+2+3+...+n

    Citation Envoyé par DaoLoNg WoNg Voir le message
    Salut.

    On est censé en faire quoi du rectangle avec des carrés dans l'une des moitiés ?

    Bonne continuation.
    Bonsoir,

    On en fait ça (j'ai mis des O et des X à la place des carrés), pour N=4, ça devrait rester lisible :
    XXXX
    OXXX
    OOXX
    OOOX
    OOOO
    ou encore:
    OXXXX
    OOXXX
    OOOXX
    OOOOX

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #10
    DaoLoNg WoNg

    Re : 1+2+3+...+n

    Il m'aura fallu du temps, merci pour l'aide.
    Pour ma défense, des triangles emboités comme cela, ça ne fait pas un rectangle, les pointes dépassent .

    Bonne continuation.

  12. #11
    _Goel_

    Lightbulb Re : 1+2+3+...+n

    moi, on me l'avait expliqué comme ca :
    __S =____ 1 _+__2_+.....+(n-2)+(n-1)+ (n)
    +_S = n+(n-1)+(n-2)+......+ 2 _+__1
    ------------------------------------------
    2.S = [n + n + n + .... + n + n] + n

    d'où :
    2.S = n.n___________________ + n
    2. S = n.n+n = n[n+1]

    => S =n[n+1]/2
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  13. #12
    Leito

    Re : 1+2+3+...+n

    Il y a qques années on m'avait montrer une manière très simple de calculer la somme des entiers de 1 à 100 ...

    Si on additionne le premier et dernier therme on obtient 101
    Pariel avec la somme entre le seconde et avant dernier qui donne 101 et ainsi de suite, on obtient donc 50 résultats égales à 101 => 50x101=5050 ...

    Après savoir si c'est accéssible à un enfant de 8 ans je sais pas mais c'est une facon simple de trouver le résultat de la somme des entiers de 1 à 100 ...

  14. #13
    Slagt

    Re : 1+2+3+...+n

    C'est marrant que trois personnes disent trois fois la même chose sans même s'en rendre compte (sauf pour le premier qui n'est pas impliqué évidemment)...
    ••=• ••= = ••= •=• •= =••••= ••• =•=• •• • =• =•=• • •••

  15. #14
    _Goel_

    Re : 1+2+3+...+n

    J'ai quand même la prime de la démonstration la plus mathématique, non !
    !
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  16. #15
    martini_bird

    Re : 1+2+3+...+n

    Salut,

    j'interviens juste pour signaler que Gauss a écrit dans ces mémoires que son instituteur avait demandé (pour avoir la paix selon la légende) la somme des cent premiers entiers et que c'est à cette occasion qu'à l'âge de 6 ou 8 ans (je ne me souviens plus) il avait redécouvert le principe et répondu rapidement, à la surprise du maître.

    C'est un peu tarte à la crème, mais bon, tout le monde ne connaît pas cette anecdote.

    Cordialement.

  17. #16
    Leito

    Re : 1+2+3+...+n

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    j'interviens juste pour signaler que Gauss a écrit dans ces mémoires que son instituteur avait demandé (pour avoir la paix selon la légende) la somme des cent premiers entiers et que c'est à cette occasion qu'à l'âge de 6 ou 8 ans (je ne me souviens plus) il avait redécouvert le principe et répondu rapidement, à la surprise du maître.

    C'est un peu tarte à la crème, mais bon, tout le monde ne connaît pas cette anecdote.

    Cordialement.
    C'est justement partant de cette histoire qu'on m'a expliqué ce que j'ai dit (et répété après deux autres personnes ) puisqu'on m'avait expliqué que Gauss avant pratiqué de cette manière ...

  18. #17
    Liven

    Re : 1+2+3+...+n

    Mais Gauss était un génie d'exception !! Son père tenait une entreprise de je sais plus quoi. A trois ans, le petit Gauss aidait son père à faire les comptes... Un génie fabuleux, et puis, découvrir cette formule à 8 ans, c'est tout bonnement extraordinaire lol !

  19. #18
    l'avatar

    Re : 1+2+3+...+n

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Salut !

    Ben oui, le démonstration est dans tous les livres de 1ère S je dirais, et elle est vue en cours il me sembe...
    bonjour moi je l'ai meme vu en seconde dans le cadre d'un Dm et c'est de la facon de Goel qu'il fallait faire et le demontrer
    cordialement

  20. #19
    H0bb3s

    Re : 1+2+3+...+n

    Salut,

    Mais Gauss était un génie d'exception !!
    Il a fait sa thése à 14 ans
    désolé pour le hors sujet

  21. #20
    Micki2a

    Re : 1+2+3+...+n

    Je l'ai vu sur mon bouquin de maths, ils disent que Gauss a épaté toute sa classe avec cette démonstration. Et en + je trouve ça intéréssant. Mais comment il a fait pour trouver ça?

  22. #21
    piwi

    Re : 1+2+3+...+n

    Il a constaté que 1+100=101, que 2+99 =101 que 3+98=101, du coup on en arrive à 1+2+3+...+100=101x50=5050 et ca se généralise par (1+n)xn/2

    Remarque que l'on peut encore généraliser le basard ainsi:
    a+a+1+a+2+a+3+...+a+n
    On constate que l'on retrouve notre série 1+2+3+...+n et que l'on a (n+1)a. Du coup la somme a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+...+(a+n)= (1+n)xn/2+(n+1)a= (n+1)(2a+n)/2

    exemple:
    Si on a 3+4+5+6+7=3+(3+1)+3+(2+3)+(3+3 )+(3+4)=(4+1)(6+4)2=21
    Je sers la science et c'est ma joie.... Il parait.

  23. #22
    Mamie

    Re : 1+2+3+...+n

    Citation Envoyé par Slagt Voir le message
    C'est marrant que trois personnes disent trois fois la même chose sans même s'en rendre compte (sauf pour le premier qui n'est pas impliqué évidemment)...
    La repetition est a la base de la pedagogie !!! Et si on y regarde d'un peu plus pret, meme si certes, l'objectifs des 3 demonstrations est la meme, la facon de les presenter et donc d'etre percu par le public est totalement differente. Je m'explique :

    yty propose un debut de demonstration qui necessite une reflexion de la part du lecteur pour comprendre ou il faut arriver. L'eleve est donc directement implique, c'est a lui de trouver...

    goel nous donne une demonstration propre d'un point de vue mathematique mais sans doute un peu abscons pour certain !

    et leito prend un exemple concret, parlant, avec des chiffres, et qui est celui qui passe le mieux je pense

    En definitive, 3 aspects pedagogique differents : tout d'abord essayer de faire trouver la solution a l'eleve (tres valorisant et permet de destigmatiser les difficultes du probleme), la partie theorique rigoureuse, indispensable certes mais qui heurte souvent les eleves si elles presentées d'un bloc et enfin, l'exemple concret, parlant, avec des chiffres parce que bon, les maths avec des x et des n a gogo, ca va 5 minutes

    Peut on donc dire que c'est 3 fois la meme chose ?
    Un jour où je n'apprends rien est un jour perdu.