faites le bon choix

[invite35452583]

Bonjour,
un "petit" pour le week-end (en espérant qu'il n'est pas connu)
Le but est de trouver une martingale au jeu suivant :
100 boules numérotées sont placées dans un sac (les numéros sont des nombres réels positifs absolument quelconques, il peut y avoir , ces nombres peuvent être concentrés entre 2,147 et 2,149 comme être très étendus...)
vous tirez une boule après l'autre jusqu'au moment où vous pensez que la dernière tirée est celle qui porte le plus grand numéro. Ainsi si vous décidez de retirer une boule, toutes les boules tirées avant sont irrémédiablement perdues.
En cas de victoire, vous ramassez 3 fois votre mise.

Il n'est pas demandé la martingale la plus efficace (calculs fastidieux) mais une qui par définition permet d'avoir un espoir de gain positif. (Le maximum n'est pas très éloigné donc il faut un peu de soin, mais il y a de la marge). Toute réponse de 2 pages de calcul sera refusée

Faîtes vos jeux
-----

[invite636fa06b]

Bonjour,

Une stratégie un peu grossière :
Je tire n boules en notant le maxi M des boules tirées.
A partir du (n+1)ième tirage, si le chiffre tiré est supérieur à M , j'arrête sinon je continue.
Avec n=50 ça marche presque

Soit X la boule portant le maxi et Y celle dont la valeur est immédiatement inférieure.
La proba que X (ou Y) soit dans les 50 premières est de 50 %
On a plusieurs configuations : en notant A les 50 premières boules tirées et B celles qui restent
Y€A et X€B gagnant avec environ 0,25 de proba
X€A perdantt avec environ 0,50 de proba
Y€B et X€B avec Y tiré avant X perdant avec environ 0,125 de proba
si X est tiré avant Y on gagne mais j'ai oublié de prendre en compte la valeur inférieure à celle de X et de Y...

à revoir

[invite35452583]

Bonjour,

Une stratégie un peu grossière :

Ce sont parfois les meilleures.

Je tire n boules en notant le maxi M des boules tirées.
A partir du (n+1)ième tirage, si le chiffre tiré est supérieur à M , j'arrête sinon je continue.
Avec n=50 ça marche presque

Pourquoi presque ? (c'est vrai que l'on peut améliorer)

Soit X la boule portant le maxi et Y celle dont la valeur est immédiatement inférieure.
La proba que X (ou Y) soit dans les 50 premières est de 50 %
On a plusieurs configuations : en notant A les 50 premières boules tirées et B celles qui restent
Y€A et X€B gagnant avec environ 0,25 de proba
X€A perdantt avec environ 0,50 de proba
Y€B et X€B avec Y tiré avant X perdant avec environ 0,125 de proba
si X est tiré avant Y on gagne mais j'ai oublié de prendre en compte la valeur inférieure à celle de X et de Y...

à revoir

Il ne reste plus qu'à améliorer la fin car le fait que Y soit tiré avant X ne suffit pas.
Mais en tout cas tu es partie dans la bonne voie.

[invite35452583]

Soit X la boule portant le maxi et Y celle dont la valeur est immédiatement inférieure.
La proba que X (ou Y) soit dans les 50 premières est de 50 %
On a plusieurs configuations : en notant A les 50 premières boules tirées et B celles qui restent
Y€A et X€B gagnant avec environ 0,25 de proba
X€A perdantt avec environ 0,50 de proba
Y€B et X€B avec Y tiré avant X perdant avec environ 0,125 de proba

Oups, ces probas ne sont pas tout à fait exactes, les évènements ne sont pas indépendants : par exemple pour le 1er si Y est dans A alors pour X il y a un peu plus de place dans B que dans A. et la proba est un peu supérieure à 0,25 (mais <0,33...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[SunnySky]

J'utiliserais la stratégie de Zinia (merci à toi!), mais en ne tirant que 33 boules au départ.
Toujours en notant M le numéro gagnant et m le numéro immédiatement inférieur..

p=0,33 que M soit éliminé et donc que j'aie perdu,
p=0,33*0,67=0,22 que m y soit mais pas M, ce qui me fait gagner à coup sûr,
p=0,45 que ni m ni M n'aient été retirés. Dans ce cas, j'ai une chance sur deux que M arrive avant m, ce qui me fait gagner.

Ma probabilité de gagner est donc 0,22+0,5*0,45=0,45.

[SunnySky]

Tiens, on dirait que ne tirer que 29 boules au départ est encore mieux!

[SunnySky]

Zut.

Mon calcul précédent est erroné. Bien sûr, si ni m ni M ne sont dans les 33 premières boules, rien ne m'assure que je m'arrête sur l'une ou l'autre de ces boules...

[SunnySky]

En calculant autrement, j'arrive à une probabilité de gagner supérieure à 0,36 en tirant 38 boules au départ.

Pour y arriver, j'ai appelé R le rang réel de la boule portant le numéro le plus élevé parmi les 40 premières boules. Par exemple, si M est choisi, R=1; si m est dans le lot mais pas M, alors R=2; etc.

Si R=1, alors j'ai perdu. Si R=2, alors j'ai gagné. Si R=3, alors j'ai une chance sur deux de gagner. Si R=4, alors j'ai une chance sur 3 de gagner, etc.

Il reste à calculer la probabilité que R=1, R=2, R=3... et à multiplier par la probabilité de gagner. J'additionne le tout et je constate que je gagne avec 38. La solution optimale n'est certainement pas loin...

[invite636fa06b]

Bon dimanche !
Et oui, mon raisonnement était un peu grossier. J'ai bien vu que ça ne marchait pas
A= ensemble des n premières boules tirées et jetées, B les 100-n restantes
Par ailleurs, on classe les boules par valeur décroissante : = maxi,...
La proba que est
Et dans cette hypothèse pour gagner, il faut tirer X1 avant X2 : un chance sur deux
De même, la proba d'avoir X4 dans le premier paquet et X1, X2,X3 dans le second devra être divisée par 3,
Finalement la proba de gagner sera la somme

Un calcul précis montre que pour n compris entre 22 et 54, la proba est supérieure à 1/3.
Le maxi( 0,371) est obtenu pour n=37 (désolé SunnySky, t'étais pas loin). Plus théoriquement pour 100/e.
Mais avec 50 ça marche aussi (0,349) et en calculant seulement les 3 premiers termes on dépasse 0,333

[invite636fa06b]

PS erreur de transcription dans le post précédant, il faut remplacer N par 100

[invite35452583]

Bonjour,
zinia
qu'ajouter de plus ? rien sur le problème posé.
Sinon, quand N grandit, il faut adopter la même stratégie en s'arrêtant à N/e (tout du moins le plus près possible de cette valeur), le max théorique converge vers 1/e. (rapidement évoqué dans le post de zinia)
Proverbe : si dans un joli problème le nombre cherché est entre 2 et 3 alors c'est e.
Bravo aussi à Sunnysky qui non seulement a fini par trouver une possibilité et une méthode pour le montrer mais est allé intuitivement très près de la solution optimale.

Bon dimanche à tous