cette affirmation est fausse

[invite1a5cb2f8]

Je me suis posé un problème qui doit être un grand classique et me suis demandé comment le résoudre mathématiquement

le problème est le suivant:

"l'affirmation que vous êtes en train de lire est fausse"

est-ce que cette affirmation est vraie ou fausse? ca doit être un grand classique rabaché plusieurs fois, mais bon. Pour ceux qui ne se sont jamais posé la question, je vous laisse un peu réfléchir.

Voila le petit paradoxe :

 Cliquez pour afficher

Partons du principe que cette affirmation est fausse. Donc l'affirmation
"l'affirmation que vous êtes en train de lire est fausse"
est vraie, et comme elle ne peut pas être fausse et vraie en même temps l'hypothèses de départ (qui est que cette affirmation est fausse), par l'absurde, est fausse.
Donc l'affirmation est vraie. Mais si l'affirmation est vraie, alors
"l'affirmation que vous êtes en train de lire est fausse"
est vraie, donc l'affirmation est fausse. Mais on a dit précédemment qu'elle était vraie.

et voila ma solution après avoir un peu formalisé les choses:

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Appelons cette affimation A. Voila la donnée que nous avons sur A:
A = "A est fausse"
Alors que précédemment A avait l'air d'être bien définie, maintenant on voit que A est définie par ce qui pourrait s'apparenter à une équation à une inconnue (A). Et une équation plutôt du genre x=x+1. Donc pour moi l'explication simple est que cette "équation" n'a pas de solution, A n'existe pas!

Ceux qui connaissent déjà vous peuvent me dire si mon explication est celle qui est habituellement donnée (et si elle est correcte mathématiquement, ben oui je suis physicien alors la formalisation mathématique exacte...).
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[inviteea6fd0dc]

Bonjour,

Pour le première partie, bravo !

Pour la seconde, cela n'a aucun sens.
A mon sens, un paradoxe n'est pas démontrable directement (ou ne peut être invalidé directement) par la logique formelle (et encore moins par une mise en équation, qui en émarge fatalement !)

Amicalement

[YBaCuO]

Bonjour,

C'est un paradoxe de Russell.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

Une variante connue :"Un barbier qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même et uniquement ceux-là, doit-il se raser lui-même ou non?"

[invite0e5404e0]

Bonjour!
Une autre alternative est le paradoxe du menteur.
La personne qui dit "Je suis un menteur" est-elle un menteur?
En bref, un paradoxe qui torture nos méninges... Mais qui a permis une grande avancée dans la théorie des ensembles!
Bonne journée!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36e4dbaa]

Bonjour,

C'est un paradoxe de Russell.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

Une variante connue :"Un barbier qui rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-même et uniquement ceux-là, doit-il se raser lui-même ou non?"

Il suffit que le barbier soit une femme et il n'y a plus de problème.

Ou bien qu'il ne soit pas de Séville (l'histoire originelle concerne le barbier de Séville et les hommes de Séville qui ne se rasent pas eux-mêmes)

[invite1a25ea85]

Bonsoir,

Pour le menteur, c'est le paradoxe d'Epimenide de Crete. ( tous les cretois sont des menteurs, etc... )

Le paradoxe de Russell etait trop mathematique pour l'epoque, debut XXeme siecle, mais popularise par le paradoxe des catalogues : Le catalogue des catalogues qui ne se citent pas eux-memes, doit-il se citer lui-meme?

Du meme genre, le paradoxe de Richard, utilise par Kurt Godel dans ses metamathematiques.

Mais on peut en trouver beaucoup d'autres en utilisant la forme negative.

T.

[invite1a5cb2f8]

Donc l'explication que j'ai donnée, qui est que l'affirmation en question n'existe pas semble être la bonne. Tout comme le résolution du paradoxe pour la barbier est de dire que le barbier n'existe pas et pour les ensembles (sans m'y être penché plus que ça) de dire que l'ensemble n'existe pas.

Je crois que de comparer ça à x=x+1 est une bonne chose, non? Car dans le cas de x=x+1, dans le cas du barbier, de l'ensemble ou de l'affirmation, on défini quelque chose en fonction de lui-même d'une manière qui est impossible...

En tout cas les exemples que vous m'avez donnés sont intéressants...

[invite1a5cb2f8]

Bonjour!
Une autre alternative est le paradoxe du menteur.
La personne qui dit "Je suis un menteur" est-elle un menteur?
En bref, un paradoxe qui torture nos méninges... Mais qui a permis une grande avancée dans la théorie des ensembles!
Bonne journée!

par contre là il faut définir ce qu'est un menteur
Si un menteur est quelqu'un qui à menti au moins une fois, alors "Je suis un menteur" est vraie!

[polo974]

moitié vraie, moitié fausse

En électronique, ça donne un inverseur qu'on reboucle sur lui même.
si on note 0 faux et 1 vrai
(inverseur: entrée 1: sortie 0 et vice versa)

2 cas (simplifiés):

• Il n'y a pas de retard à la décision, la sortie va prendre une valeur intermédiaire entre 0 et 1. Environ 0.5 (aucune précision garantie ), mais c'est un état qu'on peut qualifier de "bof" (état logique indéterminé).
• Il y a retard à la décision, la sortie dit 1 qui va au bout d'un certain temps arriver sur l'entrée qui du coup fait dire à la sortie 0 qui va au bout d'un certain temps arriver sur l'entrée qui du coup fait dire à la sortie 1 qui ... La sortie se balade donc de 0 à 1, et en moyenne, la sortie est de 0.5 (aucune précision garantie ).

Donc nous venons d'inventer la porte "peut-être" dont la sortie n'est ni oui, ni non, mais bof.
Application:
Ce genre de porte est très utilisée sur les armoires normandes
"P'tet ben qu'oui, p'tet ben qu'non"

[inviteea6fd0dc]

Donc l'explication que j'ai donnée, qui est que l'affirmation en question n'existe pas semble être la bonne. Tout comme le résolution du paradoxe pour la barbier est de dire que le barbier n'existe pas et pour les ensembles (sans m'y être penché plus que ça) de dire que l'ensemble n'existe pas.

Je crois que de comparer ça à x=x+1 est une bonne chose, non? Car dans le cas de x=x+1, dans le cas du barbier, de l'ensemble ou de l'affirmation, on défini quelque chose en fonction de lui-même d'une manière qui est impossible...

En tout cas les exemples que vous m'avez donnés sont intéressants...

Bonjour,

Non !

1) Si ! L'affirmation existe, elle est partie intégrante de l'énoncé.
2) Pour résoudre une inconnue, le fait de dire qu'elle n'existe pas ne me paraît pas approprié.
3) C'est un paradoxe, pas un syllogisme (pas de prémices, pas de conclusion); il n'est pas possible de le formaliser en logique formelle du premier ordre ... encore moins par une mise en équation.
4) Paradoxe typique de la notion de double contrainte évoquée dans un autre post; qu'elle que soit la réponse choisie elle est en contradiction avec l'énoncé.
5) La seule solution pour invalider un paradoxe de ce type est de sortir du langage du paradoxe et de passer à un métalangage (donc, non influencé par les axiomes du langage utilisé dans le paradoxe).

Il y a ici, une fois de plus, confusion entre rhétorique et logique formelle.

Amicalement

[invite1a5cb2f8]

Bonjour,

Il y a ici, une fois de plus, confusion entre rhétorique et logique formelle.
Amicalement

Il y a effectivement confusion mais je crois qu'elle ne vient pas de moi :

1) Si ! L'affirmation existe, elle est partie intégrante de l'énoncé.

"Soit x réel, x=x+1"
Donc selon ce que tu dis, x existe car il fait partie de l'énoncé?

Je crois que c'est le point central du paradoxe: puisqu'on parle de l'affirmation, et même qu'on donne cette affirmation, on à l'impression qu'elle existe (rhétorique).
Dans x=x+1 je donne aussi x, il vaut x+1. Oui mais, j'ai donné x en fonction de lui-même, tout comme j'ai donné l'affirmation en fonction d'elle-même (sauf que pour l'affirmation c'est moins visible). Donc je n'ai donné ni x ni l'affirmation A, et il se trouve qu'aucun x ne satisfait le critère x=x+1 ni aucune affirmation A ne satisfait A: non A (logique).

2) Pour résoudre une inconnue, le fait de dire qu'elle n'existe pas ne me paraît pas approprié.

Ben si, x=x+1 je résouds en disant que x n'existe pas. Vu l'article de wikipedia, c'est aussi la solution qui peut être donnée à A: non A, voir l'histoire du barbier

5) La seule solution pour invalider un paradoxe de ce type est de sortir du langage du paradoxe et de passer à un métalangage (donc, non influencé par les axiomes du langage utilisé dans le paradoxe).

Tout a fait, et le formalisme mathématique me parait être tout désigné:
Soit l'affirmation A: non A

[invité576543]

Bonsoir,

Tout a fait, et le formalisme mathématique me parait être tout désigné:
Soit l'affirmation A: non A

Je ne pense pas que ce formalisme là soit acceptable, méta-langage ou non. On ne peut pas définir formellement quelque chose autrement que par axiome ou à partir de choses préalablement définies; ainsi on ne peut pas définir A par construction à partir de A.

Plusieurs manières de s'en sortir:

- par solution d'équation. Ici ça donnerait "soit A une solution à l'équation A=non A"; déduire l'incohérence de la théorie s'il existe une solution à cette équation ne pose pas de problème majeur

- par un système compliqué de numérotation de toute les formules possibles, et la construction d'une formule qui parle du numéro qui se trouve être, indépendamment (c'est le point clé qui fait la différence), le propre numéro de la formule (la formule disant "la formule de numéro n est fausse" se trouve avoir comme numéro n...). Cette construction formelle est possible, et est au coeur de la démo de Gödel, du moins c'est ce que j'en comprends. Au passage, il n'est pas clair pour moi si cette construction tombe dans la catégorie "passer à un méta-langage"...

Cordialement,

[invite1a5cb2f8]

Bonsoir,



Je ne pense pas que ce formalisme là soit acceptable, méta-langage ou non. On ne peut pas définir formellement quelque chose autrement que par axiome ou à partir de choses préalablement définies; ainsi on ne peut pas définir A par construction à partir de A.

Tout a fait, et c'est justement cette erreur qui crée le paradoxe: on a l'impression que ce qu'on donne est une définition de A alors que c'est ce qui pourrait plutôt s'apparenter à une équation, mais en termes d'affirmations (pas en termes de de nombres ni de fonctions...)