colle

[invite2d2ffe61]

Bonjour à toutes et à tous,

je viens de m'inscrire sur ce forum que j'ai en fait découvert en cherchant un moteur de résolution de problèmes car un ami vient de me poser une colle... Etant plutôt littéraire que matheuse et après avoir quelque peu réfléchi je me permets de vous la poster afin de savoir si quelqu'un aurait une solution.

Je vous en remercie d'ailleurs par avance. Voici donc le problème (sachant que la prof de maths de la personne en question a elle aussi callé)

soit une boule de 6400000 m de diamètre (ou 6400 km, le diamètre de la terre).
soit un homme debout sur cette boule, les yeux à 1,70 m de la surface de la boule.
on considère qu'il a un champs de vision de 360°.

question: quel surface de la boule peut il voir?

Voilà...
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[invitebd2b1648]

Petit truc !

On a pas un champ de vision à 360° ! Et même sans çà on verrait un horizon partout ! Suis-je clair ?

@ +

[invite8ef897e4]

Bonjour, et bienvenue !

la prof de maths de la personne en question a elle aussi callé)

C'est etonnant ! Prof de math a quel niveau ?

Ce n'est pas tres difficile

[invite88ef51f0]

Salut,
La première étape est de déterminer la distance de l'horizon. Un bon schéma et Pythagore suffisent.
Ensuite, il faut calculer la surface de la calotte sphérique correspondante. Ça commence à devenir plus technique et à demander un peu de trigonométrie, mais c'est faisable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Ensuite, il faut calculer la surface de la calotte sphérique correspondante. Ça commence à devenir plus technique et à demander un peu de trigonométrie, mais c'est faisable.

Je me demandais si a cette echelle la difference entre le disque et la calotte etait significative.

edit
aire de la calotte spherique = 2pi r h

[invite8ef897e4]

Attendant le resultat de mon calcul avant de pouvoir partir en week-end...

aire de la calotte spherique = 2pi r h

Je trouve

Je ne garantie rien cependant, je n'ai pas fait super gaffe

Cela fait 68.36 km^2 pour l'aire de la calotte, et pour la difference avec l'aire du disque je trouve 9 m^2

A verifier...

[invite9521b76c]

En effet le sujet n'est pas très compliqué, mais je ne trouve pas comme toi Humanino^^



Soit "r" le rayon de la Terre, "t" la taille de l'observateur, "a" l'angle par rapport au centre de la Terre entre l'observateur et son point d'horizon.
cos(a)=r/(r+t), ce qui nous donne a=0.00103078 radians.
Ensuite on a juste à calculer la surface de cette partie de la Terre en intégrant de 0 à "a".
Ce qui nous donne comme surface S=2*Pi*r²*sin(a)= 66 320 km²
Soit à peu près 1/10 de la France!

[inviteea6fd0dc]

Bojour,

Sur le shéma fourni par humanino, la portée du regard de l'observateur est de 10,43 km, ce qui donne un cercle de 341,75 km², sans tenir compte de la sphéricité.

[invite9521b76c]

Autant pour moi, je me suis trompé sur la formule de l'aire de la calotte...
La surface est S=2*Pi*r*h, soit S= 2*Pi*r²*(1-r/(r+t)), ce qui revient à la formule donnée par Humanino! Mais après application numérique, S=34,180528 km².
En revanche si je calcule l'aire du disque sans tenir compte de la courbure, je trouve une aire plus grande!! ... (S=Pi*r²*sin²(a)=34,180754 km², où est l'erreur?)

[inviteea6fd0dc]

Salut Keldorn,

Y'a toujours un petit problème, tes chiffres sont correct, mais la virgule est mal placée, 341,80528 km² je peux comprendre, 34,180528 km² y'a un blême !
Pour l'aire de la calotte, je ne l'ai pas calculée, si j'ai pas trop la flemme je m'y mets.

[mécano41]

Bonjour,

A noter que ta boule n'est pas la Terre car celle-ci a un rayon (et non un diamètre) de 6400 km

- Rayon de ta boule R1 = 3200000 m
- Hauteur bonhomme H = 1,7 m
- Distance oeil/point de tangence D = H.racine(2R1/H) = 3298,48 m (c'est Pythagore mais je le réduis ainsi pour éviter une erreur machine avec les très grands nombres)
- Cos du demi-angle au centre Cos alpha = R1/(R1+H) = 0,999999468750
- Alpha = 0,001030776178 rad
- Hauteur de la calotte sphérique vue h = R1.(1-cos alpha) = 1,6999990972 m
- Surface de cette calotte S = 2.pi.R1.h = 34180509,919 m²

Cordialement

[invite9521b76c]

Re-bonjour,
Oui, c'est le rayon de la Terre qui est de 6400km et non pas son diamètre, mais j'ai pris les valeurs de l'énoncé, c'est à dire une Terre à l'échelle 1:2.
J'ai refait mes calculs et je trouve toujours 34km², ce qui est d'ailleurs confirmé par mécano.
En revanche j'ai trouvé mon erreur dans le calcul du disque, qui me donne à présent S=34.180481 km², donc une différence de 47m² par rapport à l'aire de la calotte.
Merci pour ces éclaircissements!

[inviteea6fd0dc]

Autant pour moi, j'ai pris 32.000.000 au lieu de 3.200.000 mètres

[invite8ef897e4]

Re-bonjour,

je confirme mes petits calculs

Soit le cosinus de l'angle note "a" par Keldorn9586 (#7), demi-angle au sommet du cone au centre de la Terre dont l'intersection avec la sphere donne la surface que l'on cherche.
Je continue d'utiliser km, le rayon de la Terre,
m la hauteur du bonhomme
et la longueur qui intervient dans la formule precedente de l'aire de la calotte
(j'avoue, j'ai un peu change les notations )



donc au premier ordre on trouve
Je sais pas vous, mais moi quand je fais 2*3.1415927*6.4e3*1.7e-3 je trouve une soixantaine de kilometres carres (68.36 pour pinailler).

Le plus interessant c'est de faire la difference avec la surface du disque.
Etant physicien, j'aime bien faire des developpements limites (j'ai du temps a perdre, mais bon je verifie lorsqu'on me contredit ).





D'ou finalement

soit une dizaine de metres carres (9.079 pour pinailler).

Quelque chose ne vous semble pas raisonnable dans mes affirmations ?

[mécano41]

[QUOTE=humanino;1724450]
Je continue d'utiliser km....
...Je sais pas vous, mais moi quand je fais 2*3.1415927*6.4e3*1.7e-3 je trouve une soixantaine de kilometres carres (68.36 pour pinailler).

Nous aussi, mais karidwen parle depuis le début d'une boule de rayon 3200 km c'est donc normal que tu trouves un résultat exactement double du nôtre.

Cordialement

[danyvio]

[QUOTE=mécano41;1724462]

Je continue d'utiliser km....
...Je sais pas vous, mais moi quand je fais 2*3.1415927*6.4e3*1.7e-3 je trouve une soixantaine de kilometres carres (68.36 pour pinailler).

Nous aussi, mais karidwen parle depuis le début d'une boule de rayon 3200 km c'est donc normal que tu trouves un résultat exactement double du nôtre.

Cordialement

Ben non, il devrait trouver un résultat quadruple...

[invite8ef897e4]

Nous aussi, mais karidwen parle depuis le début d'une boule de rayon 3200 km c'est donc normal que tu trouves un résultat exactement double du nôtre.

Je suis d'accord que si l'on prend un rayon errone pour la Terre, on ne va pas trouver le bon resultat
Et c'est bien (bi-)lineaire et pas quadratique, contrairement a l'intuition de danyvio, parce que c'est le produit (rayon Terre) * (hauteur du bonhomme) qui compte.


Cela dit, je suis aussi interesse au sujet de la difference (9 m2) entre la calotte spherique et le disque (qui est la projection orthogonale plane de la calotte), et la j'ai vu passer des chiffres delirant. Je crois que la personne qui a pose la question originale peut se demander qui a tort et qui a raison, et c'est pour cela que je specifie que j'ai verifie mes calculs. D'ailleurs, il me semble que pour eviter les deboirs relatifs a l'utilisation de tres grands/petits nombres et/ou de produits avec des nombres tres proches de l'unite, le developpement limite et l'estimation des ordres de grandeurs/premiers chiffres significatifs de tete est essentiel.

edit
D'ailleurs au sujet de cette difference, vous aurez note qu'elle ne depend pas, au premier ordre, du rayon que l'on utilise pour la Terre ! Tout ce qui compte, c'est que la hauteur du bonhomme soit petite. C'est facile a comprendre, parce les deux surfaces sont de l'ordre surface totale de la Terre (constante) fois un petit d'ordre h/R, et que donc la difference entre les deux surface, qui est du second ordre, est de la forme [surface totale de la Terre (constante)] * [un petit d'ordre (h/R)^2] et le rayon totale "choisi" se simplifie.

[invite9521b76c]

Bonjour,
En effet, merci de cette précision, il fallait mettre de l'ordre dans tout ça.

Cordialement

[danyvio]

Je suis d'accord que si l'on prend un rayon errone pour la Terre, on ne va pas trouver le bon resultat
Et c'est bien (bi-)lineaire et pas quadratique, contrairement a l'intuition de danyvio, parce que c'est le produit (rayon Terre) * (hauteur du bonhomme) qui compte.

Dont acte !

[invite2d2ffe61]

Rebonjour à toutes et à tous,

tout d'abord je tiens à vous remercier pour vos savants calculs car j'avoue que pour moi c'est un peu du chinois (c'est terrible quand on est littéraire) j'ai soumis vos réponses au fur et à mesure de l'évolution...

en tout cas forum très sympathique, merci