Pythagore, j'adore...

[invite770d9cfe]

Sachant que le segment EB=1/2 et que les segments AD et EC=1, calculer la longueur du segment DC.
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[Fanch5629]

Bonjour.

La réponse est : racine cubique de 2.

Une démonstration possible :

On suppose que le triangle ABC est rectangle en B (la figure le suggère mais ne le précise pas).
On remarque que le triangle BCE est assez simple. BC = racine de 3 sur 2 et angle ECB = angle DEF = pi / 6.

Soit alpha l'angle BAC.

(triangle ADF) DF = sin(alpha)
(triangle EDF) DF = DE sin(pi/6) = DE/2
(triangle DEC) DE = (DC² - 1)^1/2

Donc sin(alpha) = 1/2 (DC² - 1)^1/2

On a aussi :
(triangle ABC) (1+DC) sin(alpha) = racine(3)/2

On élimine sin(alpha). Il vient :
(1+DC).(DC²-1)^1/2 = racine(3)
expression que l'on porte au carré et que l'on développe. On obtient :
P(DC) = DC⁴ + 2 DC³ - 2 DC - 4 = 0

Une racine "évidente" de P(DC) est -2. On factorise P(DC) :
P(DC) = (DC + 2) (DC³ - 2) et le tour est joué.

Si quelqu'un a trouvé une démonstration uniquement basée sur le théorème de Pythagore, je suis curieux (sincèrement) de la voir. J'ai sacrément tourné en rond ...

Si quelqu'un a trouvé une méthode pour tracer la figure à l'ancienne, càd à la règle et au compas, je suis également preneur.

Bonne journée.

[invite36e4dbaa]

.

Si quelqu'un a trouvé une démonstration uniquement basée sur le théorème de Pythagore, je suis curieux (sincèrement) de la voir. .

Voilà, c'est à peu près pareil, mais ce n'est pas le même résultat :
les deux triangles CBE et DFE sont semblables et sont des demi-triangles équilatéraux, c'est facile à établir :
Pour le triangle CBE, c'est la propriété d'un côté de l'angle droit égal à la moitié de l'hypoténuse.
Pour le triangle DFE, ses angles aigus ont leurs côtés perpendiculaires aux angles aigus du triangle CBE : ces angles aigus sont donc respectivement égaux (je sais, ça date d'avant mai 68, les angles aigus à côtés perpendiculaires).

Je me suis permis d'appeler y la longueur DF et d'appeler x la longueur DC.

Dans le triangle DFE, si DF = y, alors DE = 2 y (c'est le coup du triangle semi-équilatéral).

Pythagore dans le triangle DEC rectangle en E donne :
DC² = DE² + EC² ou encore :
x² = 4y² +1 (1)

Deux inconnues, une seule équation, pour l'instant.
Thalès pour les triangles DFA et ABC avec les parallèles (DF) et (BC) donne :
DF/BC = AD/AC

ce qui donne :
y/(sqrt(3)/2) = 1/(1 + x )
ou encore :
y = sqrt(3)/2(1 + x)

En substituant cette valeur de y dans l'équation (1), il vient, après suppression des racines négatives (puisqu'on cherche une longueur),
x = sqrt(2)

sqrt signifiant dans mon esprit racine carrée (square rote in briton).

Donc DC = sqrt (2) et le triangle DCE est un triangle rectangle et isocèle en E.

[invite36e4dbaa]

Voilà, c'est à peu près pareil, mais ce n'est pas le même résultat :
les deux triangles CBE et DFE sont semblables et sont des demi-triangles équilatéraux, c'est facile à établir :
Pour le triangle CBE, c'est la propriété d'un côté de l'angle droit égal à la moitié de l'hypoténuse.
Pour le triangle DFE, ses angles aigus ont leurs côtés perpendiculaires aux angles aigus du triangle CBE : ces angles aigus sont donc respectivement égaux (je sais, ça date d'avant mai 68, les angles aigus à côtés perpendiculaires).

Je me suis permis d'appeler y la longueur DF et d'appeler x la longueur DC.

Dans le triangle DFE, si DF = y, alors DE = 2 y (c'est le coup du triangle semi-équilatéral).

Pythagore dans le triangle DEC rectangle en E donne :
DC² = DE² + EC² ou encore :
x² = 4y² +1 (1)

Deux inconnues, une seule équation, pour l'instant.
Thalès pour les triangles DFA et ABC avec les parallèles (DF) et (BC) donne :
DF/BC = AD/AC

ce qui donne :
y/(sqrt(3)/2) = 1/(1 + x )
ou encore :
y = sqrt(3)/2(1 + x)

En substituant cette valeur de y dans l'équation (1), il vient, .

Tout ce que je viens de citer est juste, puis il y a une faute de calcul algébrique, je vous prie de bien vouloir m'en excuser.

Je retrouve la même équation du quatrième degré en x que celle de Franch 5629 dont je valide par la même le résultat.

je n'ai fait "qu'amener" Pythagore (et aussi Thalès), Pythagore qu'il a aussi utilisé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fanch5629]

Bonjour.

dgidgi, bien vu pour les triangles semblables et Thalès. Je comptais poster ce matin à ce sujet mais tu m'as pris de vitesse...

Pour le fun, une autre méthode de résolution, mais assez éloignée de la géométrie pure:

déterminer l'équation de la droite (ED) et celle de la droite (CA) qui est fonction de la position de A. Déterminer ensuite le point D, fonction de A, intersection de ces droites, puis déterminer la position de A pour que AD = 1. Le triangle ABC est alors complètement déterminé.

Pas essayé, trop flemmard ce matin !

Bonne journée à tous.

[invite770d9cfe]

Tu devrais mettre l'équation de la droite CA, parce qu'avec un compas on pourrait très facilement tracer la figure. Allez...on se lève !

[Ouk A Passi]

Bonjour,

Très amusant!

En se basant sur le dessin visible au premier message (qui est un peu faux ), peut-on supposer que le triangle ABC est rectangle en B ?

[invite5d8033d1]

Bonjour, par curiosité je suis venu, apprendre en m'amusant, mais c'est pa amusant je me sauve, Bonne continuation a tous

[invite770d9cfe]

peut-on supposer que le triangle ABC est rectangle en B ?

Oui, sinon...