Billard et soustraction

[Titiou64]

salut à tous,

Je viens de tomber sur une énigme que je n'ai pas réussi à résoudre.

On dispose de 15 boules de billards. On les place en pyramide. Comment les disposer pour que le nombre inscrit sur chaque boule soit égal à la différence des deux boules du dessous?

Bonne chance!!

Question subsidiaire pour les matheux : existe-t-il un moyen de connaitre, pour n boules, le numéro que l'on doit placer au sommet de la pyramide? Existe-t-il une méthode infaillible de résoudre ce genre de problème ou bien il faut tatonner jusqu'à trouver une solution qui fonctionne?
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[Titiou64]

Personne n'a une idée?
bon je vous aide un peu alors.
La boule au sommet est un 5 et les deux du dessous sont un 9 et un 4 (9-4=5)
Bonne continuation

[curieuxdenature]

Bonjour

question : est-ce qu'il faut que les boules soient numérotées de 1 à 15 ?

[curieuxdenature]

parmi les 3 boules inférieures à 9 et 4 on en a une qui est commune, soit x.
9 = y-x
4 = z-x
x est supérieur ou égal à 5+1 et diffèrent de 9 et 4.
si x=6 alors y= 15 et z = 2 est une solution.
Je laisse la suite à un courageux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[curieuxdenature]

le courageux s'y colle:
7 8 14 12

reste à placer 1 3 10 11 13 à la base.
ça se corse dirait Bonaparte...

[bigmomo999]

Question, si on aligne par exemple
5
9 , 4
2, 11, 7

on peut dire que 11-2 = 9
et que 11 - 7 = 4

c'est pour savoir si la soustraction peut être inversé, si oui, j'ai la réponse

[curieuxdenature]

le courageux s'y colle:
7 8 14 12

reste à placer 1 3 10 11 13 à la base.
ça se corse dirait Bonaparte...

planté, 7-8 = 9

[curieuxdenature]

5
9-4
1-10-6
2-11-7 déjà vu par bigmomo999
3-12-8
4-non
5-non
6-15-11
7-non
8-non
9-non
10-1-7
11-2-6
12-3-7
13-4-non
14-5-non
15-6-2
bigre....

[bigmomo999]

5
9,4
2,11,7
10,12,1,8
13,3,15,14,6

En attendant la réponse à ma question, si la réponse est oui, alors la réponse est ci dessus

[Flyingsquirrel]

La construction est possible pour tous les nombres nombres triangulaires inférieurs ou égaux à 15 :

 Cliquez pour afficher

Pour 3 :

 2
3 1

Pour 6 :

  3
 2 5
4 6 1

Pour 10 :

    3
   7 4
 2  9 5
8 10 1 6

Quid de ceux supérieurs à 15 ?

[Titiou64]

5
9,4
2,11,7
10,12,1,8
13,3,15,14,6

En attendant la réponse à ma question, si la réponse est oui, alors la réponse est ci dessus

BRAVO bigmomo999!!!!!!!

[curieuxdenature]

La construction est possible pour tous les nombres nombres triangulaires inférieurs ou égaux à 15 :

 Cliquez pour afficher

Pour 3 :

 2
3 1

Pour 6 :

  3
 2 5
4 6 1

Pour 10 :

    3
   7 4
 2  9 5
8 10 1 6

Quid de ceux supérieurs à 15 ?

Bonjour Flyingsquirrel

on peut avoir la méthode que tu as employée pour y parvenir ?
Merci.

De mon côté j'ai fais une itération brutale et j'obtiens 902 résultats rien que pour une base de 3.

un tout petit extrait rien que pour 5, 4 et 9:
615; 5 : 4,9 : 2,6,15
616; 5 : 4,9 : 6,2,11
617; 5 : 4,9 : 6,10,1
618; 5 : 4,9 : 7,3,12
619; 5 : 4,9 : 7,11,2
620; 5 : 4,9 : 8,12,3
621; 5 : 4,9 : 10,6,15
622; 5 : 4,9 : 10,14,5
623; 5 : 4,9 : 11,15,6
624; 5 : 4,9 : 14,10,1
625; 5 : 4,9 : 15,11,2

[Flyingsquirrel]

on peut avoir la méthode que tu as employée pour y parvenir ?

Je donne le détail pour la pyramide à 10 boules : j'ai commencé par placer le 10 sur la ligne du bas (il ne peut pas être ailleurs). Ensuite j'ai essayé de placer le 9. il y a deux possibilités :

• soit il est sur la ligne du bas ;
• soit il est sur une autre ligne et dans ce cas il est forcément au-dessus de 10 et de 1 (9=10-1 est la seule manière d'écrire 9 comme une différence de deux nombres inférieurs ou égaux à 10).

Si l'on choisit la deuxième possibilité le début de la pyramide ressemble à ceci :

  9
10 1

Ensuite j'ai essayé de placer le 8. Là on a trois possibilités :

• 8 = 9-1 et le 8 est au-dessus de 9 et de 1 ;
• 8 = 10-2 et le 8 est au-dessus de 10 et de 2 ;
• 8 est sur la première ligne.

La première n'est pas compatible avec le début de notre pyramide. La seconde donne ceci :

   7
 2  9
8 10 1

(on place le 8 et le 2, on en déduit le 7)

Il reste à placer 3, 4, 5 et 6. On peut tenter de caser chacun d'eux à droite du 1 :

    0            1            2            3
   7 7          7 6          7 5          7 4
 2  9 2       2  9 3       2  9 4       2  9 5
8 10 1 3     8 10 1 4     8 10 1 5     8 10 1 6

Il se trouve que la dernière pyramide convient, on a donc gagné.

C'est très naïf comme méthode et ça devient vite inexploitable. (je n'ai même pas essayé de l'appliquer à la pyramide à 15 boules d'ailleurs )

[curieuxdenature]

Bonjour

même en sachant que le plus grand nombre se trouve tout en bas ça ne doit pas être facile de le faire à la main...
Mais en programmation, ta méthode devrait se défendre au niveau vitesse. Faut voir.

[curieuxdenature]

Bonjour

avec une pyramide à 6 chiffres on a que 4 solutions:
1° 1 : 3,4 : 5,2,6
2° 2 : 3,5 : 4,1,6
3° 3 : 1,4 : 5,6,2
4° 3 : 2,5 : 4,6,1

avec une à 10 chiffres on n'a toujours que 4 solutions:
1° 3 : 2,5 : 7,9,4 : 8,1,10,6
2° 3 : 4,7 : 5,9,2 : 6,1,10,8
3° 4 : 1,5 : 6,7,2 : 9,3,10,8
4° 4 : 2,6 : 5,7,1 : 8,3,10,9

avec 15 chiffres faut je bosse encore un peu sur les conditions, rien que pour celle qu'on a déjà, j'ai ça:
603° 5 : 3,8 : 13,10,2 : 1,14,4,6
604° 5 : 3,8 : 13,10,2 : 14,1,11,9

605° 5 : 4,9 : 6,2,11 : 7,1,3,14
606° 5 : 4,9 : 6,2,11 : 8,14,12,1
607° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 7,13,3,2
608° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 8,2,12,11
609° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 8,2,12,13
610° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,10
611° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,14
612° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 10,3,14,12
613° 5 : 4,9 : 8,12,3 : 10,2,14,11

614° 5 : 6,11 : 7,1,12 : 8,15,14,2
615° 5 : 6,11 : 7,1,12 : 9,2,3,15

je pense qu'à l'arrivée on n'aura pas grand chose de plus qu'avec 6 et 10.
C'est beau l'informatique...

[Pio2001]

même en sachant que le plus grand nombre se trouve tout en bas ça ne doit pas être facile de le faire à la main...

J'ai commencé à la main. En une bonne heure, j'ai éliminé toutes les solutions où le 14 n'était pas en bas. Donc tout ce que j'ai trouvé pour le moment, c'est que le 14 et le 15 sont tous les deux en bas (sauf si j'ai fait une erreur).

[curieuxdenature]

Bonjour

comme je suis paresseux et que je fais plus confiance à un examen systématique pour ne rien oublier, j'ai complété le programme : il n'y a qu'une solution pour 1 à 15 (je ne compte pas la symétrie droite-gauche bien sûr).
Intuitivement j'aurais crû en avoir 4 mais non.

610°
5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,10 : 6,14,15,3,13

à propos, il n'y a pas 902 mais 867 possibilités sans tenir compte de la ligne du bas:
867°
9 : 3,12 : 5,2,14 : 8,13,15,1