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Billard et soustraction



  1. #1
    Titiou64

    Billard et soustraction


    ------

    salut à tous,

    Je viens de tomber sur une énigme que je n'ai pas réussi à résoudre.

    On dispose de 15 boules de billards. On les place en pyramide. Comment les disposer pour que le nombre inscrit sur chaque boule soit égal à la différence des deux boules du dessous?

    Bonne chance!!

    Question subsidiaire pour les matheux : existe-t-il un moyen de connaitre, pour n boules, le numéro que l'on doit placer au sommet de la pyramide? Existe-t-il une méthode infaillible de résoudre ce genre de problème ou bien il faut tatonner jusqu'à trouver une solution qui fonctionne?

    -----
    "Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"

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  3. #2
    Titiou64

    Re : Billard et soustraction

    Personne n'a une idée?
    bon je vous aide un peu alors.
    La boule au sommet est un 5 et les deux du dessous sont un 9 et un 4 (9-4=5)
    Bonne continuation
    "Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"

  4. #3
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Bonjour

    question : est-ce qu'il faut que les boules soient numérotées de 1 à 15 ?
    L'electronique, c'est fantastique.

  5. #4
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    parmi les 3 boules inférieures à 9 et 4 on en a une qui est commune, soit x.
    9 = y-x
    4 = z-x
    x est supérieur ou égal à 5+1 et diffèrent de 9 et 4.
    si x=6 alors y= 15 et z = 2 est une solution.
    Je laisse la suite à un courageux.
    L'electronique, c'est fantastique.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    le courageux s'y colle:
    7 8 14 12

    reste à placer 1 3 10 11 13 à la base.
    ça se corse dirait Bonaparte...
    L'electronique, c'est fantastique.

  8. #6
    bigmomo999

    Re : Billard et soustraction

    Question, si on aligne par exemple
    5
    9 , 4
    2, 11, 7

    on peut dire que 11-2 = 9
    et que 11 - 7 = 4

    c'est pour savoir si la soustraction peut être inversé, si oui, j'ai la réponse
    J'ai réussi à envoyer un psy' suivre une psychanalyse

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  10. #7
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Citation Envoyé par curieuxdenature Voir le message
    le courageux s'y colle:
    7 8 14 12

    reste à placer 1 3 10 11 13 à la base.
    ça se corse dirait Bonaparte...
    planté, 7-8 = 9
    L'electronique, c'est fantastique.

  11. #8
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    5
    9-4
    1-10-6
    2-11-7 déjà vu par bigmomo999
    3-12-8
    4-non
    5-non
    6-15-11
    7-non
    8-non
    9-non
    10-1-7
    11-2-6
    12-3-7
    13-4-non
    14-5-non
    15-6-2
    bigre....
    L'electronique, c'est fantastique.

  12. #9
    bigmomo999

    Re : Billard et soustraction

    5
    9,4
    2,11,7
    10,12,1,8
    13,3,15,14,6

    En attendant la réponse à ma question, si la réponse est oui, alors la réponse est ci dessus
    J'ai réussi à envoyer un psy' suivre une psychanalyse

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Billard et soustraction

    La construction est possible pour tous les nombres nombres triangulaires inférieurs ou égaux à 15 :
     Cliquez pour afficher

    Quid de ceux supérieurs à 15 ?

  14. #11
    Titiou64

    Re : Billard et soustraction

    Citation Envoyé par bigmomo999 Voir le message
    5
    9,4
    2,11,7
    10,12,1,8
    13,3,15,14,6

    En attendant la réponse à ma question, si la réponse est oui, alors la réponse est ci dessus
    BRAVO bigmomo999!!!!!!!
    "Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je refais le calcul"

  15. #12
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    La construction est possible pour tous les nombres nombres triangulaires inférieurs ou égaux à 15 :
     Cliquez pour afficher

    Quid de ceux supérieurs à 15 ?
    Bonjour Flyingsquirrel

    on peut avoir la méthode que tu as employée pour y parvenir ?
    Merci.

    De mon côté j'ai fais une itération brutale et j'obtiens 902 résultats rien que pour une base de 3.

    un tout petit extrait rien que pour 5, 4 et 9:
    615; 5 : 4,9 : 2,6,15
    616; 5 : 4,9 : 6,2,11
    617; 5 : 4,9 : 6,10,1
    618; 5 : 4,9 : 7,3,12
    619; 5 : 4,9 : 7,11,2
    620; 5 : 4,9 : 8,12,3
    621; 5 : 4,9 : 10,6,15
    622; 5 : 4,9 : 10,14,5
    623; 5 : 4,9 : 11,15,6
    624; 5 : 4,9 : 14,10,1
    625; 5 : 4,9 : 15,11,2
    L'electronique, c'est fantastique.

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  17. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Billard et soustraction

    Citation Envoyé par curieuxdenature Voir le message
    on peut avoir la méthode que tu as employée pour y parvenir ?
    Je donne le détail pour la pyramide à 10 boules : j'ai commencé par placer le 10 sur la ligne du bas (il ne peut pas être ailleurs). Ensuite j'ai essayé de placer le 9. il y a deux possibilités :
    • soit il est sur la ligne du bas ;
    • soit il est sur une autre ligne et dans ce cas il est forcément au-dessus de 10 et de 1 (9=10-1 est la seule manière d'écrire 9 comme une différence de deux nombres inférieurs ou égaux à 10).
    Si l'on choisit la deuxième possibilité le début de la pyramide ressemble à ceci :
    Code:
      9
    10 1
    Ensuite j'ai essayé de placer le 8. Là on a trois possibilités :
    • 8 = 9-1 et le 8 est au-dessus de 9 et de 1 ;
    • 8 = 10-2 et le 8 est au-dessus de 10 et de 2 ;
    • 8 est sur la première ligne.
    La première n'est pas compatible avec le début de notre pyramide. La seconde donne ceci :
    Code:
       7
     2  9
    8 10 1
    (on place le 8 et le 2, on en déduit le 7)

    Il reste à placer 3, 4, 5 et 6. On peut tenter de caser chacun d'eux à droite du 1 :
    Code:
        0            1            2            3
       7 7          7 6          7 5          7 4
     2  9 2       2  9 3       2  9 4       2  9 5
    8 10 1 3     8 10 1 4     8 10 1 5     8 10 1 6
    Il se trouve que la dernière pyramide convient, on a donc gagné.

    C'est très naïf comme méthode et ça devient vite inexploitable. (je n'ai même pas essayé de l'appliquer à la pyramide à 15 boules d'ailleurs )

  18. #14
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Bonjour

    même en sachant que le plus grand nombre se trouve tout en bas ça ne doit pas être facile de le faire à la main...
    Mais en programmation, ta méthode devrait se défendre au niveau vitesse. Faut voir.
    L'electronique, c'est fantastique.

  19. #15
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Bonjour

    avec une pyramide à 6 chiffres on a que 4 solutions:
    1° 1 : 3,4 : 5,2,6
    2° 2 : 3,5 : 4,1,6
    3° 3 : 1,4 : 5,6,2
    4° 3 : 2,5 : 4,6,1

    avec une à 10 chiffres on n'a toujours que 4 solutions:
    1° 3 : 2,5 : 7,9,4 : 8,1,10,6
    2° 3 : 4,7 : 5,9,2 : 6,1,10,8
    3° 4 : 1,5 : 6,7,2 : 9,3,10,8
    4° 4 : 2,6 : 5,7,1 : 8,3,10,9

    avec 15 chiffres faut je bosse encore un peu sur les conditions, rien que pour celle qu'on a déjà, j'ai ça:
    603° 5 : 3,8 : 13,10,2 : 1,14,4,6
    604° 5 : 3,8 : 13,10,2 : 14,1,11,9

    605° 5 : 4,9 : 6,2,11 : 7,1,3,14
    606° 5 : 4,9 : 6,2,11 : 8,14,12,1
    607° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 7,13,3,2
    608° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 8,2,12,11
    609° 5 : 4,9 : 6,10,1 : 8,2,12,13
    610° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,10
    611° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,14
    612° 5 : 4,9 : 7,11,2 : 10,3,14,12
    613° 5 : 4,9 : 8,12,3 : 10,2,14,11

    614° 5 : 6,11 : 7,1,12 : 8,15,14,2
    615° 5 : 6,11 : 7,1,12 : 9,2,3,15

    je pense qu'à l'arrivée on n'aura pas grand chose de plus qu'avec 6 et 10.
    C'est beau l'informatique...
    L'electronique, c'est fantastique.

  20. #16
    Pio2001

    Re : Billard et soustraction

    Citation Envoyé par curieuxdenature Voir le message
    même en sachant que le plus grand nombre se trouve tout en bas ça ne doit pas être facile de le faire à la main...
    J'ai commencé à la main. En une bonne heure, j'ai éliminé toutes les solutions où le 14 n'était pas en bas. Donc tout ce que j'ai trouvé pour le moment, c'est que le 14 et le 15 sont tous les deux en bas (sauf si j'ai fait une erreur).
    Dans un espace vectoriel discret, les boules fermées sont ouvertes.

  21. #17
    curieuxdenature

    Re : Billard et soustraction

    Bonjour

    comme je suis paresseux et que je fais plus confiance à un examen systématique pour ne rien oublier, j'ai complété le programme : il n'y a qu'une solution pour 1 à 15 (je ne compte pas la symétrie droite-gauche bien sûr).
    Intuitivement j'aurais crû en avoir 4 mais non.

    610°
    5 : 4,9 : 7,11,2 : 8,1,12,10 : 6,14,15,3,13

    à propos, il n'y a pas 902 mais 867 possibilités sans tenir compte de la ligne du bas:
    867°
    9 : 3,12 : 5,2,14 : 8,13,15,1
    L'electronique, c'est fantastique.

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