Problème des 4 pierres (minérales)

[invite7bd68493]

Sur un souk, un marchand de pommes de terre dispose d'une balance Roberval, mais ses moyens ne lui
permettent pas d'acheter des poids. Il dispose de 4 pierres d'un nombre entiers de kilos chacune. Elles lui
permettent de peser de 1 à 40 kilos. Quel est le poids de chaque pierre ?
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[invite8666d089]

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1-3-9-27 kg. Les 4 pierres permettent toutes les combinaisons de 1 à 40 Kg. Par exemple : 35 Kg de patates dans le plateau de gauche. On met la pierre de 1 kg avec les patates et les pierres de 27 et 9kg dans le plateau de droite.

[invite4492c379]

Hello,

je propose :

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je suppose que les pierres prisent deux à deux ont des poids différents. Je vais noter P=[p₀, p₁, p₂, p₃] ces poids avec p₀<p₁<p₂<p₃. L'idée est de trouver un vecteur V=[v₀, v₁, v₂, v₃] avec v_i pris dans {-1,0,1}, -1 signifiant que ce poids est placé avec l'objet à peser, 0 le poids n'est pas utilisé et 1 le poids est placé sur le plateau qui ne contient pas l'objet à peser. Le produit scalaire P.V représente le poids de l'objet pesé. P.V doit au moins parcourir [1,40]. Il y a 3⁴=81 V possibles.
On peut remarquer que V.P et -V.P pèsent le même poids, seules les positions sont inversées, on arrive donc à un maximum de 41 pesées différente en comptant ne rien peser V=[0, 0, 0, 0]. La contrainte pouvoir peser chaque entier de 1 à 40 impose alors que chaque entier entre 1 et 40 possède une représentation unique V.P ce qui est réalisé en base 3.
Une solution est donc : P=[1, 3, 9, 27].

avec pour chaque entier :
1 = [1, 0, 0, 0]
2 = [-1, 1, 0, 0]
3 = [0, 1, 0, 0]
4 = [1, 1, 0, 0]
5 = [-1, -1, 1, 0]
6 = [0, -1, 1, 0]
7 = [1, -1, 1, 0]
8 = [-1, 0, 1, 0]
9 = [0, 0, 1, 0]
10 = [1, 0, 1, 0]
11 = [-1, 1, 1, 0]
12 = [0, 1, 1, 0]
13 = [1, 1, 1, 0]
14 = [-1, -1, -1, 1]
15 = [0, -1, -1, 1]
16 = [1, -1, -1, 1]
17 = [-1, 0, -1, 1]
18 = [0, 0, -1, 1]
19 = [1, 0, -1, 1]
20 = [-1, 1, -1, 1]
21 = [0, 1, -1, 1]
22 = [1, 1, -1, 1]
23 = [-1, -1, 0, 1]
24 = [0, -1, 0, 1]
25 = [1, -1, 0, 1]
26 = [-1, 0, 0, 1]
27 = [0, 0, 0, 1]
28 = [1, 0, 0, 1]
29 = [-1, 1, 0, 1]
30 = [0, 1, 0, 1]
31 = [1, 1, 0, 1]
32 = [-1, -1, 1, 1]
33 = [0, -1, 1, 1]
34 = [1, -1, 1, 1]
35 = [-1, 0, 1, 1]
36 = [0, 0, 1, 1]
37 = [1, 0, 1, 1]
38 = [-1, 1, 1, 1]
39 = [0, 1, 1, 1]
40 = [1, 1, 1, 1]

En fait si on dispose de n poids {3⁰, 3¹, ... ,3^n-1} on pourra peser tout poids entier entre 1 et (3ⁿ-1)/2.