A prendre ou à laisser

[inviteda201019]

Cette énigme à peut être déjà été posée ici, ce serait dommage tant pis pour moi, ailleurs c'est certain, donc si vous ne savez pas la réponse n'allez pas la chercher ailleurs pour la poster ici.

Les réponses à cette énigme simple sont très amusantes et elle peut même faire pêter un cable à vos profs de maths.


La voici :

J'ai trois boites, deux sont vides et un contient le cadeau de valeur.
Je vous laisse choisir un cadeau au hasard.
Je vous ouvre une des boites (evidemment pas celle qui a été choisie par vous) et je vous montre qu'elle est vide.

Je vous laisse un dernier choix :
Souhaitez vous échanger ou garder votre boite ?
-----

[invite3d01817a]

Si on échange, on a plus de chance de gagner.

[Deedee81]

Salut,

Je la connaissais mais avec des grottes remplies de dragon sauf une avec une princesse ou un trésor (selon les variantes ou selon ses goûts).

Elle porte un nom connu. Je ne suis plus sur. Ce n'est pas l'énigme de Monthy Hall ???

Elle avait été proposée lors d'un jeu (radiophonique ou télévisé) où une "grosse tête" devait trouver la réponse. Elle donna la bonne réponse. Le lendemain ils furent inonder de courrier disant que c'était stupide, que ça n'avait pas d'importance de changer ou pas. Certaines lettres étaient de mathématiciens. S'en suivi des discussions sans fin.

Depuis, je crois qu'on a tous compris que la réponse d'algerik est bien la bonne

On peut la résoudre par les probabilités conditionnelles ou par un simple comptage des cas possibles prenant en compte l'information fournie (la boite vide).

[inviteda201019]

Je sais bien mais le but n'etait pas de répondre si on le savait.... bon bah si c'est déjà passé à la TV et que tout le monde s'est éclaté dessus alors ca n'a plus de sens lol....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Je l'ai retrouvé :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C..._de_Monty_Hall

C'était bien à la télé, dans Let's Make a Deal

[invite76f6d738]

Ou aussi dans le film Las Vegas 21

[_Goel_]

En fait, c'est assez simple à expliquer mathématiquement :
- Au départ, chaque boîte a une probabilité de 1/3 de contenir le cadeau.
- Si on en choisit une on a donc 1/3 de chances d'avoir un cadeau, et 2/3 de chances pour que le cadeau soit dans une des 2 boîtes restantes
- si on montre qu'une des 2 boîtes restantes est vide, alors la phrase précédente dit que la boîte non choisie a une probabilité de 2/3 de contenir un cadeau... d'où l'intérêt de changer.

Sinon, d'expérience, plus de 90% des gens ne changent pas d'avis lorsqu'on leur pose ce choix !

[_Goel_]

Allez, je tente un coup visuel ! (On choisit B01, les "." sont là pour l'lignement)

B01 B02 B03
1/3. 1/3. 1/3
=>
B01 B02 B03 (On choisit B01)
1/3.... 2/3
=>
B01 B02 B03 (On montre B03 vide)
1/3.... 2/3
=>
B01 B02
1/3. 2/3

CQFD (on remarquera qu'à tout moment, Somme des probas = 1)

[invite29cafaf3]

Ben oui, le théorème des trois portes, traité en long et en large ici même ... il y a longtemps !

[invite29cafaf3]

(on remarquera qu'à tout moment, Somme des probas = 1)

La somme des "probas" est toujours égale à 1 (on ne voit pas très bien comment il pourrait en être autrement).

[Deedee81]

Salut,

En fait, c'est assez simple à expliquer mathématiquement :

Je suis d'accord. Mais curieusement, cela semble difficile à avaler pour un certain nombre de gens. Et il est étonnamment facile de faire des erreurs de raisonnement avec ce problème. (ceci explique sans doute le 90%)

Je dis "curieux" et "étonnant" car je fais partie de ceux (sans doute la majorité sur un forum comme celui-ci) qui on trouvé la bonne solution presque tout de suite (à l'époque j'avais lu ça dans un magazine, mais je ne me souviens plus lequel.... Tangente peut-être ?).

Ce problème serait surtout un beau problème d'étude psychologique (mais cela a peut-être déjà été fait. Je sais que pas mal d'étude sur les comportements non rationnels face aux probabilités ont déjà été menés)

[Médiat]

Mais curieusement, cela semble difficile à avaler pour un certain nombre de gens.

Bonjour,

J'ai fait l'expérience, il semble que la solution devienne quasiment-évidente si au lieu de 3 boîtes, on en prend 1000, et l'animateur en découvre (en toute connaissance de cause) 998 boîtes vides.

[invite6f9dc52a]

Bonjour.

Bonjour,

J'ai fait l'expérience, il semble que la solution devienne quasiment-évidente si au lieu de 3 boîtes, on en prend 1000, et l'animateur en découvre (en toute connaissance de cause) 998 boîtes vides.

Oui, mon cerveau a accepté le changement de paradigme (parfois, on discute) à ce moment la, sinon, il me disait que le choix final était entre deux boite et qu'il n'y avait donc qu'une chance sur deux donc pourquoi pas celle qu'il avait choisi, surtout qu'il avait voulu choisir l'autre au départ et donc lui non plus (!).

[invite7d80a626]

La somme des "probas" est toujours égale à 1 (jamais pourrait en être autrement).

[stefjm]

Il y a aussi le paradoxe des deux enveloppes qui est bien sympa...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...eux_enveloppes

http://forums.futura-sciences.com/ep...velloppes.html

http://forums.futura-sciences.com/sc...nveloppes.html

Et la discussion wikpédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuss...eux_enveloppes

J'ai souvenir avoir lu que Raymond Smullyan dit que c'est un problème difficile.

Cordialement.

[inviteda201019]

Pour moi il à toujours été clair qu'il faut échanger la boite.

La plupart des sondés soutiendra qu'échanger les boites ne sert a rien car si on fait à nouveau un choix on a une chance sur 2 de tomber sur la bonne boite.

De plus, même certains profs de maths (et pas que de niveau college je m'entend bien) prouveront par l'écriture mathématique qu'échanger les boites est inutile. D'apres moi tout vient dans la transposition des maths exprimés par la locution aux maths écrits. Si vous ne tenez pas le bon raisonnement en locution vous n'arriverez pas plus par les équations qui ne font que de conforter dans l'erreur, dans le cas des boites, je ne pense pas que le phénomène induisant l'erreur soit d'origine psychologique, plutôt inhérent aux quadrants, d'ou le paradoxe d'avoir un prof de maths non quadrant A mais B ou C..., mais la persistance à croire dur comme fer malgré l'exposition du bon raisonnement et de la bonne écriture, qu'échanger les boites ne change rien à la situation, la c'est vraiment du ressort de la psychologie.

[invite6f9dc52a]

La plupart des sondés soutiendra qu'échanger les boites ne sert a rien car si on fait à nouveau un choix on a une chance sur 2 de tomber sur la bonne boite.

De plus, même certains profs de maths (et pas que de niveau college je m'entend bien) prouveront par l'écriture mathématique qu'échanger les boites est inutile. D'apres moi tout vient dans la transposition des maths exprimés par la locution aux maths écrits...

Je dirais en raccourci qu'il faut poser le problème de probabilités correctement.

[stefjm]

Il y a aussi le paradoxe des deux enveloppes qui est bien sympa...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradox...eux_enveloppes

http://forums.futura-sciences.com/ep...velloppes.html

http://forums.futura-sciences.com/sc...nveloppes.html

Et la discussion wikpédia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuss...eux_enveloppes

J'ai souvenir avoir lu que Raymond Smullyan dit que c'est un problème difficile.

Cordialement.

Pourquoi Raymond Smullyan, lui-même, dit qu'il n'a jamais vu d'explication totalement satisfaisante?
Dans son bouquin, "Ca y est, je suis fou", il donne les deux "solutions" sans trancher.

Comme je me dit que ce ne doit pas être un imbécile, j'aimerai comprendre au moins un petit peu! (Ou avoir l'impression de comprendre)

Cordialement.

[inviteda201019]

Je dirais en raccourci qu'il faut poser le problème de probabilités correctement.

Pourtant le problème entre les partisans de l'échange ou de l'indifférence reste le même malgré toutes les méthodes graphiques utilisées pour contourner le probleme des probas.

De la même façon que les indifférents considerent 1/2 1/2 sur chaque boite, ils s'arretent visuellement au fait qu'il ne reste que deux boites, ils ne veulent ni exprimer oralement l'influence du facteur de la suppression de la boite vide en connaissance de cause par l'ouvreur, ni le transcrire mathématiquement, ils nient et n'acceptent pas du tout le fait que les 1/3 qui pesaient sur la boite vide doivent etre reportés sur le 1/3 de la non choisie et non pas sur l'ensemble, c'est le noeud du probleme. L'evenement "ouverture de la boite vide" est considéré comme ayant aucune influence.... Est ce parce que mathématiquement on a du mal à écrire la ligne "Ouverture de la boite vide connue par l'ouvreur et je la montre au décideur qui devra faire un choix sachant qu'il ne reste que 2 boite MAIS LA 3eme ETAIT VIDE"... ?

[inviteda201019]

Pourquoi Raymond Smullyan, lui-même, dit qu'il n'a jamais vu d'explication totalement satisfaisante?
Dans son bouquin, "Ca y est, je suis fou", il donne les deux "solutions" sans trancher.

Comme je me dit que ce ne doit pas être un imbécile, j'aimerai comprendre au moins un petit peu! (Ou avoir l'impression de comprendre)

Cordialement.

Etre intelligent ne signifie pas avoir toujours raison et tout savoir. Etre un imbécile ne signifie pas ne jamais avoir raison et ne rien savoir.
Si quelqu'un a raison à plus de 50% lorqu'il tranche sur les solutions possibles à n'importe quel problème donné, je suis prêt à miser énormément d'argent sur cette personne et lui remettre ma vie entre mes mains (60% de départ étant l'idéal)

Or lorsqu'il dit "Ca y est je suis fou" c'est qu'à ce moment, il a une défaillance ne lui permettant pas de juger et de trancher... pourtant cette personne a peut être raison dans sa vie à 70% lui donnant l'accès à la réussite....

[invite8cb0e9a3]

Il faudra choisir de nouveau. Le but du jeu étant de trouver la boite qui contient le cadeau, choisir de nouveau implique gagner forcément. Car que la boîte de nouveau choisit comporte ou pas le cadeau, on s'aura ou se trouve le cadeau. Si ce n'est Pierre c'est Paul. Bien sur on partira du principe que la première boite en cas d'autre tirage sera "CONNU". Condition donc.

[inviteccac9361]

Bonjour,

Si quelqu'un a raison à plus de 50% lorqu'il tranche sur les solutions possibles à n'importe quel problème donné, je suis prêt à miser énormément d'argent sur cette personne et lui remettre ma vie entre mes mains (60% de départ étant l'idéal)

Mais si il a systématiquement raison à 20%, lorsqu'il s'agit de choisir entre deux possibilités, c'est qu'il est fou.
Donc on peut se fier à 80% que l'opinion inverse est juste.
C'est un fou utile.

[inviteda201019]

Bonjour,



Mais si il a systématiquement raison à 20%, lorsqu'il s'agit de choisir entre deux possibilités, c'est qu'il est fou.
Donc on peut se fier à 80% que l'opinion inverse est juste.
C'est un fou utile.

Oui c'est exact, sauf qu'il faut en connaitre des personnes de bon niveau intellectuel qui ont raison à seulement 20%.... à partir du moment ou quelqu'un n(a pas de capacités intellectuelles et pas de connaissances, il aura raison aux alentours de 45% - 55% mais il vaudrait mieux ne pas miser gros...

[inviteccac9361]

Pourtant le problème entre les partisans de l'échange ou de l'indifférence reste le même malgré toutes les méthodes graphiques utilisées pour contourner le probleme des probas.

Il est inutile de faire des probabilités très poussées pour se convaincre de la nécéssité de changer la boite.
Il suffit d'étendre le problème à 1000 boites et de constater que le problème avec 3 boites reste le même.

On prend 1 boite parmi 1000, on a 1/1000 chances d'avoir le cadeau.
Ensuite on élimine les 998 boites restantes, qui sont vides, et il reste 1 boite vide ou contenant un cadeau.
La boite déja détenue a toujours 1 chance sur 1000 de contenir le cadeau, ça ne change pas.
Mais la boite restante a beaucoup plus de chance que 1/1000 de contenir le cadeau, sans même calculer cette probabilité.

Maitenant que l'on a une idée général du problème on peut raisonner avec 3 boites.
On prend 1 boites parmi 3, on a 1/3 chances d'avoir le cadeau.
On élimine 1 boite.
Au pire (ce qui intuitivement n'est pas le cas d'après le raisonnement avec 1000 boites), sans calculer, on a 1 chance sur 3 d'avoir le cadeau dans cette boite disponible.
On a au pire, la même chance d'avoir le cadeau dans la boite restante, que dans la boite tenue.

Autant changer puisqu'il y a un doute sur le fait que la boite restante a plus de chances de contenir un cadeau...
Ca ne peut pas être l'inverse, la boite prise en premier ne peut pas avoir le cadeau avec une probabilité plus forte que celle restante.
Echanger la boite, au pire ne fait rien, au mieux augmente les probabilités d'avoir le cadeau.

[inviteda201019]

Bah, le coup des 1000 boites c'est le seul argument notoire et rapide dont on dispose pour convaincre.... mais même avec 1000 boites à son époque le profs de maths avait déclaré que ca n'y changeait rien et avec les autres élèves, ont déclaré que si j'avais raison ca se saurait....