Trouver la suite II

[CM63]

Bonsoir,

Ben just find the sequence :

1
2
4
12
35
82
207


Bonne soirée
-----

[CM63]

Je vous donne quelques termes supplémentaires:

1
2
4
12
35
82
207
383
766
1917

[CM63]

Bonsoir,
Je vous donne une indication : on remarque que si U_n est premier, U_n+1 est égal à 2U_n .

[CM63]

Bonjour,

Cela n'inspire pas grand monde . Un petit complément : dans l'expression du terme générale, on utilise notamment la somme des termes deux à deux distincts (mais éventuellement égaux) d'un ensemble de nombres. Soit E cet ensemble, où éventuellement certains nombres peuvent être en plusieurs exemplaires.

Par exemple si E={a,b,c}, S(E) sera égal à a*b + a*c + b*c.
Si E={a,b,b}, S(E) sera égal à 2*a*b + b². Dans cet exemple b est en deux exemplaires distincts mais égaux.

Eh bien par convention, si E est un singleton*, S(E) est nulle.

Si cela peut vous aider .

Bonne journée.

* : E ne peut pas être vide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

Bonsoir,

Vous ne voulez pas vous creuser la cervelle ?

Bonne soirée

[CM63]

Bonjour,

Alors, cette suite?

Bonne journée.

[invitebcaeb245]

pas ludique pour un sou, ta suite. Ressemble à un devoir de maths et pour ma part ayant quitté l"école il y a très très longtemps, je ne comprends pas un traître mot de tes indices !

[CM63]

Bonsoir,
J'ai entendu dire cela dans les années 80, au début de ma carrière, par une collègue, puis dans les années 90, par une autre collègue, et je me suis toujours juré de ne jamais le dire pour moi-même (j'arrive à la retraite, dans un mois): "j'ai passé l'age d'aller à l'école".
Bonne soirée.

[Nicophil]

Bonsoir,

et je me suis toujours juré de ne jamais le dire pour moi-même : "J'ai passé l'âge d'aller à l'école".

+1 !

[invite39f39e37]

Bonjour,
ma solution:
- Si le nombre est premier alors faire x2
- Si nombre est divisible par 3 et 4 alors faire la différence de son tiers et de 3 Ensuite faire le nombre divisible par 3, fois 3 et retirer la différence des multiple (12x3)-1=35
- Si nombre divisible par 5 alors faire la différence de son cinquième et de 5 Ensuite faire le nombre fois la différence obtenue et additionner avec le nombre précédent
- Si nombre divisible par 2 alors faire le nombre fois 2 et faire + le nombre divisé par 2 et rajouter 2
- Si deuxième nombre divisible par 3 et 9 alors faire la somme des nombres précédent et rajouter 40 (343+40)
Donc le prochain nombre serait:
3449 .____.
Si c'est la bonne réponse alors c'est vraiment tordu ^^

[CM63]

Bonsoir ._____. ,

Ton raisonnement est très élaboré. As-tu vérifié que cela marchait pour toutes les valeurs que j'avais données? Parce que j'avoue que je n'en ai guère le courage . Bravo en tout cas.

Mais ce n'est pas cela car la valeur suivante est 2663 . Pour t'aider, je dirais que dans l'algorithme il n'y a aucun test, l'expression de U_n en fonction de U_n-1 est donnée directement par un formule arithmétique.

Bon courage!

[invitebcaeb245]

Bonjour,

malgré ta peu charmante réponse, je me creuse les méninges : je propose mais je n'arrive pas très loin:

mon premier terme est 1,
A) Il est le résultat de 1.1= 1
B) J'additionne ce premier résultat soit = 1.1 + 1.1= soit 2, second résultat second terme
C) je multiplie le second terme par le premier (2.1) et j'additionne les 2 premiers résultats soit 2.1 + 2= 4,
D) je multiplie ce résultat par le premier terme (4.1), je multiplie ce résultat par le deuxième terme (4.2) et j'additionne = 4.1 + 4.2 = 12
E) je multiplie ce résultat par le deuxième terme (12.2) je l'additionne à (1.1) + (1.1 + 1.1) + (2.4)= 35
F) je multiplie ce résultat par le deuxième terme (35.2) je l'additionne au résultat précédent (qui contient tous les termes et tous les résultats) soit 35.2 + 12= 82
G) je multiplie ce résultat par le deuxième terme (82.2) je l'additionne au résultat précédent (35) + le résultat C.2 (4.2)= soit 164 + 35 + 4.2= 207

et ....suis-je sur la bonne piste ? Si non, je ne continue pas évidemment !

[CM63]

Bonsoir Runjulia

Je ne comprends pas très bien ton algorithme. Si cela revient à dire que U_n = 2U_n-1 + U_n-2 , ce n'est pas cela, ça marcherait pour certains termes mais pas pour tous.
Selon ton algorithme, quel serait le terme suivant?

Si tu cherches une solution sous la forme U_n = A U_n-1 + B U_n-2 , avec A et B à déterminer, il suffit de construire le tableaux des différences U_n - U_n-1 , puis le tableau des différences des différences. Si ce dernier ne donne pas une constante, cela veut dire que la solution n'est pas sous cette forme.

Pour rechercher une solution sous cette forme mais avec 3 termes, il faire le tableau des différences des différences des différences. S'il n'est pas constant, ce n'est pas bon non plus.

Mais j'ai parlé à un moment de nombre premier, c'est plutôt dans cette direction qu'il faut chercher. Si U_n est premier, U_n+1 est égal à 2U_n .

Bon courage.

[invitebcaeb245]

Bonjour,

ah oui je comprends que tu ne comprennes pas : j'ignore ce qu'est un algorithme.

Cela me renvoie à: une vaste étendue d'ignorance et de ridicule, mais le ridicule ne tue pas, c'est bien connu ! Pardon d'avoir interféré dans une discussion absolument pas de mon niveau.

Je suis juste vexée de n'avoir pas capté la chose et ignoré ces indices, que ceci était un problème qui ne concernait pas le niveau zéro où je me trouve. Désolée de t'avoir importuné de la sorte, j'espère que tu ne me tiens pas rigueur de mon impétueuse idiotie

[CM63]

Bonsoir Runjulia,

Ce n'est pas grave, et surtout en dernier approche, en effet le propos de ce fil n'est pas d'étaler son savoir.

Ce qu'est un algorithme? C'est extrêmement simple, cela désigne une méthode pour calculer quelque chose, tout simplement, une formule mathématique qui donne un résultat. Par exemple la banque te dit que tu fais un emprunt à x% annuel, il y a un algorithme pour calculer ce que tu paieras tous les mois en fonction:

• de la durée de l'emprunt,
• de la somme empruntée.

Dans le cas qui nous intéresse, nous avons une suite de nombres. Connaissant le premier terme de la suite, ou plusieurs de ces premiers termes, il existe une formule pour calculer le terme suivant. On dit que l'algorithme est récurrent: la formule utilisée est toujours la même et ne dépend pas du rang du terme à calculer (suis-je en train de calculer le 10^ième terme ou le 20^ième terme? La formule sera toujours la même).



La suite que je propose est de ce type : il existe une formule récurrente (toujours la même) pour calculer le terme courant en fonction des précédents. Je donne une précision supplémentaire : en fonction du précédent.



Bonne chance et bon courage !

[invite39f39e37]

Re-bonjour,
excusez moi pour le temps d'attente entre chacune de mes réponses :s
J'ai trouvé une autre solution qui me paraît plus probable:
Dans la suite 1-2-4-12-35-82-207-383-... On remarque que le nombre de nombres premiers = ou inférieur aux nombres ci contre augmente de manière constante: Pour 1 on a 1 pour 2 on a 2 nombres premiers, pour 4 on en a 3, pour 12 on en a 6, pour 35 il y a 12 nombres premiers compris entre 1 et 35 etc... On remarque que la somme du nombres de nombres premiers correspond au nombres de nombres premiers situés en dessous du nombre Un+1 et donc le nombre suivant: Exemple: 1+2+3+6+12=24 et 24 correspond au nombre de nombres premiers inférieurs (ou égal pour 383 notamment) à 82.
Pour 207 je n'ai pas encore eu le temps de calculer le nombre de nombres premiers mais d'après ma logique il y a 24+12+6+3+2+1=48
Est-ce correct?
(Si vous n'avez pas suivit tout mon raisonnement n'hésitez pas à le dire, je ne suis pas toujours très clair)

[CM63]

Bonsoir,
En fait il faudrait une formule générique, toujours la même quelque soit le nombre. C'est ce que je veux dire quand je dit que l'algorithme est récurrent.
Le nombre de nombres premiers avant U_n n'intervient pas, mais seulement, allez je donne une indication, la décomposition en facteurs premiers de U_n .
Bonne soirée.

[invite39f39e37]

Bonsoir,
j'ai un début: 2*35+(35/5)+5=Un+1=82 (5 étant le premier facteur premier)
2*82+(82/2)+2=207
2*766+(766/2)+2=1917
2*383+(inexistant)+inexistant= 766
(2*12+(12/4)+6+2=?35)----> ne fonctionne sûrement pas
2*2663=5326
?2*5326+(5326/2)+2=13317
Comme vous l'aviez dit, les nombres premiers sont tout simplement multipliés par 2.
Les nombres comme 82,35,766,5326, si on les divisent 1 fois par le nombre premier le plus petit possible, on obtient un nombre premier.
Pour obtenir le nombre suivant avec ceux-là on fait: Un+1=2*Un+(Un/plus petit diviseur premier)+le plus petit diviseur premier, autrement dit
on additionne le double du nombre, le nombre premier qui est un des diviseurs du nombre (pour 82 c'est 41), et 81/41.
Sauf que ça ne fonctionne pas pour 12, encore moins pour 207 et 1917, les nombres après 207 et 1917 sont premiers et sont très petit par rapport à eux (82*2 inférieur à 207 mais 207*2 supérieur à 383), pour ce qui est du 12 on peut encore trouvé une formule même si elle ne ressemble pas aux autres, elle garde une logique semblable. J'ai tenté de trouver une formule pour passer de 207 à 383 et 1917 à 2663:
207+(207/9*7)+15=383 et 1917+(1917/27*10)+36=2663. Seulement je ne sais pas expliquer le "15" et le "36".
Je continuerai demain
En tout cas bravo pour votre "énigme" elle est compliquée et j'aime ça

[CM63]

Bonjour,
C'est bien, je vois que tu t'obstines . Je vais te donner encore quelques indications:
- tu pars de la décomposition de U_n en facteurs premiers,
- appelons P_n cet ensemble, je vais tenter une définition en explication, mais très imprécise, juste pour avoir un symbole pour les facteurs premiers:



Dans la décomposition de U_n en facteurs premiers, on réduit la multiplicité, c'est-à-dire que pour U_n=1917, P_n est égal à {3,3,3,71}. Le nombre 3 est répété 3 fois, car il est élevé à la puissance 3 dans le calcul de 1917:

1917 = 3³ * 71 .

Après, l'expression de U_n+1 est tout simplement un polynôme en P_n

Bon courage.

[invite39f39e37]

Bonjour,
2663=1917+666+80 avec: (666=3*3+3*3+71*3+3*3+3*71+3*7 1 et 80=3+3+3+71)
383=207+3*3+3*23+3*23+29
Donc: Un+1=Un+somme des diviseurs premiers+la somme d'un ensemble de nombre avec votre technique : S(a,b;c)=ab+ac+bc
Pour 82 à 207 ça devient: 82+41*2+41+2=207
(Désolé mais je ne sais pas écrire en Latex)

[CM63]

Bonjour,

Mouais , c'est à peu près ça, sans écrire en L^AT_EX, tu pourrais être un peu plus précis. Il suffit de dire:

• chaque terme de la suite est calculé à partir du précédent en décomposant ce dernier en facteurs premiers, et en ajoutant:
  • le produit des facteurs (c'est-à-dire le terme lui-même),
  • la somme des facteurs,
  • la somme des produits deux à deux des facteurs (distincts mais qui peuvent être égaux, comme dans le cas de nos trois 3).

Et tu complètes en donnant un exemple :

• par exemple si U_n est décomposé en facteurs premiers sous la forme : U_n = a*b*c
• U_n+1 sera égal à a*b*c + a + b + c + a*b + a*c + b*c

(j'utilise l'étoile pour représenter la multiplication, c'est ce qu'on fait en informatique, cela évite de confondre avec la lettre X ou le point).

Bravo pour avoir essayé.

En fait, quand je me suis posé ce problème (mais là on est hors sujet), je me demandais si la suite était convergente, ou au moins croissante. Elle ne semble même pas croissante, puisque, même si la plupart du temps U_n+1 est supérieur à U_n , nous avons observé des cas où c'était le contraire. Devient-elle croissante à partir d'un certain rang?

Bonne journée.

[invite39f39e37]

Re-bonjour,
sur wikipedia c'est marqué qu'une suite est croissante si Un+1 est supérieur ou égal à Un or c'est le cas.
Peut-être vouliez vous dire "strictement croissante"?
Pour ce qui est de la convergence il faudrait donc prouver qu'à un moment donné il n'y a plus de nombres premiers dans la suite. (Puisque si Un est premier Un+1=2Un, ce nombre premier est donc le dernier si la suite est convergente)
En traçant la "courbe?" j'ai vu que cela ressemblait à une parabole (Avec x le quantième nombre et y=Un), x ne fait qu'augmenter, on obtient forcement une non convergence non?
( je ne suis pas spécialiste dans la matière^^)

[CM63]

Bonjour,

Oui, pardon, c'est dans les calculs d'écart que j'ai observé une décroissance. Mais pour la suite elle-même, on doit pouvoir démontrer que U_n+1 est toujours supérieur à U_n . U_n+1 étant égal à U_n plus quelque chose de strictement positif (la somme des facteurs premiers, plus la somme des produits deux à deux des facteurs premiers), cela semble évident.

Bonne journée.

[invite39f39e37]

Bonjour,
On remarque que le rapport entre Un+1 et Un: (Un+1)/Un est compris entre 1,389 et 3 ( en tout cas pour les nombres qui ont été calculés pour l'instant)
12/4=3
35/12=2,9166666...
82/35=2,342857143...
207/82=2,524390244...
383/207=1,850241546...
766/383=2
1917/766=2,502610966...
2663/1917=1,389149713...
5326/2663=2
13317/5326=2,500375516...
On voit que si Un+1 est un nombre premier, (Un+1)/Un est inférieur à 2 ( on voit aussi que 383/207 est supérieur à 2663/1917...)
Et en même temps, comme vous aviez dit, Un + une nombre différent de 0 ne donnera jamais Un. Donc (Un)+k=(Un+1) avec k différent de 0
On peut donc supposer que le minimum possible pour la division de (Un+1)/Un est 1+1/infini ou 1+dx?

[CM63]

Si U_n est premier, U_n+1/U_n est égal à 2.

[invite39f39e37]

Bonsoir,
oui je me suis trompé.
Vous auriez pas une autre énigme du même niveau de difficulté ou plus ?

[CM63]

Tu en as toi-même ébauché une , le rapport U_n+1/U_n du présent exercice a-t-il une limite? Si oui, quelle est-elle?

Bonne nuit.

[invite39f39e37]

Bonsoir,
en fait il serait plus facile de trouver la réponse aux problèmes si on pouvait connaître le n-ième nombre de votre série sans connaître le précédent, est-il possible de trouver une formule pour ça?

[CM63]

Bonjour,

Pour retrouver une formule en U_n =F(n) au lieu de U_n = G(U_n-1), je ne connais pas de méthode générale.

Peut-on s'inspirer de la méthode utilisée pour les suites linéaires, où G est une expression linéaire de U_n-1 , U_n-2 , etc ? Dans ce cas, on cherche une solution de la forme U_n = Aⁿ , et on en déduit une équation polynomiale en A. Peut-on s'en inspirer en faisant varier A?

Bonne soirée.