Le problème de l'avion

[Juzo]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème à vous proposer, que j'étais assez content d'avoir résolu J'ai trois solutions : l'officielle, la mienne et la proposition d'un collègue.
Voici l'énoncé, je vous donnerai la source si vous le souhaitez.

"Un avion de ligne a cent places et les cent passagers ont tous une place attitrée. Ils montent un à un dans l'avion. Le premier, ne faisant pas attention à la place qui lui est attitrée, s'assoit à une place au hasard. Le deuxième s'assoit à sa place sauf si elle est déjà occupée par le premier, dans ce cas, il en prend une autre au hasard. Le troisième s'assoit à sa place si elle est libre, sinon il en prend une autre au hasard et ainsi de suite jusqu'au dernier passager.
Quelle est la probabilité que le dernier passager trouve sa place attitrée libre?

Qu'en pensez-vous ?
-----

[invitef29758b5]

Salut

 Cliquez pour afficher

Je dirais 1/100
Le seul cas ou le dernier est à sa place est celui ou le premier s' est assis à la bonne place .

[invite88383c96]

Hum, une chance sur deux > soit c est la sienne soit non, je suis nul pour ces trucs xD

[Olivzzz]

Salut
(..)

Bien vu

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Exemple typique de problème encombré de paramètres inutiles pour embrouiller les esprits

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c093f92]

2 solutions:
1-

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100/100 si le 1er s'assoit à sa bonne place par hasard

2-

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1/2. Si le 1er ne s'assoit pas à sa place, le 2ème a 1/99 de s'asseoir à sa place, le 3ème 1/ 98 , le 4ème 1/97...ect le dernier 1/2.

[SunnySky]

Salut

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Je dirais 1/100
Le seul cas ou le dernier est à sa place est celui ou le premier s' est assis à la bonne place .

Selon moi:

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Ce n'est pas si simple. Par exemple, imaginons que le premier prenne le siège 3. Le deuxième prendra alors nécessairement le siège 2. Le troisième passager, voyant son siège déjà occupé, prendra un siège au hasard, ce qui pourrait être le siège 1. Et alors tous les autres passagers occuperont leur siège.

En somme, il faut trouver la probabilité qu'un passager X occupe le siège 1 par hasard sachant que le passager 1 a choisi le siège X. Si X=99 (p=0,01), la probabilité est de 1/2. Si X=98 (p=0,01), la probabilité est de 1/3.

Mais ça se complique: si X=13 (p=0,01) et si le treizième choisit le siège 47 (p=1/87), alors X devient 47.

Je n'ai pas de réponse à donner, mais c'est certainement supérieur à 1%.

[trebor]

Bonjour à tous,

A 99,99 % il va trouver sa place attitrée, car pour que le dernier ne soit pas à sa place, il faut que le 1er qui monte dans l'avion s'assoit à la place du dernier, ce qui est très peu probable.

Dans la réalité, celui qui n'est pas à sa place doit la quitter.

Mais voyons la bonne solution, car logiquement il ne doit y en avoir qu'une seule de bonne.

[Deedee81]

Salut,

A 99,99 % il va trouver sa place attitrée, car pour que le dernier ne soit pas à sa place, il faut que le 1er qui monte dans l'avion s'assoit à la place du dernier, ce qui est très peu probable.

Pas nécessairement car le premier peut prendre par hasard la place du deuxième qui par hasard prend la place du dernier ou du troisième et dans ce cas le troisième prend par hasard la place du dernier ou du quatrième etc.....

Mais amha la probabilité que le dernier aie sa place reste relativement proche de 1. Le calcul n'est pas élémentaire. Une centaine de cas avec un ch'tit calcul de proba à chaque fois. Qui a le courage de le faire ?
On peut s'entrainer avec trois sièges et trois passagers. Puis quatre. Ca c'est assez facile et rapide et ça donnera une idée.

Problème fort sympa en tout cas. Merci Juzo

EDIT ouf non, plus compliqué. Le premier prend par hasard la place du troisième par exemple. Le deuxième prend sa place. Et là le troisième prend par hasard... etc...
Y a beaucoup de cas. Et je parie que le résultat final est simple. C'est souvent le cas avec ce genre de problème à la mord moi le noeud.

[Juzo]

Bonjour Ã* tous, je n'arrive pas Ã* lire les messages cachés sur mon téléphone, je prendrai un ordinateur.
Dynamix ce n'est pas 1/100, par exemple il y a aussi la possibilité que le 1er prenne la place du 2ème et inversement...
C'est loin d'être 99,99 % aussi

[invitef29758b5]

Selon moi:

Effectivement

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J' ais oublié que le passager X dont 1 a pris la place peut choisir de prendre le siège 1
Dans ce cas , tous les passager sont à leur place sauf 1 et X

[CM63]

Bonjour,

Bonjour Ã* tous, je n'arrive pas Ã* lire les messages cachés sur mon téléphone

Pourtant le truc qui se déroule, c'est du html de base , pas de script ou autre. Mais bon , que les téléphones ne soient pas aux normes, c'est pas nouveau.

[CM63]

Bon , sans filet:

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Nombre de configurations de placement des passagers : n!
Nombre de configurations où le dernier passager est à sa place : (n-1)!

Donc probabilité : , non?

[invitef29758b5]

@SunnySky pour confirmation :

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Si le dernier n' est pas à sa place , il ne peut être qu' à la place du 1

C' est curieux

[Deedee81]

Bon , sans filet:

Le fait que les passagers prennent leur place si celle-ci est libre (sauf le premier) implique que certaines configurations sont impossibles.
Par exemple le premier passager s'assied à sa place et le deuxième non. C'est impossible selon les règles.

[Juzo]

Bonjour, je n'arrive pas à afficher les textes masqués. Dynamix : ce n'est pas 1/100. Par exemple, il y a aussi le cas où le 1er prend la place du 2ème, et vice versa. C'est loin d'être 99,99 % aussi.

[invite6c093f92]

Je "démasque" alors.
Solution 1:
100/100 si le 1er s'assoit à sa bonne place par hasard.
Solution 2:
1/2. Si le 1er ne s'assoit pas à sa place, le 2ème a 1/99 de s'asseoir à sa place, le 3ème 1/ 98 , le 4ème 1/97...ect le dernier 1/2.

[Médiat]

Hum, une chance sur deux > soit c est la sienne soit non, je suis nul pour ces trucs xD

J'ai bien l'impression que c'est la bonne réponse (pas tout à fait pour la bonne raison)

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Si est le nombre de passagers

[invitef29758b5]

Le fait que les passagers prennent leur place si celle-ci est libre (sauf le premier) implique que certaines configurations sont impossibles.

Oui

Par exemple le premier passager s'assied à sa place et le deuxième non. C'est impossible selon les règles.

Autre exemple de cas impossible :
Le dernier s' assoit à la place du deuxième

[Deedee81]

J'ai bien l'impression que c'est la bonne réponse (pas tout à fait pour la bonne raison)

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Si est le nombre de passagers

Ca me paraît peu.... mais dans ce domaine, l'intuition, bien fol qui si fie.

Comment tu l'as calculé ? (et si c'est bon, le résultat final est simple, c'est ce qui est sympa avec ce genre d'exercice)

[Médiat]

Comment tu l'as calculé ? (et si c'est bon, le résultat final est simple, c'est ce qui est sympa avec ce genre d'exercice)

En comptant bêtement :

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mais à partir de la fin (en considérant d'une part le cas "1 prend la place 1 ou la place 100", et d'autre part le cas "1 prend la place 99") ce qui permet de mettre en place une récurrence (je me pardonne cet abus de langage ) jusqu'à "1 prend la place 2".

[Juzo]

didier941751

Re : Le problème de l'avion
Je "démasque" alors.
Solution 1:
100/100 si le 1er s'assoit à sa bonne place par hasard.
Solution 2:
1/2. Si le 1er ne s'assoit pas à sa place, le 2ème a 1/99 de s'asseoir à sa place, le 3ème 1/ 98 , le 4ème 1/97...ect le dernier 1/2.

Dans la solution 2, tu suggères que les chances du n-ième passager sont 1/(101-n), ce qui fait 1/1 pour le 100ème passager, et pas 1/2. En fait si le 1er ne s'assoit pas à sa place, les chances du 2ème sont 98/100.

En comptant bêtement :

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mais à partir de la fin (en considérant d'une part le cas "1 prend la place 1 ou la place 100", et d'autre part le cas "1 prend la place 99") ce qui permet de mettre en place une récurrence (je me pardonne cet abus de langage ) jusqu'à "1 prend la place 2".

Je ne comprends pas bien cette façon de compter, et comment elle donne par récurrence la fraction que tu proposes plus haut. Pourrais-tu préciser ?

[Juzo]

*98/99 pour les chances du 2ème

[invitef29758b5]

Si le 1er ne s'assoit pas à sa place, le 2ème a 1/99 de s'asseoir à sa place, le 3ème 1/ 98 , le 4ème 1/97...ect le dernier 1/2.

Le cas du 2 est simple .
s' il trouve pas sa place c' est que le 1 l' occupe .
Le cas du 3 est plus compliqué .
S' il ne trouve pas sa place , c' est soit que 1 l' occupe , soit que 1 occupe la place 2 et 2 la place 3 .
Le cas du 4 est encore plus compliqué .

[Médiat]

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1) Soit le 1 se place en 1 (et le 100 est à sa place), soit le 1 prend la place 100 (et le 100 n'est pas à sa place) 1 chance sur 2
2) Soit le 1 est à la place 99, et tous les passagers entre 2 et 98 sont à leur place, le 99 n'a le choix qu'entre la place 1 (et 100 est à sa place) et la place 100 (et 100 n'est pas à sa place) soit 1 chance sur 2.
3) Soit le 1 est à la place 98, et tous les passagers entre 2 et 97 sont à leur place, le 98 peut choisir la place 1 et 99 et 100 sont à leurs places, soit la place 100 (et 100 n'est pas à sa place), soit 1 chance sur 2 parmi ces cas, soit le 98 se place en 99 et le 99 se trouve avec le même genre de choix qu'au cas précédent soit 1 chance sur 2
4) etc.
A chaque étape on trouve 1/2, il n'est donc même pas utile de calculer les probabilités de chaque étape puisque le calcul final donnera forcément 1/2

[Deedee81]

En comptant bêtement :

Merci de la précision. J'ai parfois tendance à chercher une approche compliquée alors qu'une approche du type "programmation dynamique" est assez simple.

Bravo.

[invite6c093f92]

@ Dynamix:
Oui, pour le 2ème il n'a pas 1/99, je pensais au choix du "par hasard" pour celui qui vient s'asseoir : s'asseoir à sa place par hasard (1/ nb sièges restants) et à la fin il reste pour le dernier deux choix: Sa place a été prise ou non. Qu'importe les combinaisons, il ne peut y avoir que ces deux choix, ...m'enfin, c'est comme ça que j'ai pensé...en fait j'ai toujours été nul à ces jeux là, du coup j'ai la bonne réponse...par hasard

[Juzo]

 Cliquez pour afficher

1) Soit le 1 se place en 1 (et le 100 est à sa place), soit le 1 prend la place 100 (et le 100 n'est pas à sa place) 1 chance sur 2
2) Soit le 1 est à la place 99, et tous les passagers entre 2 et 98 sont à leur place, le 99 n'a le choix qu'entre la place 1 (et 100 est à sa place) et la place 100 (et 100 n'est pas à sa place) soit 1 chance sur 2.
3) Soit le 1 est à la place 98, et tous les passagers entre 2 et 97 sont à leur place, le 98 peut choisir la place 1 et 99 et 100 sont à leurs places, soit la place 100 (et 100 n'est pas à sa place), soit 1 chance sur 2 parmi ces cas, soit le 98 se place en 99 et le 99 se trouve avec le même genre de choix qu'au cas précédent soit 1 chance sur 2
4) etc.
A chaque étape on trouve 1/2, il n'est donc même pas utile de calculer les probabilités de chaque étape puisque le calcul final donnera forcément 1/2

C'est incomplet pour moi. Par exemple dans le cas 3), le passager 98 peut aussi prendre la place 99, il y a donc une chance sur 3 qu'il prenne la place 100. Dans le cas 4) il y a encore plus de possibilités etc.

[invitef29758b5]

le passager 98 peut aussi prendre la place 99

Dans ce cas le 99 a le choix entre 1 et 100 => une chance sur deux de une chance sur trois .

[Sica]

Bien Le Bonjour,

"Un avion de ligne a cent places et les cent passagers ont tous une place attitrée. Ils montent un à un dans l'avion. Le premier, ne faisant pas attention à la place qui lui est attitrée, s'assoit à une place au hasard. Le deuxième s'assoit à sa place sauf si elle est déjà occupée par le premier, dans ce cas, il en prend une autre au hasard. Le troisième s'assoit à sa place si elle est libre, sinon il en prend une autre au hasard et ainsi de suite jusqu'au dernier passager.
Quelle est la probabilité que le dernier passager trouve sa place attitrée libre?

Ben pour moi, c'est 1 chance sur 2 => soit elle est libre, soit elle n'est pas libre

A moins que j'sois blonde !!....
Sica

[Juzo]

Ben pour moi, c'est 1 chance sur 2 => soit elle est libre, soit elle n'est pas libre

A moins que j'sois blonde !!....

Bonjour Sica, ce n'est pas parce qu'il y a deux possibilités qu'elles ont 1 chance sur 2 d'arriver. Deux exemples : je lance un dé, soit je fais 1 soit je ne fait pas 1, je lâche un oeuf de 2 étages, soit il se casse soit non.