1=2=3=4=5=...

[azt]

Bonjour,
A force de voir les démonstrations de 2=1, je ne sais pas si celle ci a déjà été proposée.
Je ne l'ai pas retrouvée, donc désolé si c'est une redite.

Vous connaissez surement l'égalité suivante démontrée d'une manière très originale par Gauss quand il était enfant :
1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Cette égalité est vraie pour tout entier n, on peut donc l'écrire pour n-1 :
1+2+3+...+(n-1) = (n-1)n/2
Si on ajoute 1 à chaque terme, on obtient :
1+2+3+...+(n-1) +1 = (n-1)n/2 +1
Or (n-1) + 1 = n
D'où
1+2+3+...+n = (n-1)n/2 +1
Ce qui donne :
n(n+1)/2 = (n-1)n/2 +1
n(n+1) = (n-1)n +2
En développant :
n²+n = n² - n +2
2n = 2
Ce qui donne :
n = 1

Où est l'erreur
-----

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Haha! Spoiler:


Où as-tu pris que 1 + 2 + ... + (n-1) + 1
était égal à
1 + 2 +... +n
??? essaye avec n = 3 par exemple...


-- françois

[azt]

Tiens, je ne connaissais pas la couleur LemonChiffon

[SunnySky]

Bonjour,

Haha! Spoiler:


Où as-tu pris que 1 + 2 + ... + (n-1) + 1
était égal à
1 + 2 +... +n
??? essaye avec n = 3 par exemple...

Il ne prétend pas cela et l'erreur est ailleurs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Il ne prétend pas cela et l'erreur est ailleurs...

Bonsoir,

Si, il prétend cela... en tout cas, c'est comme ça que je l'ai compris!
C'est une utilisation abusive de l'associativité de l'addition, du moins en apparence, parce que:
1 + 2 + ... + (n-1) + 1
est égal à
1 + 1 + 2 + ... + (n-1)
Plus précisément,
1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1) + 1 =
1 + 2 + ... + (n-2) + n
et il manque le terme (n-1).
Cela dit, la solution n = 1 est bel et bien la seule pour laquelle l'identité
1 + ... + (n-1) + 1 = 1 + ... + n
est vérifiée. Après, tu peux trouver une autre explication plus subtile, mais il me semble que mon point de vue bourrin et naïf est bien suffisant Quand il s'agit de montrer que 1 = 2, s'il y avait une raison profonde, ça se saurait depuis quelques millénaires...

-- françois

[invite6de5f0ac]

C'est une utilisation abusive de l'associativité de l'addition, du moins en apparence...

Rebonsoir,

En fait, tout repose sur le fait que (n-a)+a n'est pas égal à n-(a+a)...
L'addition est associative, pas la soustraction!

-- françois

[yvesw]

1+2+3+...+(n-1) +1 = (n-1)n/2 +1
Or (n-1) + 1 = n
D'où
1+2+3+...+n = (n-1)n/2 +1

effectivement 1+2+...+(n-1)+1 = 1+2+...+(n-2)+n

Les "..." c'est toujours un piège !

[SunnySky]

Bonsoir,

Si, il prétend cela... en tout cas, c'est comme ça que je l'ai compris!

Oups! Tu as raison. Je me suis gourré.

[azt]

Bonjour, désolé je n'ai pas pu intervenir ces dernier jours (ma box déconnait , enfin maintenant ça à l'air passé)

C'est bien la mauvaise utilisation des '...' comme souvent est encore à l'origine de l'erreur de la démonstration.
Bravo fderwelt pour ta célérité.

AZT.

[invite58239888]

Rebonsoir,

En fait, tout repose sur le fait que (n-a)+a n'est pas égal à n-(a+a)...
L'addition est associative, pas la soustraction!

-- françois

C'est vrai que ca ne marche pas dans le cas général, mais (n-1)+1, ca fera toujours n...

Quand vous voulez faire des maths, évitez l'excès de flemmardise! Il faut toujours se méfier des "...".

[invite6de5f0ac]

C'est vrai que ca ne marche pas dans le cas général, mais (n-1)+1, ca fera toujours n...

Bonjour,

Il n'empêche que (n-1)+1 ne fera jamais n-(1+1)... mais ce n'était pas vraiment là que résidait le bug.
Le coup des "...", j'avais essayé de le théoriser dans ma jeunesse, autant dire que c'était de la pure branlette (n'ayons pas peur des mots, à cet âge c'était normal), et évidemment sans succès. Tout ce que j'en avais retiré, c'est le refus systématique d'étudier la convergence d'une série donnée avec des "...", en prétextant qu'il n'y avait aucune raison de considérer les termes représentés par "..." comme différents de zéro.
Inutile de dire que je passais pour un emmerdeur...

-- françois

[invite58239888]

C'est sûr que si tu t'amusais à écrire tous les termes d'une série, tu ne devais pas avancer vite dans tes raisonnements...
Mais la jeunesse n'est-elle pas faite justement pour se poser des questions qui perdent tout leur intéret quand on grandit?
A ce propos, si tu peux m'aider, j'en suis toujours à me demander "pourquoi le poulet traverse-t-il la route?"...lol!

[invite6de5f0ac]

A ce propos, si tu peux m'aider, j'en suis toujours à me demander "pourquoi le poulet traverse-t-il la route?"...lol!

Bonjour,

Parce que, s'il n'y avait pas de route, il n'aurait rien à traverser. Ou en tout cas, on ne se rendrait pas compte qu'il traverse quelque chose, il a peut-être une image virtuelle de quelque chose à traverser dans ses boyaux de la tête de poulet.
Désolé, je viens de me farcir les Aventures de Duck Dodgers au Vingt-Quatrième Siècle et Demi, c'est terrorisant (le Méchant: "j'ai un bracelet de lave cristallisée qui me permet d'asservir à ma volonté toute forme d'énergie thermodynamique", le Gentil: "et comment on fait pour arrêter ça?", "il n'y a qu'à abaisser ce levier", "on a toujours besoin d'un bon vieux levier", je sais, c'est d'un crétinisme absolu, mais des fois ça fait du bien).

Et puis, j'ai passé pas mal de temps à Toulouse, je n'en garde que de bons souvenirs.

-- françois