Enigme (jeu de pièces)

[invite35452583]

Raoul (c'est un chat, et alors ?) propose le jeu suivant à Basile (disciplus simplex de son état) :
chacun d'eux choisit une séquence de trois piles ou faces, puis, on lance une pièce jusqu'au moment où une des deux séquences choisies sort, et, désigne ainsi le gagnant.
Exemple :
Raoul choisit PFP, le disciple choisit PPF
i)les tirages succesifs sont PFFPPF : le disciple gagne
ii)les tirages successifs sont FFPFP : Raoul gagne
Dans un accès de lucidité (ça lui arrive) Basile a compris que, si on n'arrête pas les lancers successifs, au bout d'un nombre n quelconque (>=3) de tirages chaque séquence a une probabilité de 1/8 d'être la dernière combinaison sortie. Et la probabilité qu'une des deux séquences sorte au bout d'un nombre fini de tirages est égal à 1.
Mais il a un doute : est-ce que, pour une raison qui lui reste obscure (c'est le disciple quand même), une combinaison ne serait malgré tout pas meilleure qu'une autre ?
Voyant ses doutes, Raoul propose à Basile que ce dernier choississe en premier.
Basile va demander conseil à Léonard. Si vous étiez Léonard que conseillerez vous à votre disciple ?
Les réponses intuitives sont évidemment autorisées mais il est également attendu une réponse argumentée, en sachant que :
1) ce jour là, Raoul a remis en cause votre génie le matin même, vous prenez donc fait et cause pour votre disciple, il va voir ce qu'il va voir ce chat prétentieux
2) vous n'avez pas le droit dans votre argumentation à des matrices, des séries infinies... : vous devez convaincre le disciple (qui sait résoudre une équation simple quand même)
3) coups de tromblon, enclumes sur la tête, etc. ne seront pas considérés comme des arguments valables
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[invite636fa06b]

Bonjour,
Il me semble qu'il faut d'abord examiner la stratégie de choix de la séquence du second joueur au vu de celle (la séquence) du premier.
Intuitivement, je dirai qu'il n'y a pas de choix plus favorable pour l'un ou l'autre.
Que se passe-t-il s'ils choisissent la même séquence ?

[invitebf65f07b]

très intéressante cette énigme, et joliment posée...

dans un premier temps, on peut dire que toute les combinaisons ont autant de chances de sortir sur les 3 premiers tirages, donc pas de choix particulier là dessus.

par contre, il est évident que Raoul va choisir sa combinaison selon le choix de Basile. par exemple si Basile prend PPP, Raoul prend FPP ce qui lui assure de toujours gagner avant Basile si la séquence ne commence pas par PPP. (idem pour FFF évidement)

reste donc trois possibilités : PPF, PFF et PFP (et les symétriques bien sûr). bon, je m'arrête là pour le moment...

[invitebf65f07b]

zinia, c'est pas dit explicitement, mais tout porte à croire que le second joueur ne peut pas prendre le même choix que le premier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Que se passe-t-il s'ils choisissent la même séquence ?

Cheese (c'est la souris je crois) gagne
Les deux séquences sont différentes (Raoul et Basile veulent gagner)

[invite35452583]

très intéressante cette énigme, et joliment posée...

Merci

dans un premier temps, on peut dire que toute les combinaisons ont autant de chances de sortir sur les 3 premiers tirages, donc pas de choix particulier là dessus.

par contre, il est évident que Raoul va choisir sa combinaison selon le choix de Basile. par exemple si Basile prend PPP, Raoul prend FPP ce qui lui assure de toujours gagner avant Basile si la séquence ne commence pas par PPP. (idem pour FFF évidement)

reste donc trois possibilités : PPF, PFF et PFP (et les symétriques bien sûr). bon, je m'arrête là pour le moment...

Début intéressant

[invite88ef51f0]

Salut,

Cheese (c'est la souris je crois)

C'est Bernadette la souris.

Voilà, c'était mon intervention constructive...

[azt]

J'ai l'impression que Raoul a toujours un temps d'avance en répondant en second, il lui suffit de prendre une combinaison qui se termine par les deux premiers choix dans la combinaison de Basile.

Mais continuer le raisonnement de Robert&C°,
Si Basile choisit FFP, Raoul a le choix entre les combinaisons PFF ou FFF qui apparaitront avant FFP. Et Comme PFF apparait avant FFF, Raoul a intêret à prendre PFF.
(Même raisonnement avec avec PPF choisi par Basile.)

Restent les combinaisons FPP,PFP, PFF, et FPF ... dur, dur.


Le dodo est un animal qui a le sommeil du même métal.

[invite636fa06b]

Quelques idées un peu confuses
Sur les trois premiers jets, toutes les 8 possibilités ont des chances identiques de sortir.
Sur les deux derniers jets (jet n°2 et n°3), les 4 possibilités sont-elles également équiprobables ? pas forcément puisqu'on sait que ni l'un ni l'autre n'ont gagné.
En reprenant l'exemple initial PFP et PPF, les probas respectives sont :
Prob(PP)=Prob(FF)=2/6; Prob(FP)=Prob(PF)=1/6
Donc au 4ième coup PPF a deux fois plus de chance de sortir que PFP.
Au cinquième coup, c'est la même chose.

[invitebf65f07b]

Si Basile choisit FFP, Raoul a le choix entre les combinaisons PFF ou FFF qui apparaitront avant FFP. Et Comme PFF apparait avant FFF, Raoul a intêret à prendre PFF.

je suis pas vraiment d'accord avec cet argument (même si je suis d'accord avec le résultat ).

le problème que je vois à FFF pour Raoul (sachant que Basile a pris FFP), c'est que les 2 se retrouvent chacun à 50% de réussite, tandis qu'avec PFF, les seuls cas défavorables pour Raoul sont les séquences de la forme : FFFF...FFFP
toutes les autres séquences offrant la victoires à Raoul avant Basile, Raoul a donc bien intérêt à prendre PFF.

Reste donc encore 2 cas : PFF (ou FPP) et PFP (ou FPF).
pour l'instant, les cas inspectés sont favorables à Raoul, donc l'étau se reserre...

[azt]

Oui, bien sûr.

[invitebf65f07b]

on continue...

pour le cas où Basile choisit PFF, Raoul va choisir PPF ou FPF.

on peut montrer que le choix de PPF assure 2 fois plus de victoires à Raoul :

à partir du premier P de la séquence (évènement presque sûr ), on peut analyser les différentes possibilités :
-soit il suit un P, auquel cas Raoul est sûr de gagner avant Basile
-soit il suit un F, et on a alors encore 2 possibilités : soit un F (et Basile gagne), soit un P (et on recommence...).

en notant R la proba de victoire de Raoul sachant qu'un P apparaît, on peut donc écrire : ce qui donne au final R=2/3.

je dois bien avouer que le cas où Raoul choisit FPF ne m'inspire pas, mais PPF est déjà à son avantage...

il ne reste plus que PFP (à bientôt donc...)

[invitebf65f07b]

bon, de 2 choses l'une, soit je me suis planté quelque part, soit le fait que Raoul choisisse en second lui confère toujours un avantage. dans le dernier cas, je ne vois pas de meilleur conseil que de ne pas jouer, mais c'est un peu frustrant, non?

[invite636fa06b]

Bonsoir,

Stratégie du 2ieme joueur :
1 pour ne pas être pénalisé, il doit éviter que les deux premiers termes de son triplet correspondent aux deux derniers de lui-même ou de son adversaire
2 réciproquement, pour pénaliser l'adversaire, il doit faire en sorte que ses deux derniers termes correspondent aux deux premiers de l'adversaire.
Je suppose, sous réserve d'inventaire, que les choix PPP et FFF dans lesquels on s'autopénalise (joli neologisme) ne sont pas envisagés
Pour tous les autres, il me semble que le deuxième joueur dispose d'une stratégie gagnante :
PPF->FPP
PFP->PPF
PFF->PPF ou FPF
et symétries en inversant P et F
Cela signifie que le premier joueur ne peut avoir une stratégie gagnante, il ne peut que limiter les dégats en évitant les triplets.
Conclusion : Leonard conseille à Basile de laisser ce petit malin de Raoul choisir le premier, donc de refuser son aimable proposition.

[invite636fa06b]

Désolé, Robert et Cie nos message se sont croisés mais je crois qu'on arrive à la même conclusion.
remarque complémentaire: la stratégie du deuxième joueur est simple, il lui suffit de "roter" vers la droite le choix du premier joueur

[invite35452583]

bon, de 2 choses l'une, soit je me suis planté quelque part, soit le fait que Raoul choisisse en second lui confère toujours un avantage

Conclusion : Leonard conseille à Basile de laisser ce petit malin de Raoul choisir le premier, donc de refuser son aimable proposition.

à tous les deux : un Léonard d'or vous est décerné
Un léonard d'argent à azt

Résultat surprenant et contre-intuitif, non ? Un bel exemple de "A gagne contre B, B gagne contre C mais C gagne contre A"

Juste un petit complément (non encore écrit mais je suis que nos Léonard avaient trouvé) à la démo :
on peut montrer que le choix de PPF (contre PFF) assure 2 fois plus de victoires à Raoul :
à partir du premier P de la séquence (évènement presque sûr ), on peut analyser les différentes possibilités :
-soit il suit un P, auquel cas Raoul est sûr de gagner avant Basile
-soit il suit un F, et on a alors encore 2 possibilités : soit un F (et Basile gagne), soit un P (et on recommence...).
Pour PPF contre PFP, la fin devient :
soit un P (et Basile gagne) soit une suite de F ne laissant aucun gagnant puis un P (et on recommence)

Le défi de Mathurine :
montrer que les solutions trouvées sont les meilleures (on a le droit aux maths que l'on veut)
Plus calculatoire donc le problème perd de son charme mais je trouve les calculs jolis (une fois que l'un est fait les autres se font sur un mouchoir). Indication : aucune résolution d'équations du second, 3ème ou de 4ème degré n'est nécessaire.

[Pio2001]

Second hors sujet : Chesse, la souris grise, c'est la souris de Gaston Lagaffe.

[invite35452583]

Bonsoir,

Stratégie du 2ieme joueur :
1 pour ne pas être pénalisé, il doit éviter que les deux premiers termes de son triplet correspondent aux deux derniers de lui-même ou de son adversaire
2 réciproquement, pour pénaliser l'adversaire, il doit faire en sorte que ses deux derniers termes correspondent aux deux premiers de l'adversaire.
Je suppose, sous réserve d'inventaire, que les choix PPP et FFF dans lesquels on s'autopénalise (joli neologisme) ne sont pas envisagés
Pour tous les autres, il me semble que le deuxième joueur dispose d'une stratégie gagnante :
PPF->FPP
PFP->PPF
PFF->PPF ou FPFet symétries en inversant P et F

Oups, je n'avais pas fait attention. Les choses ne sont pas aussi simples que ça.
Appliquons la règle du "recouvrement" :
PPP=>.PP or PPP vs PPP (match nul ou victoire de Bernardette, la copine de cheese) (Avec une combinaison ce que l'on peut regarder, c'est la moyenne du nombre de tirages qu'il faut pour que la combinaison sorte, et bien à ce petit jeu FFF et PPP sont les moins bons, même ça il n'y pas égalité entree les combinaisons, j'ai perdu mes notes pour les valeurs exactes)
Donc FFF un nul et une (énorme) défaite (PFF)
FFP=>.FF deux possibilités FFF donne match nul (on attend que FF sorte et puis une chance sur deux pour chacun) et une (grosse) défaite (PFF)
PFP=>.PF donc soit FPF match nul (les deux combis sont symétriques) soit (sévère) défaite contre PPF
PFF=>.PF donc soit PPF (sévère défaite) soit FPF et...
Chances de chacun de gagner pour chacun au bout de n tirages
FPF PFF
n=3: 1/8 1/8
n=4: 1/8 1/16 (FPF prend de l'avance)
n=5: 1/16 1/16 (Ca s'égalise)
n=6: 3/64 4/64=1/16 (PFF commence à revenir)
n=7: 5/128 6/128 (PFF continue à rattraper son retard)
n=8: 7/256 9/256
match nul (celui-là non trivial)
On peut le montrer rigoureusement ou un petit programme permet de s'en convaincre.
Je crois me rappeler que le phénomène ne se répète pas aussi bien pour les combinaisons de 4.

[invite636fa06b]

Bonsoir
Oui, il semblerait que j'ai été un peu vite. Il va falloir entrer dans les calculs!
A plus

[invite636fa06b]

Bonsoir

L'évolution des probas de gain est assez surprenante. Mais ça se programme sans problème.
Le tableau de résultats représente l'avantage pour le second joueur selon sa réponse au choix du premier. Pour n'avoir que des entiers, la mise est fixée a 120 (60 chacun).
NB : le premier joueur peut quand même limiter ses pertes par son choix