Transferts thermiques et litière de feuilles

[invite8d56af0f]

Bonjour,

Je suis en BCPST 1ère année, et j'aurais besoin d'aide sur des problème relevant plus de la physique et de la thermodynamique. Le sujet de notre TIPE est sur l'étude de l'incidence thermique des litière de feuilles sur le sols.

Après quelques mesures de température sur le terrain, on s'est fixé pour objectif de comparer les conductivité thermique des feuilles qualitativement, ou quantitativement si possible.
On a eu l'idée (pas forcement la meilleure...) de mesurer le comportement en régime transitoire d'un système isolant/capacitif. Une couche de sable, de capacité surfacique constante pour chaque expérience, est placé au fond d'un bac en polystyrène isolant. On rajoute ensuite une couche de feuilles de nature et d'épasiseur variable. La face supérieure est à l'air libre, sans convection forcée.
La température du sable, chauffé à au début de l'expérience, est enregistré. Quand le sable refroidi, la température tend vers celle de la pièce, à .

Notre problème est que l'on n'a pas mis en équation notre modèle quand on l'a conçus, et que l'on se retrouve coincé pour analyser les résultats. En première année, on n'étudie pas en physique les transferts thermiques, on a juste eu droit à un aperçus de loi de Fourier en géophysique. Notre prof de physique, qui s'est un peu penché sur le problème nous a découragé de continuer sur cette voie, car trop compliquée et trop physique pour un TIPE de SVT.

Comme il était trop tard pour réorienter notre méthode, j'ai continué de croire qu'il possible de simplifier le modèle, puisque nos courbes semblent avoir une allure exponentielle en . Le but est de démontrer cela (ou non ) et de trouver ce qui se cache derrière tau.

J'ai essayé de comprendre l'équation de la chaleur, l'opérateur laplacien et divergence, sans grand succès, mais apparemment tout ce bazard se simplifie quand on étudie des transfert thermique dans une seule dimension.
Je comptait suposer la capacité thermique des feuilles négligeable, mais le fait que le coefficient de diffusivité soit égale à la conductivité sur la capacité volumique laisse penser que c'est impossible.

Bref, si on est bloqué et en retard c'est de notre faute, mais si quelqu'un veut bien user des ses talents pédagogiques pour nous aider à comprendre tout ça ,nous lui serons très reconnaissant.
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[inviteabd566ec]

Bonjour,

bon, je vais essayer de vous faire ça le plus clairement possible, mais ce n'est pas sûr que j'y arrive.
Equation de la chaleur à une dimension notée z : .

On considère une couche de sable d'épaisseur faible . La température est uniforme dans cette couche (car épaisseur faible) à . De plus, le flux de chaleur est nul à la base de la couche (isolant thermique parfait) et a une valeur au sommet de la couche. En intégrant l'équation de la chaleur sur un volume d'épaisseur , on obtient par le théorème de Stokes (ou de Green, ou d'Ostrogrdsky je sais plus) : . A présent comme epsilon est petit, on note .
Maintenant considérons une couche de feuille d'épaisseur h=1 au dessus (on peut se ramener à h=1 en choissant une bonne unité de longueur, c'est juste pour simplifier les écritures). On sait que . Si on considère un régime quasi-statique, c'est à dire où la température du sable varie beaucoup moins vite que le temps de diffusion de la température à travers la couche, alors dans l'équation de la chaleur dans la couche, le est nul. La temprérature à un instant donné t à travers la couche de feuille est donc . Le flux de chaleur à travers la couche est donc une constante de z et vaut . Donc en particulier, en reportant dans la première équation de la chaleur intégrée sur la couche, on obtient une équation différentielle du premier ordre qui se résout facilement et qui donne l'équation que vous avez trouvé expérimentalement.

Voila, si vous avez des questions hésitez pas.

[invite8d56af0f]

Merci pour cette réponse précise.

Effectivement ce sont les simplifications fournies par le gradient stationnaire et de l'épaisseur négligeable qui me manquait.

Comme attendu je trouve une constante de temps linéaire avec l'épaisseur de feuilles. Le problème est qu'expérimentalement ce n'est pas le cas : avec 5cm tau vaut 45min et 61 min pour 15 cm. L'interprétation que l'on peut déduire c'est que la conductivité varie avec la hauteur de feuilles. Mais je me demande aussi si hypothèse du gradient stationnaire est toujours valable avec une couche de 5cm...

J'ai rédigé la démonstration, peut-être pourriez y jeter un coup d'oeil. J'ai pas bien compris l'utilisation du théorème de Green-Ostrogradsky. En fait je n'en ai pas eu besoin pour exprimer dT/dt avec j(epsilon), peut-être parce que l'équation de la chaleur l'utilise déjà dans sa démonstration à partir de la loi de Fourier ?

[inviteabd566ec]

Bonjour,

oui pour le théorème de Green-Ostrogradski à 1D ce n'est effectivement pas utile. J'avais en tête l'équation 3D avec la divergence, et là on intègre des deux côtés sur un volume, on utilise green pour obtenir une intégrale du flux sur la surface et en faisant ensuite les hypothèses de flux uniquement selon z constant en x et y, et T constante de l'espace on récupère l'équation que tu as.
Pour l'hypothèse de gradient stationnaire, elle est à mon avis mieux vérifiée pour les petites épaisseurs (la diffusion se fait plus vite à travers la couche). Mais tu peux faire les choses précisément en comparant les 2 échelles de temps de ton problème : le temps qu'il faut pour diffuser à travers la couche, et le temps caractéristique de variation de la température à la base, donnée par l'équation de la chaleur. Ah tiens non en faisant le calcul c'est indépendant de l'épaisseur...
(Et à mon avis pour le fichier que tu m'as envoyé la première footnote devrait être directement incluse dans le texte. Mais un prépa qui rédige en latex, je suis impressionné quand même !!)

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