Votre avis sur ma proposition du sujet TIPE

[invite4e5046fc]

Bonsoir ,je suis en MP je souhaite savoir ce que vous pensez de ces sujets:

1/ intégrable ou pas ?
2/ hasard chaos et déterminisme.

en fait , je préfére le deuxième en ce moment.

merci d'avance .
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A1
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[invite2c6a0bae]

Euh qu'est ce que tu entends par integrable ou pas, (maths ??)

le deuxieme est un classique, a toi de voir ...

[invite32f57b05]

pour le premier, je ne vois pas où est la dualité.

[invite4e5046fc]

Ben , je vous laisse découvrir "intégrable ou pas ?", n'oubliez pas de déposer vos avis et conseils svp..

Pour déterminisme/chaos, je crois pas que c'est si classique que vous pensez.. en tout cas , ca m'inspire. en avez vous qques documentations ?? j'ai le livre "la théorie du chaos" de James Gleick et je voudrais savoir si je m'aventure dans un sujet qui est encore délicat pour mon niveau ou bien dois je y foncer ??

Merci de bien vouloir m'eclaircir.
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A1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e5046fc]

ca m'enerve !! ca veut pas s'ajouter comme pièce jointe ..dans ce cas , je vous donne ici une idée du sujet :
INT´EGRABLE OU PAS
par
Mich`ele Audin
Un satellite artificiel parcourt son orbite autour de la Terre. Une orbite circulaire, un voyage
sans histoire. Cette r´evolution tranquille s’accompagne pourtant de mouvements de rotation
vari´es, le satellite se retourne, oscille.
Le satellite est suppos´e n’ˆetre soumis qu’`a l’attraction terrestre : champs magn´etiques, vents
solaires, influence d’autres corps c´elestes sont n´eglig´es. D’autre part, mon satellite, comme tous
les autres syst`emes dont je vais parler ici, sera suppos´e ne pas perdre d’´energie (nous sommes
dans le cadre de la « m´ecanique conservative ».
L’attitude, c’est ainsi que les physiciens appellent les mouvements de rotation du satellite
autour de son centre de gravit´e. Des mouvements qu’on ne peut ignorer : imaginons un instant
que le satellite d´ecide, attitude fˆacheuse, de tourner le dos `a la Terre, les antennes se retournent,
les cam´eras vont voir de l’autre cˆot´e si l’azur est plus bleu. Ce n’est ´evidement pas pour ¸ca
qu’on l’a mis sur orbite. Il est n´ecessaire de savoir d´ecrire, voire contrˆoler, ces changements
d’attitude. Le satellite va-t-il toujours r´ep´eter les mˆemes mouvements ? Va-t-il, au contraire, se
mettre `a s’agiter de fa¸con incontrˆolable ?
Comment poser ces questions de fa¸con pr´ecise ? Comment y r´epondre de fa¸con rigoureuse ?
En termes math´ematiques : on se demande si le syst`eme m´ecanique constitu´e par le satellite est
« int´egrable »... Quant `a une r´eponse possible, elle est fournie par un th´eor`eme de Morales et
Ramis (1999) qui fournit un crit`ere alg´ebrique d’int´egrabilit´e. Question et r´eponse que je vais
exposer ici.
Exemples. Avant de donner une d´efinition formelle de l’int´egrabilit´e, je vais essayer de d´ecrire
des exemples du comportement r´egulier qui lui est attach´e et que nous souhaitons ˆetre celui de
notre satellite. Donc, avant la d´efinition d’un syst`eme int´egrable, deux exemples : la toupie et
le pendule sph´erique.
Commen¸cons par une exp´erience de physique facile, amusante et famili`ere. Plutˆot que de
mettre un satellite sur orbite, on lance une toupie. Et on la regarde tourner. On examine
attentivement le mouvement de l’extr´emit´e de son axe.
Ceux de nos lecteurs qui n’auraient pas de toupie sous la main sont pri´es de se reporter aux
figures, qui repr´esentent l’objet et le r´esultat de l’exp´erience. L’extr´emit´e de l’axe oscille entre
deux cercles parall`eles sur la sph`ere (id´eale !) repr´esent´ee sur la figure 5.
Voici une autre exp´erience de physique facile. On fixe une bille `a une extr´emit´e d’une tige,
dont l’autre extr´emit´e est fixe et l’on observe le mouvement du pendule ainsi fabriqu´e. Et l’on
voit la bille tourner, coinc´ee entre deux cercles parall`eles d’une sph`ere (figures 6 et 7).
2 MICHELE AUDIN
Qu’est-ce qu’un syst`eme int´egrable ? Si chacun peut comprendre, en voyant les figures,
que le mouvement du pendule et celui de la toupie pr´esentent des analogies, c’est le travail
des math´ematiciens, apr`es avoir mis ces analogies en ´evidence comme je viens de le faire, de
th´eoriser ces ressemblances. Ce qui nous am`ene `a la d´efinition d’un syst`eme int´egrable. Nous
voyons, dans ces deux exemples, des trajectoires confin´ees entre deux cercles parall`eles sur une
sph`ere. Ou encore dans un anneau, comme sur la figure 7. Dans cet anneau, la trajectoire
s’enroule r´eguli`erement. Pour la toupie comme pour le pendule, on peut d´emontrer que ces
trajectoires proviennent de trajectoires lin´eaires sur des tores, la figure 7 apparaissant comme
la projection d’une figure dessin´ee sur une chambre `a air (bas de la figure 3).
Le mouvement d’un syst`eme m´ecanique est d´ecrit (grˆace aux lois de la m´ecanique) par des
´equations diff´erentielles. Les trajectoires, le mouvement que nous voyons, ce sont les solutions
de ces ´equations diff´erentielles. C’est sur ces ´equations, ou sur leurs solutions, que porte la
d´efinition de l’int´egrabilit´e. On peut donner beaucoup de d´efinitions :
– le syst`eme a des int´egrales premi`eres, des quantit´es conserv´ees au cours du mouvement,
comme l’´energie totale (puisqu’on a suppos´e qu’il n’y avait pas de d´eperdition d’´energie),
le moment de la toupie par rapport `a son axe, celui du pendule par rapport `a la verticale,
– ouencore, le syst`eme se r´esout « par quadratures », en ´ecrivant des int´egrales (c’est l’origine
de la terminologie).
De fa¸con ´equivalente, on peut utiliser le comportement « lin´eaire sur des tores » explicit´e dans
l’encadr´e 1 comme d´efinition de l’int´egrabilit´e du syst`eme.
Nous avons mis en ´evidence des analogies entre les comportements de deux syst`emes, nous
en avons tir´e une d´efinition, nous nous empressons de chercher si d’autres exemples de syst`emes
entrent ou n’entrent pas dans cette nouvelle cat´egorie.
Int´egrables ou pas ? D’autres syst`emes int´egrables, il y en a, on s’en doute. Le plus c´el`ebre
est celui qui d´ecrit le mouvement de deux corps c´elestes (la Terre et le Soleil, par exemple).
Ces syst`emes pr´esentent, de fa¸con plus ou moins visible, un comportement du genre « oscillations
entre deux parall`eles », ce sont des syst`emes int´egrables.
Et c’est de cette simplicit´e, de cette r´egularit´e, que je m’inqui´etais `a propos de l’attitude du
satellite. Et donc, bien sˆur : ils sont tous comme ¸ca, les syst`emes m´ecaniques ? Et l’attitude du
satellite ? Elle est int´egrable, l’attitude ?
Eh bien, non ! Tous les syst`emes ne sont pas int´egrables. Par exemple, entre la Terre et le
Soleil, tout se passait simplement, mais il suffit d’y ajouter la Lune pour que tout se complique.
Poincar´e le savait bien : « le probl`eme `a trois corps n’est pas int´egrable », a-t’il d´emontr´e en
XX, en prouvant qu’il n’y a pas assez de quantit´es conserv´ees. Concr`etement, le comportement
pourrait devenir assez d´esordonn´e (mais pas tout de suite, que les lecteurs qui m’ont suivie
jusque l`a se rassurent). Et une toupie qui ne serait pas sym´etrique ne serait pas non plus
int´egrable !
Quant `a l’attitude du satellite, ce n’est pas non plus un syst`eme int´egrable, comme on a pu
le d´emontrer r´ecemment (en 2002-2003).
... Ce qui n’empˆeche ni spot de continuer `a prendre les belles images de la Terre que l’on
sait (publicit´e gratuite), ni les satellites telecom de transmettre les indispensables « T’es
o`u? — Dans le train. Y a un tunnel, j’te rappelle. » `a quoi servent les t´el´ephones portables.
Parce que, de mˆeme que les orbites, les attitudes peuvent ˆetre corrig´ees au fur et `a mesure
des besoins. Donc, bien sˆur, le syst`eme m´ecanique tr`es simplifi´e que j’ai pr´esent´e sous le nom
d’« attitude du satellite » est une approximation bien trop grossi`ere d’un « vrai » satellite pour
que l’application du th´eor`eme de Morales et Ramis ait des cons´equences dramatiques.
Poinsot, Euler, Lagrange, Kowalevskaya et les autres. La toute premi`ere approche `a la
non-int´egrabilit´e est due `a S. Kowalevskaya en 1889. Elle ´etudiait le mouvement d’un solide en
se demandant `a quelles conditions (sur la forme du solide) les solutions du syst`eme diff´erentiel
SYSTEMES INTEGRABLES OU PAS 3
´etaient des fonctions « m´eromorphes » du temps (une autre approche encore, dans laquelle le
temps est consid´er´e comme un nombre complexe). Elle a d´emontr´e que cette propri´et´e ´etait
satisfaite dans trois cas seulement : les deux cas connus au xviiie si`ecle, quand le centre de
gravit´e est un point fixe (cas ´etudi´e par Poinsot et Euler) et quand le solide est sym´etrique (la
toupie, cas ´etudi´e par Lagrange), ainsi que dans un nouveau cas, qui porte depuis son nom.
Et elle a remarqu´e que dans ce troisi`eme cas, il y a une int´egrale premi`ere suppl´ementaire,
la toupie de Kowalevskaya est int´egrable au sens consid´er´e ici.
La relation entre l’int´egrabilit´e et la propri´et´e de Kowalevskaya n’est pas compl`etement
´elucid´ee. Il serait un peu compliqu´e d’expliquer ici pourquoi, mais la m´ethode alg´ebrique
pr´esent´ee dans cet article ´etablit une telle relation.
Comment les math´ematiciens d´emontrent-ils ce genre de r´esultats ? La m´ethode utilis´ee pour
d´emontrer que l’attitude du satellite n’est pas int´egrable consiste `a s’assurer que ce syst`eme ne
poss`ede pas assez de quantit´es conserv´ees, mˆeme en en acceptant de beaucoup moins r´eguli`eres
que celles consid´er´ees par Poincar´e pour le probl`eme `a n corps. Elle est fond´ee sur un th´eor`eme
de Morales et Ramis (1999) qui utilise la « th´eorie de Galois diff´erentielle » et je demande
solennellement `a mes lecteurs de ne pas renoncer `a me suivre pour si peu.
La th´eorie de Galois classique discute de probl`emes dont il n’est pas trop difficile de saisir la
saveur. Il s’agit d’´equations, certes, mais on peut d´ej`a se faire une id´ee assez claire en pensant
aux deux ´equations ....

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