Une solution plus générale que la solution générale de Painlevé

[mach3]

Bonjour,

Lors de la séance du 24 octobre 1921, Painlevé présente à l'académie des sciences l'expression de la métrique de Schwarzschild aujourd'hui connue sous le nom d'expression de Painlevé-Gullstrand (réécrite ici en signature -+++ mais publiée en signature +---) :



3 semaines plus tard, lors de la séance du 14 novembre 1921, il présente une expression plus générale (réécrite ici en signature -+++ mais publiée en signature +---) :


avec une fonction de tendant vers 0 quand tend vers ,
et , le rayon aréal, une fonction de , la coordonnée radiale, telle que sa dérivée par rapport à , tende vers 1 quand tend vers

Voir ici pour la source ainsi qu'une analyse de celle-ci.

Il ne détaille cependant pas comment il abouti à cette expression, qui peut se réécrire :






Cette expression générale est intéressante car elle inclut l'expression dite de Schwarzschild et celle de Painlevé-Gullstrand.

En effet, si et , l'expression devient :
, l'expression dite de Schwarzschild.

Et si et , l'expression devient :
, l'expression dite de Painlevé-Gullstrand


On pourrait penser que toutes les expressions de la métrique de Schwarzschild montrant explicitement la stationnarité et la symétrie sphérique (coefficients de la métrique dépendant uniquement de la coordonnée radiale, sauf celui du , évidemment) sont incluses dans cette expression générale.
Néanmoins la condition " une fonction de tendant vers 0 quand tend vers " interdit de poser , qui donnerait pourtant l'expression dite de Eddington-Finkelstein (avec ), qui est explicitement stationnaire et de symétrie sphérique.




Je ne suis pas parvenu à trouver comment Painlevé est arrivé à son expression générale en cherchant (de manière non exhaustive je l'avoue) dans la littérature accessible au commun des mortels (gratuite et légale), alors je me suis lancé dans une démonstration personnelle.

Je suis parti de l'expression générique :

en imposant que , et sont des fonctions de uniquement pour avoir la stationnarité et la symétrie sphérique.

Pour respecter la platitude asymptotique, j'ai exigé que tende vers -1, vers 0 et vers 1 quand tend vers , afin que l'expression de la métrique tende vers (expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques).

La nullité du tenseur de Ricci (correspondant à un espace-temps vide) impose d'abord que , la dérivée par rapport à de soit nulle, ce qui fait de une constante (la nullité du Ricci impose ). La platitude asymptotique fixe cette constante à -1. combiné à la nullité du Ricci impose ensuite (on a si ).

Pour se ramener à l'expression générale de Painlevé, remplaçons par comme notation du rayon aréal :


on a (avec tendant vers 1 quand tend vers pour "sauver" la platitude asymptotique):


on peut poser :

et cela donne :

ce qui donne bien l'expression générale de Painlevé (avec une fonction de tendant vers 0 quand tend vers ).



L'expression générale de Painlevé est donc bien démontrée, mais des questions se posent. change de signe pour , ce qui fait de une coordonnée temporelle pour et une coordonnée spatiale pour , mais cela génère-t-il une contrainte sur le signe de ? Dans l'expression de Schwarzschild, il change de signe à l'inverse de , dans l'expression de Painlevé-Gullstrand, il est toujours positif, et il est dans tous les cas contraint de tendre vers 1 par la platitude asymptotique. Pourtant, dans l'expression d'Eddington-Finkelstein, , ce qui montre que le résultat n'est pas assez général. Tendre vers est-elle la seule manière d'obtenir la platitude asymptotique ?

Je donnerais mes réflexions sur ces points dans un prochain post, réflexions qui aboutissent à une expression de la métrique de Schwarzschild explicitement stationnaire et de symétrie sphérique plus générale que l'expression générale de Painlevé, incluant notamment l'expression d'Eddington-Finkelstein.

En attendant, si quelqu'un à des connaissances ou des documents sur le sujet (notamment la démonstration de Painlevé, des démonstrations similaires, ou des démonstrations encore plus générales), cela m'intéresserait d'échanger. J'imagine qu'il y a forcément des publications sur le sujet, je ne suis pas parvenu à les trouver, mais je ne dois pourtant pas être le premier à trouver une expression générale incluant à la fois Painlevé-Gullstrand et Eddington-Finkelstein.

m@ch3
-----

[SULREN]

Bonsoir,

Cela me passe tellement au-dessus qu'il n'y a aucune chance que j'aie pu lire un jour quelque chose sur ce sujet.
Avez vous recherché sur les sites en Anglais? Genre : Painlevé versus schwarzschild metric in 1921

[ordage]

Bonjour
Des éléments de réponse ici:
http://www.bibnum.education.fr/sites...ve-analyse.pdf
En fait Painlevé part d'une solution générique (paramétrée), ne dépendant pas du temps (stationnaire) et ne dépendant que de r.
Puis il contraint sa solution par l'équation d'Einstein (Tenseur de Ricci =0 puisqu'on décrit la solution dans le vide) pour obtenir une solution relativiste. On peut vérifier facilement que l'équation paramétrée avec les 2 fonctions "quelconques" qu'il introduit (c'est pour cela qu'il parle d'une double infinité de solutions) avec les contraintes qu'il spécifie, satisfait "identiquement" à la condition de nullité du tenseur de Ricci. Je l'ai vérifié avec mathemetica.

Cordialement

[mach3]

Merci, mais il me semble que c'est la version pdf du site que j'ai linké dans mon post, donc ça ne va pas m'avancer beaucoup. Trop avare en détails, comme le compte-rendu de l'académie qu'il analyse.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Merci, mais il me semble que c'est la version pdf du site que j'ai linké dans mon post, donc ça ne va pas m'avancer beaucoup. Trop avare en détails, comme le compte-rendu de l'académie qu'il analyse.

m@ch3

Bonjour

La solution de Painlevé s'adresse aux formes de métrique de signature (-,+, +, +), comme le montre les contraintes qui la font converger vers la métrique de Minkowski, (où les coordonnées t, r, theta et phi, sont définies sur une base de 4 vecteurs orthonormés, linéairement indépendants), pour r tendant vers l'infini.

Je pense qu'elle doit être générale dans ce cas avec les coordonnées citées.

Dans la métrique de Finkelstein, comme la coordonnée r est de type nul, je suppose que sa signature est (-, 0, +, +). Elle converge à l'infini vers une autre forme de métrique. Il me semble qu'avec une coordonnée de type nul, ce qui impose une contrainte, on n'a plus 4 vecteurs de base "orthonormés" (sur lesquels sont définies les coordonnées) linéairement indépendants mais 3 (un vecteur nul est orthogonal à lui même). C'est un autre cas.
De façon générale, en relativité, il existe aussi des formes de métrique, de signature (0, 0, +, +), avec 2 vecteurs nuls et même de signature (0, 0, 0, 0) avec 4 vecteurs nuls.
Cordialement

[ordage]

Merci, mais il me semble que c'est la version pdf du site que j'ai linké dans mon post, donc ça ne va pas m'avancer beaucoup. Trop avare en détails, comme le compte-rendu de l'académie qu'il analyse.

m@ch3

j
Bonjour
Indépendamment de mon post précédent, si au lieu de contraindre la fonction X(r) de tendre vers 0 quand r tend vers l'infini, on impose que ce soit une fonction décroissante de r tendant vers une valeur finie quand r tend vers l'infini ?
Cordialement

[mach3]

La solution de Painlevé s'adresse aux formes de métrique de signature (-,+, +, +)
[...]
Dans la métrique de Finkelstein, comme la coordonnée r est de type nul, je suppose que sa signature est (-, 0, +, +)
[...]
il existe aussi des formes de métrique, de signature (0, 0, +, +), avec 2 vecteurs nuls et même de signature (0, 0, 0, 0) avec 4 vecteurs nuls

Point de vocabulaire, juste pour qu'on parle bien de la même chose, dans tous les cas il s'agit d'une métrique de signature -+++ (signature lorentzienne). C'est plutôt le genre des vecteurs de base du système de coordonnée qui est indiqué dans les passages cités, PAS la signature de la métrique. Encore que ce soit inexact vu que chez Painlevé comme Finkelstein change de genre en .

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La démarche suivie par Painlevé, bien que non détaillée, transparait assez clairement. Mais j'aurais aimé en lire une version plus détaillée afin de mieux comprendre les raisons de ses choix.

Schwarzschild avait refusé délibérément la présence d'un terme rectangle en dtdr, sous le prétexte (fallacieux, mais il était bien trop tôt pour en avoir conscience) que l'expression de la métrique devait être (explicitement) statique et symétrique par renversement du temps.
Painlevé lui admet la présence de ce terme rectangle en dtdr, mais je ne trouve pas ses motivations. J'ai mon propre argument, à savoir le fait que l'expression n'a pas besoin d'être explicitement statique (un simple changement de coordonnées peut le montrer) et qu'on peut se contenter d'une expression explicitement stationnaire (invariante par translation dans le temps, mais plus par inversion temporelle) : la coordonnée 0 ("temporelle", mais avec des pincettes...) étiquette des tranches spatiales identiques. Mais j'aurais bien aimé avoir les arguments de Painlevé ou d'autres en faveur de ce terme rectangle, d'où la demande de documents donnant des détails.

A l'inverse Painlevé impose que le vecteur de base de la coordonnée 1 ("radiale") soit de genre espace quand cette coordonnée est arbitrairement grande parce qu'il décide que l'expression de la métrique doit tendre vers . Peut-être même qu'il pensait que ce vecteur doit être de genre espace au moins à partir de , voire en-dessous, mais les contraintes qu'il pose sur et ne semblent pas aller dans ce sens. Là idem, quels arguments pour justifier ces choix ?
J'ai mes propres arguments, l'un comme quoi le genre de la coordonnée dite radiale n'a pas d'importance pour la résolution, l'autre comme quoi n'est qu'une expression parmi d'autres vers laquelle l'expression de la métrique doit tendre pour être asymptotiquement plate. Cela élargit les contraintes sur et et donc agrandi l'ensemble des expressions de la métrique couverte par l'expression générale (pour inclure Eddington-Finkelstein notamment). Je ne dois pas être le premier à proposer ces arguments, ils doivent surement se trouver ailleurs dans la littérature. D'où ma demande.

m@ch3

[ordage]

1- Point de vocabulaire, juste pour qu'on parle bien de la même chose, dans tous les cas il s'agit d'une métrique de signature -+++ (signature lorentzienne). C'est plutôt le genre des vecteurs de base du système de coordonnée qui est indiqué dans les passages cités, PAS la signature de la métrique.
2-Encore que ce soit inexact vu que chez Painlevé comme Finkelstein change de genre en .

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3-La démarche suivie par Painlevé, bien que non détaillée, transparait assez clairement. Mais j'aurais aimé en lire une version plus détaillée afin de mieux comprendre les raisons de ses choix.

3-Schwarzschild avait refusé délibérément la présence d'un terme rectangle en dtdr, sous le prétexte (fallacieux, mais il était bien trop tôt pour en avoir conscience) que l'expression de la métrique devait être (explicitement) statique et symétrique par renversement du temps.
4-Painlevé lui admet la présence de ce terme rectangle en dtdr, mais je ne trouve pas ses motivations. J'ai mon propre argument, à savoir le fait que l'expression n'a pas besoin d'être explicitement statique (un simple changement de coordonnées peut le montrer) et qu'on peut se contenter d'une expression explicitement stationnaire (invariante par translation dans le temps, mais plus par inversion temporelle) : la coordonnée 0 ("temporelle", mais avec des pincettes...) étiquette des tranches spatiales identiques. Mais j'aurais bien aimé avoir les arguments de Painlevé ou d'autres en faveur de ce terme rectangle, d'où la demande de documents donnant des détails.

5-A l'inverse Painlevé impose que le vecteur de base de la coordonnée 1 ("radiale") soit de genre espace quand cette coordonnée est arbitrairement grande parce qu'il décide que l'expression de la métrique doit tendre vers . Peut-être même qu'il pensait que ce vecteur doit être de genre espace au moins à partir de , voire en-dessous, mais les contraintes qu'il pose sur et ne semblent pas aller dans ce sens. Là idem, quels arguments pour justifier ces choix ?
J'ai mes propres arguments, l'un comme quoi le genre de la coordonnée dite radiale n'a pas d'importance pour la résolution, l'autre comme quoi n'est qu'une expression parmi d'autres vers laquelle l'expression de la métrique doit tendre pour être asymptotiquement plate. Cela élargit les contraintes sur et et donc agrandi l'ensemble des expressions de la métrique couverte par l'expression générale (pour inclure Eddington-Finkelstein notamment). Je ne dois pas être le premier à proposer ces arguments, ils doivent surement se trouver ailleurs dans la littérature. D'où ma demande.

m@ch3

Bonjour
1- D'accord, mon libellé est trompeur, c'est bien du genre de la base des vecteurs supportant les coordonnées qu'il s'agit. Pour la signature de la métrique elle reste lorentzienne partout (hors singularités). IL existe partout une base locale "Minkowskienne", (Sylvester) mais elle peut s'exprimer, elle-même dans différentes coordonnées, par exemple dans un base de 4 vecteurs nuls (formalisme de Newmann-Penrose).
2- D'accord le genre des vecteurs dépend de la valeur de r. Dans Painlevé, sous l'horizon, les 4 vecteurs de base sont de type espace, ce qui autorise pourtant des lignes d'univers de type temps (mais interdit la staticité).
3- Il s'agit d'un CRAS, qui sont en général assez synthétiques, s'adressant à un lectorat "averti". Son article de novembre est d'ailleurs exceptionnellement long (en général qq pages).
4-Je pense que c'est tout simplement le point de vue d'un mathématicien qui essaie de traiter le problème de façon la plus générale, sans états d'âme sur de quelconques supposées restrictions à caractère physique.
5- Dans les formes résultant de son équation avec 2 fonctions, on peut ajouter la métrique isotrope, la métrique de Kerr-Schild et d'autres.
Concernant la contrainte sur la fonction X(r) , ce que je suggérais collait bien avec Finkelstein comme tu le présentais X(r) = 1/(1-A/r) , décroissante pour r>A et tendant asymptotiquement (sa dérivée s'annule) vers une valeur finie (ici 1) pour l'infini.

La forme de Painlevé en coordonnées cartésiennes est moins connue, mais très intéressante possédant des propriétés originales.

où béta est le "shift" vecteur spatial.
Cordialement

[mach3]

5- Dans les formes résultant de son équation avec 2 fonctions, on peut ajouter la métrique isotrope, la métrique de Kerr-Schild et d'autres.

je prends bonne note de ces exemples.

Pour trouver la solution la plus générale exprimant explicitement la stationnarité et la symétrie sphérique, je suis parti de l'expression générique :
,
avec A, B, C et r des fonctions de uniquement et la contrainte afin d'avoir une signature lorentzienne.

est une coordonnée radiale générique car r, le rayon aréal, ne dépend que de celle-ci. est une coordonnée a priori temporelle générique. A la base, on peut penser "naïvement" une telle solution comme un empilement de tranches spatiales toutes identiques, de symétrie sphérique et étiquetées par , de sorte qu'une tranche de plus élevée soit temporellement postérieure.
Penser de cette façon implique alors C>0 : une tranche de constant aura pour métrique induite et si cette tranche est spatiale alors C>0. Mais cette façon de penser est trop simpliste. Les tranches de constant n'ont en fait pas à être spatiales (au sens de tous les vecteurs de base sont de genre espace). En effet, si les tranches étiquetés par la coordonnée "temporelle" générique sont spatiales, il y a toujours moyen de générer une nouvelle coordonnée "temporelle" générique, par exemple qui étiquettera de nouvelles tranches qui seront, elles, non spatiales. Par exemple définissons par :

, avec et des fonctions de uniquement

ce qui mène à l'expression de la métrique :



Le nouveau coefficient C est . C'est un polynôme en dont les racines sont , or D est négatif, donc il s'agit de deux racines réelles. Ce polynôme peut donc prendre une valeur positive, négative ou nulle, en fonction de la valeur de . Peu importe le signe du coefficient C initial, on peut choisir la fonction de façon à avoir un signe arbitraire pour le nouveau C.

On note au passage que ce changement est sans effet sur le signe du coefficient A, c'est à dire que le genre du vecteur de base associé à la coordonnée temporelle n'est pas affecté.

Il n'y a donc pas de contrainte sur le signe de C pour avoir une expression qui exprime explicitement la stationnarité et la symétrie sphérique. Les seules contraintes sont que A,B,C et r ne dépendent que de et que .

Prochaines étapes dans l'établissement de la solution :
-le vide (nullité du Ricci)
-la platitude asymptotique (tendre vers Minkowski quand r est arbitrairement grand)

m@ch3

[ordage]

Bonjour
J'ai relu ton premier post et fait quelques calculs je retrouve bien tes résultats. Concernant les équations de Painlevé je ne les ai pas sous la main, je suppose que c'est bon. Avant le lire le dernier, confirme 2 points:
Une métrique plate est caractérisée par un tenseur dont les composantes sont constantes (à l'infini dans ce cas?) et pas forcément celle de Minkowski.
La signature globale (+, -) de la métrique est donnée par le signe du déterminant du tenseur métrique (et les sous déterminants pour les différentes coordonnées ). Une remarque dans le cas de Finkelstein, avec une coordonnée nulle, le déterminant 4D dégénère en un déterminant 3D.
Je lirai la suite après ton avis sur le sujet.
Cordialement

[mach3]

Une métrique plate est caractérisée par un tenseur dont les composantes sont constantes (à l'infini dans ce cas?) et pas forcément celle de Minkowski.

Si les composantes sont des constantes, alors c'est plat, mais l'inverse n'est pas vrai : l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphérique possède deux composantes variables. Par contre si pour une expression dont les composantes ne sont pas constantes il existe un changement de coordonnées qui amène à une expression dont les composantes sont constantes, alors c'est plat. Dit autrement, si on peut trouver un système de coordonnées pour lequel l'expression de la métrique à des composantes constantes, alors l'espace-temps est plat.

La signature globale (+, -) de la métrique est donnée par le signe du déterminant du tenseur métrique (et les sous déterminants pour les différentes coordonnées ). Une remarque dans le cas de Finkelstein, avec une coordonnée nulle, le déterminant 4D dégénère en un déterminant 3D.

Le déterminant de la matrice représentant la métrique de Minkowski en coordonnées de Lorentz est de -1. Lors d'un changement de coordonnées, on applique deux fois la matrice de passage à la matrice représentant la métrique dans l'ancien système pour obtenir la matrice qui la représente dans le nouveau système. En terme de déterminant, on multiplie par le carré du déterminant de la matrice de passage, donc celui-ci ne peut que rester négatif (mais devient différent de -1 si le changement de coordonnée n'est pas unitaire).
Comme en espace-temps courbe on peut toujours trouver un système de coordonnées où l'expression de la métrique en un évènement est identique à celle de Minkowski (de déterminant -1), le déterminant de toute expression de la métrique de cet espace-temps courbe sera donc automatiquement négatif.

Je ne comprend pas la remarque sur le cas Finkelstein (déterminant 4D/3D)

m@ch3

[ordage]

Bonjour

En coordonnées cartésiennes le déterminant des tenseurs métriques Painlevé et Finkelstein vaut -1. Pour l'infini spatial Painlevé tend vers Minkowski , ce qui était déjà évident en coordonnées sphériques mais, pour Finkelstein, s'il tend vers des composantes de valeur constante ce n'est pas Minkowski
Si elles sont pratiques, les coordonnées sphériques peuvent parfois poser des problèmes.(elles sont singulières pour r =0)

Concernant ma remarque sur Finkelstein, je vais vérifier pour préciser.
Cordialement

[ordage]

Bonjour
Compléments


Cordialement

[mach3]

En coordonnées cartésiennes le déterminant des tenseurs métriques Painlevé et Finkelstein vaut -1.

Oui, le déterminant des expressions de la métrique en coordonnées de Painlevé et de Finkelstein vaut et comme la matrice de passage entre coordonnées cartésiennes et sphériques a un déterminant de , il est attendu que le déterminant des expressions de la métrique en coordonnées cartésiennes de Painlevé ou Finkelstein vaille -1.

Pour l'infini spatial Painlevé tend vers Minkowski , ce qui était déjà évident en coordonnées sphériques mais, pour Finkelstein, s'il tend vers des composantes de valeur constante ce n'est pas Minkowski

L'expression de Painlevé tend vers l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques pour r grand :

L'expression de Finkelstein tend vers l'expression pour r grand. Il suffit de poser pour revenir à l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques, donc il s'agit bien d'une expression de la métrique de Minkowski, mais dans un système de coordonnées particulier.

On peut généraliser l'idée. Pour avoir la platitude asymptotique, il n'est pas nécessaire de tendre vers l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques , tendre vers une expression de la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées quelconque est suffisant.
D'un point de vue pratique, dans le cas où on veut une expression métrique asymptotiquement plate qui exprime explicitement la stationnarité et la symétrie sphérique, il vaut mieux utiliser une expression de la métrique de Minkowski qui exprime cela également.
Par exemple quelque chose comme : , avec h et k deux constantes arbitraires.
Ou encore plus général : , avec h et k deux constantes arbitraires, r, le rayon aréal, une fonction de , la coordonnée radiale, uniquement et r' la dérivée de r par rapport à

On peut peut-être même avoir h et k des fonctions de qui respecteraient une certaine contrainte pour maintenir la platitude, je n'ai pas testé, mais vu que c'est le comportement pour r très grand qui nous intéresse dans la platitude asymptotique, je ne suis pas sûr que ce niveau de généralisation soit pertinent.

m@ch3

[mach3]

Je reprends l'établissement de la solution générale explicitement stationnaire et de symétrie sphérique démarrée en #9

L'expression générique est :
,
avec A, B, C et r des fonctions de uniquement et la contrainte afin d'avoir une signature lorentzienne

L'étape suivante est d'exiger le vide, c'est à dire la nullité du Ricci. D'abord on calcule les symboles de Christofell (qui serviront plus tard). Les symboles non automatiquement nuls sont (calculés à la main et vérifiés avec Maxima) : :

,
,
,


,

, ,
avec ' qui indique la dérivée par rapport à la coordonnée radiale

On peut ensuite calculer le tenseur de Ricci. Les coefficients non automatiquement nuls sont (calculés à la main et vérifiés avec Maxima) :





avec ' qui indique la dérivée par rapport à la coordonnée radiale

Les conditions suffisantes pour annuler ces coefficients du Ricci sont :
1)
2)
3)

De la seconde condition on tire que , avec une constante non nulle. Ce qui permet de réécrire les deux autres conditions :
1)
3)

De la troisième condition on tire que , avec , une constante. La première condition est par ailleurs bien satisfaite par cette expression de A.

On a donc à ce stade comme expression générale :

,
avec A, B, C et r des fonctions de uniquement et , ce qui peut se réécrire .

On a donc , et on peut donc réécrire l'expression générale comme :

, sans contraintes sur B ou r'

On a aussi , on peut aussi réécrire l'expression générale comme :

, sans contraintes sur C ou r'

Reste maintenant à voir quelles contraintes impose la platitude asymptotique.

m@ch3

[ordage]

L'expression de Finkelstein tend vers l'expression pour r grand. Il suffit de poser pour revenir à l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques, donc il s'agit bien d'une expression de la métrique de Minkowski, mais dans un système de coordonnées particulier.
m@ch3

Bonjour
C'est un changement de coordonnées. Ce faisant, tu reviens à la métrique de Schwarzschild puisque c'est par la transformation inverse qu'on déduit Finkelstein de Schwarzschild. Passer en coordonnées cartésiennes n'est pas un changement de coordonnées mais de type de coordonnées avec r² = x²+y²+z² dont on déduit dr = f(x,y,z,dx,dy,dz).

Maintenant, est-ce que le fait que l'espace-temps soit asymptotiquement plat dans un système de coordonnées implique qu'il le soit dans tous, n'est- ce pas une propriété intrinsèque de l'espace temps, dont les systèmes de coordonnées ne sont que des moyens de le décrire?
Ce devrait être le cas si les systèmes de coordonnées étaient "réguliers". Mais on voit que dans la forme de Schwarzschild il y a une singularité sur l'horizon et pas dans celle de Painlevé, ce qui implique que le passage de l'un à l'autre va comporter une singularité. On peut s'interroger.
Un moyen plus sûr est d'utiliser un 4-scalaire, par exemple, le scalaire de Kretchmann K (indépendant des coordonnées) pour vérifier cela. On ne peut pas utiliser le scalaire de Ricci qui est nul partout.
Il vaut K =48M²/r^6 : il a été calculé dans la forme de Schwarzschild et de Painlevé en utilisant mathematica
il s'annule à l'infini.
Cordialement

[mach3]

Bonjour
C'est un changement de coordonnées. Ce faisant, tu reviens à la métrique de Schwarzschild puisque c'est par la transformation inverse qu'on déduit Finkelstein de Schwarzschild. Passer en coordonnées cartésiennes n'est pas un changement de coordonnées mais de type de coordonnées avec r² = x²+y²+z² dont on déduit dr = f(x,y,z,dx,dy,dz).

La différence entre "changement de coordonnées" et "changement de type de coordonnées" est artificielle. En maths il n'y a aucune différence de nature, on a 4 champs scalaires indépendants, on en fabrique 4 autres indépendants à partir d'eux. Que ce soit entre (t,x,y,z) et (t,r,theta,phi) ou entre (t,r,theta,phi) et (u,r,theta,phi), c'est le même processus, et toutes les composantes de tous les vecteurs ou tenseurs changent suivant les mêmes modalités.

Maintenant, est-ce que le fait que l'espace-temps soit asymptotiquement plat dans un système de coordonnées implique qu'il le soit dans tous, n'est- ce pas une propriété intrinsèque de l'espace temps, dont les systèmes de coordonnées ne sont que des moyens de le décrire?

Pour moi c'est une évidence. La physique ne dépend pas du système de coordonnées utilisé, les effets de la courbure de l'espace-temps étant physiques (effet de marée par exemple), il ne dépendent pas non plus du système de coordonnée. Asymptotiquement plat signifie entre autre effet de marée arbitrairement faible quand le rayon aréal est arbitrairement grand.

Ce devrait être le cas si les systèmes de coordonnées étaient "réguliers". Mais on voit que dans la forme de Schwarzschild il y a une singularité sur l'horizon et pas dans celle de Painlevé, ce qui implique que le passage de l'un à l'autre va comporter une singularité.

oui, en , les évènements dont le temps de Gullstrand-Painlevé est un réel fini sont tous envoyés sur un temps de Schwarzschild qui diverge (il n'existe aucun évènement sur la ligne dont la coordonnée temporelle de Schwarzschild soit finie), mais c'est très loin (au sens propre ) de ce qui nous occupe, à savoir la platitude asymptotique, qui concerne une valeur de r arbitrairement grande.

On peut s'interroger.
Un moyen plus sûr est d'utiliser un 4-scalaire, par exemple, le scalaire de Kretchmann K (indépendant des coordonnées) pour vérifier cela. On ne peut pas utiliser le scalaire de Ricci qui est nul partout.
Il vaut K =48M²/r^6 : il a été calculé dans la forme de Schwarzschild et de Painlevé en utilisant mathematica
il s'annule à l'infini.

Et comme ce scalaire est invariant, tout expression métrique pouvant se ramener à celle de Schwarzschild ou de Painlevé par un changement de coordonnée sera asymptotiquement plate. Ce qui confirme l'évidence décrite un peu au-dessus.

m@ch3

[ordage]

La différence entre "changement de coordonnées" et "changement de type de coordonnées" est artificielle. En maths il n'y a aucune différence de nature, on a 4 champs scalaires indépendants, on en fabrique 4 autres indépendants à partir d'eux.
m@ch3

Bonjour

Les différentes "formes" de métrique (Schwarzschild, Painlevé, Finkelstein, ...) solutions du problème de l'espace-temps du corps unique à symétrie sphérique, décrivent toutes le même espace-temps "physique". Elles sont souvent exprimées en cordonnées de type sphérique, ce qui parait adapté compte-tenu de la symétrie sphérique du problème.

Elles le font de manière plus ou moins complète et plus ou moins "correcte".

Quand, en restant en symétrie sphérique, en partant d'une forme (celle de Schwarzschild par exemple) on définit de nouvelles coordonnées fonction des coordonnées de cette forme, les vecteurs de base associés changent, mais la phénoménologie décrite par la nouvelle forme peut aussi changer.

Ainsi quand on passe de Schwarzschild à Painlevé (en définissant une nouvelle coordonnée T fonction de t et r de Schwarzschild) la singularité sur l'horizon disparait, montrant le défaut de la forme de Schwarzschild lié au choix d'une métrique statique incompatible avec une phénoménologie d'un espace-temps avec horizon.

Ceci a quand même perturbé les relativistes, y compris Einstein (jusque que vers 1938), qui pensaient que cet horizon était "infranchissable".

Quand on fait une transformation des coordonnées sphériques en cordonnées cartésiennes (on change de base) pour une forme de métrique donnée, donnée la phénoménologie de la forme de métrique ne change pas.

La solution de Schwarzschild en coordonnées cartésiennes est singulière sur l'horizon et celles de Painlevé et de Finkelstein ne le sont pas et par ailleurs elles décrivent les 4 régions de la solution analytique complète avec 2 systèmes de coordonnées ne différant que par le signe du terme dr.dt.

Si effectivement dans les 2 cas il y a bien un changement de base il y a des différences dans l'effet obtenu.

C'est pour cela que j'ai appelé "type de coordonnées" les cordonnées sphériques et cartésiennes. Je ne garantis pas le libellé, mais il marque la différence.

Cordialement

[mach3]

Cela va sûrement nous éloigner du sujet, mais quelques question :

qu'est-ce qui est entendu exactement par "phénoménologie"?

La singularité de coordonnées qui apparaît en r=2M en passant de Painlevé à Schwarzschild est elle vraiment d'une nature différente de celle qui apparaît sur l'axe z quand on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques? Que cette singularité de coordonnées ait pu perturber il y a 100 ans, je le conçois vu que le sens physique de la RG (et même de la RR) n'était pas compris aussi bien qu'il l'est aujourd'hui, surtout avec les connaissances et les habitudes de penser de l'époque. Mais en regardant cela aujourd'hui, avec du recul?

Sommes nous bien d'accord que les formes de Schwarzschild, Painlevé ou Eddington sont des descriptions (plus ou moins incomplètes certes) de la même physique ?

m@ch3

[ordage]

1-qu'est-ce qui est entendu exactement par "phénoménologie"?

2-La singularité de coordonnées qui apparaît en r=2M en passant de Painlevé à Schwarzschild est elle vraiment d'une nature différente de celle qui apparaît sur l'axe z quand on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques? Que cette singularité de coordonnées ait pu perturber il y a 100 ans, je le conçois vu que le sens physique de la RG (et même de la RR) n'était pas compris aussi bien qu'il l'est aujourd'hui, surtout avec les connaissances et les habitudes de penser de l'époque. Mais en regardant cela aujourd'hui, avec du recul?

3-Sommes nous bien d'accord que les formes de Schwarzschild, Painlevé ou Eddington sont des descriptions (plus ou moins incomplètes certes) de la même physique ?

m@ch3

Bonjour
3-Si on considère la variété qui représente l'espace-temps (physique) considéré, c'est la même. On y définit généralement 4 régions: un espace temps en effondrement, divisé lui même en 2 régions délimitées par l'horizon qui est une hypersurface. Régions I (extérieure) et II (intérieure) et un espace-temps "symétrique" à 2 régions en "expansion",délimitée aussi par l'horizon, régions III extérieure et IV intérieure (de phénoménologie inversée).

Selon les coordonnées (qui sont des fonctions sur la variété) qu'on définit on va pouvoir les utiliser pour décrire des lignes d'univers , par exemple de type temps de manière plus ou moins complète.
Ainsi la solution de Schwarzschild ne permet pas de décrire une ligne d'univers de type temps continue partant d'un point A de la région I jusqu'à un point B de la région II. Les équations la décrivant devenant infinies sur l'horizon. Par contre on peut décrire des lignes d'univers restant dans la région I.

Les solutions de Painlevé, Eddington (et bien d'autres) permettent de décrire des lignes d'univers continues de type temps de A vers B jusqu'à r=0+; r=0 étant une singularité n'appartient pas à la variété.Ces lignes d'univers sont toutefois incomplètes elles ne peuvent pas être prolongées vers les régions IV ou III ( à noter qu'il existe un "pont" de type espace entre les régions II et IV, ce que la solution de Kruskal montre bien).

Mais comment ça marche? La phénoménologie va nous aider à comprendre.

Schwarzschild est une forme ne comportant que des termes quadratiques, ce qui implique une symétrie locale de l'espace temps: dr >0 et dt>0 donnent le même résultat que dr<0, dt >0, (trajectoires radiales de directions opposées) car c'est dr² et dt² qui interviennent dans la métrique.

Ceci se traduit aussi par le fait que le cône de lumière local est symétrique, seul son angle d'ouverture varie, ouvert à 90° (avec c =1) à l'infini il se ferme progressivement quand on progresse vers l'horizon où il devient nul (rappelons que les lignes d'univers de type temps sont toujours localement à l'intérieur).

Sur l'horizon la situation est manifestement dissymétrique puisque je peux le traverser avec dt>0 pour dr< 0 mais pas pour dr>0, ceci est contradictoire avec Schwarzschild. C'est lié au caractère statique de la solution (Lemaître l'a clairement spécifié dans son article de 1932)...

Prenons Painlevé maintenant: Du fait du terme non quadratique en dr.dt , dt > 0 et dr>0 donnent un résultat différent de dt>0 et dr <0, il y a dissymétrie localement et le fait de traverser l'horizon devient possible. Ce terme non quadratique rend la métrique 'orientée", elle n'est plus statique mais stationnaire (effondrement perpétuel toujours identique) .

Ici le cône de lumière ne se ferme pas quand r décroit mais bascule de sorte que sur l'horizon il permette aux lignes d'univers de type temps (qui sont à l'intérieur) de traverser l'horizon pour dr <0, et d'interdire dr >0.

Ajoutons que cette "orientation" de la solution se confirme par le fait si on change le signe du terme non quadratique on obtient les régions III et IV, l'espace-temps en expansion (orientation opposée).

Ceci montre que dès 1921, on avait trouvé la solution complète, mais personne ne s'en est rendu compte.Au contraire la solution a été décriée comme non valide du fait de ce terme non quadratique.

Ce qui a été dit s'applique aussi à Eddington pour les mêmes raisons.

Pour les autres questions je répondrai plus tard.
Cordialement

[ordage]

La singularité de coordonnées qui apparaît en r=2M en passant de Painlevé à Schwarzschild est elle vraiment d'une nature différente de celle qui apparaît sur l'axe z quand on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques? Que cette singularité de coordonnées ait pu perturber il y a 100 ans, je le conçois vu que le sens physique de la RG (et même de la RR) n'était pas compris aussi bien qu'il l'est aujourd'hui, surtout avec les connaissances et les habitudes de penser de l'époque. Mais en regardant cela aujourd'hui, avec du recul?
m@ch3

Bonjour
Suite du post.
Concernant la conversion des coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes, la forme cartésienne de Schwarzschild est singulière sur l'horizon et, comme en coordonnées sphériques, le cône de lumière est symétrique et se referme aussi quand on approche de l'horizon.
Concernant Painlevé et Eddington, pas de singularité sur l'horizon et en conséquence le cône de lumière bascule comme en coordonnées sphériques pour le permettre.
Plutôt que parler de changement, je préfère parler de conversion, mais il y a surement un terme plus approprié. Concernant la singularité dans la conversion, je pense que c'est lié à la singularité des coordonnées sphériques où pour r =0, les angles théta et phi sont indéterminés. A ma connaissance les coordonnées cartésiennes ne sont pas singulières.
A titre d'exemple, B. Carter dans un article sur la métrique de Kerr, où r =0 n'est pas singulier, doit transformer les coordonnées sphériques de la métrique qu'il utilise en cartésiennes pour prouver qu'une ligne d'univers se prolonge vers les r <0 ,au delà de r = 0. La singularité des coordonnées sphériques ne le permet pas.
Pour revenir au sujet, on doit pouvoir donner une forme plus générale, Lemaître a fait des propositions dans son article de 1932, tu pourrais regarder, mais aussi peut être relâcher les contraintes sur la fonction X(r) en vérifiant que cela n'introduit pas de solutions parasites.
Fin du post
Cordialement

[mach3]

3-Si on considère la variété qui représente l'espace-temps (physique) considéré, c'est la même.

ok, d'accord la-dessus. C'était pour être sûr qu'on parlait bien de la même chose.

On y définit généralement 4 régions: un espace temps en effondrement, divisé lui même en 2 régions délimitées par l'horizon qui est une hypersurface. Régions I (extérieure) et II (intérieure) et un espace-temps "symétrique" à 2 régions en "expansion",délimitée aussi par l'horizon, régions III extérieure et IV intérieure (de phénoménologie inversée).

Si je comprends bien, la "phénoménologie" c'est une sorte d'interprétation naïve (pas au sens péjoratif) de la forme métrique ?

Selon les coordonnées (qui sont des fonctions sur la variété) qu'on définit on va pouvoir les utiliser pour décrire des lignes d'univers , par exemple de type temps de manière plus ou moins complète.
Ainsi la solution de Schwarzschild ne permet pas de décrire une ligne d'univers de type temps continue partant d'un point A de la région I jusqu'à un point B de la région II. Les équations la décrivant devenant infinies sur l'horizon. Par contre on peut décrire des lignes d'univers restant dans la région I.

oui les coordonnées de Schwarzschild donnent des cartes disjointes qui communiquent par leurs "coins" (si on peut dire), en , pas intuitif de voir qu'une ligne atteignant le "coin" d'une carte ressort par le "coin" d'une autre.

Les solutions de Painlevé, Eddington (et bien d'autres) permettent de décrire des lignes d'univers continues de type temps de A vers B jusqu'à r=0+; r=0 étant une singularité n'appartient pas à la variété.Ces lignes d'univers sont toutefois incomplètes elles ne peuvent pas être prolongées vers les régions IV ou III ( à noter qu'il existe un "pont" de type espace entre les régions II et IV, ce que la solution de Kruskal montre bien).

A priori, la plupart des expressions exprimant explicitement la stationnarité vont donner des cartes qui couvrent I+II ou I+IV (III pouvant remplacer I bien sûr).
attention par contre à propos de la note, entre II et IV, le pont est de genre temps, c'est entre I et III qu'il est de genre espace.

Mais comment ça marche? La phénoménologie va nous aider à comprendre.

Schwarzschild est une forme ne comportant que des termes quadratiques, ce qui implique une symétrie locale de l'espace temps: dr >0 et dt>0 donnent le même résultat que dr<0, dt >0, (trajectoires radiales de directions opposées) car c'est dr² et dt² qui interviennent dans la métrique.

Ceci se traduit aussi par le fait que le cône de lumière local est symétrique, seul son angle d'ouverture varie, ouvert à 90° (avec c =1) à l'infini il se ferme progressivement quand on progresse vers l'horizon où il devient nul (rappelons que les lignes d'univers de type temps sont toujours localement à l'intérieur).

Sur l'horizon la situation est manifestement dissymétrique puisque je peux le traverser avec dt>0 pour dr< 0 mais pas pour dr>0, ceci est contradictoire avec Schwarzschild. C'est lié au caractère statique de la solution (Lemaître l'a clairement spécifié dans son article de 1932)...

oui, l'absence de termes rectangles fait que les cônes ont des bissectrices verticales et horizontales sur les cartes. Cela empêche de fait de représenter des horizons verticaux (imposés par la stationnarité) qui ne laissent passer les lignes d'univers que dans un sens. Les horizons sont donc forcément exclus des cartes.

Prenons Painlevé maintenant: Du fait du terme non quadratique en dr.dt , dt > 0 et dr>0 donnent un résultat différent de dt>0 et dr <0, il y a dissymétrie localement et le fait de traverser l'horizon devient possible. Ce terme non quadratique rend la métrique 'orientée", elle n'est plus statique mais stationnaire (effondrement perpétuel toujours identique) .

je ne dirais pas "la traversée de l'horizon devient possible", mais "la carte permet de représenter la traversée de l'horizon". La première formulation pourrait laisser entendre qu'il s'agit de deux territoires différents (et donc deux physiques différentes), l'un ne possédant pas d'horizon à traverser et l'autre oui, alors qu'il s'agit de deux cartes différentes, l'une échouant à représenter le passage de l'horizon et l'autre non.

Ici le cône de lumière ne se ferme pas quand r décroit mais bascule de sorte que sur l'horizon il permette aux lignes d'univers de type temps (qui sont à l'intérieur) de traverser l'horizon pour dr <0, et d'interdire dr >0.

Ajoutons que cette "orientation" de la solution se confirme par le fait si on change le signe du terme non quadratique on obtient les régions III et IV, l'espace-temps en expansion (orientation opposée).

Ceci montre que dès 1921, on avait trouvé la solution complète, mais personne ne s'en est rendu compte.Au contraire la solution a été décriée comme non valide du fait de ce terme non quadratique.

Pour quelles raisons les termes rectangles était non souhaités ? parce qu'on voulait une solution statique et avec symétrie par inversion temporelle ? parce qu'on avait erronément l'impression que ça impliquait une anisotropie de la vitesse de la lumière ? les deux ? d'autres raisons ?

Pour revenir au sujet, on doit pouvoir donner une forme plus générale, Lemaître a fait des propositions dans son article de 1932, tu pourrais regarder, mais aussi peut être relâcher les contraintes sur la fonction X(r) en vérifiant que cela n'introduit pas de solutions parasites.

C'est à peu près ce que je compte montrer en faisant tendre l'expression generale donnée au message #15 vers l'expression de la métrique de Minkowski donnée au message #14.

A suivre

m@ch3

[ordage]

1-je ne dirais pas "la traversée de l'horizon devient possible", mais "la carte permet de représenter la traversée de l'horizon".
2-Pour quelles raisons les termes rectangles était non souhaités ? parce qu'on voulait une solution statique et avec symétrie par inversion temporelle ? parce qu'on avait erronément l'impression que ça impliquait une anisotropie de la vitesse de la lumière ? les deux ? d'autres raisons ?
3-Si je comprends bien, la "phénoménologie" c'est une sorte d'interprétation naïve (pas au sens péjoratif) de la forme métrique ?

A suivre

m@ch3

Bonjour
1-La carte n'est pas le territoire! L'intérêt de ces différentes cartes est qu'on peut les associer à différents "observateurs". En relativité, il n'y a pas de temps universel. La coordonnée temporelle de Schwarzschild est le temps propre d'un observateur statique à l'infini (ou presque), elle donnera son point de vue et comme il est statique (il subit une accélération, asymptotiquement nulle) le problème de traverser l'horizon ne se pose pas.

La coordonnée temporelle de Painlevé est le temps propre d'un observateur en chute libre (sans boost) , co-mobile de l'effondrement stationnaire de l'espace-temps. Il donnera son point de vue. Lui est confronté à la traversée de l'horizon, sa carte associée le permet.
En fait les observateurs sont facultatifs, c'est juste pour illustrer les phénomènes.

2- A l'époque, l'idée d'un espace non symétrique, non statique n'était pas concevable, (ce qui a provoqué le rejet de la solution de Painlevé qui est tombée aux oubliettes et réhabilitée 80 ans plus tard par les anglo-saxons (Wheeler, et qq autres) . Einstein, qui ne croyait pas aux trous noirs, a fait de nombreuses "démonstrations", la dernière en 1939 pour tenter de prouver qu'on ne pouvait pas atteindre l'horizon. Son erreur étant qu'il ne considérait que des espace-temps statiques. Dans les années 60, alors qu'on comprenait mieux ces objets, il y a eu au cours d'un colloque un débat mémorable (cité par K. Thorne dans son livre sur les TN) entre l'école soviétique qui considéraient que les TN ne pouvaient pas se former du fait d'instabilités dans le processus d'effondrement et les occidentaux qui forts d'un théorème que Penrose venait de démontrer soutenaient le contraire.

3-La phénoménologie c'est la caractérisation des phénomènes physiques , entre-autres, c'est comme la prose tout le monde en fait sans le savoir!

Il ne faut pas oublier que les théories sont des auberges espagnoles, on y trouve ce qu'on y a mis.
Par exemple, la RR repose sur le principe d'équivalence des tous référentiels galiléens. Ce simple principe, qui prédit un invariant de vitesse, permet de déduire les équations de Lorentz, la valeur de cet invariant (vitesse de la lumière) étant un constat expérimental.

Cordialement

[mach3]

Je poursuis.

On était arrivés à l'expression générale :

, sans contraintes sur C ou r' (si ce n'est que ce dernier ne peut pas s'annuler)

On doit maintenant voir comment elle doit être contrainte si elle doit tendre, pour un rayon aréal r arbitrairement grand, vers une expression générale de la métrique de Minkowski exprimant explicitement la stationnarité et la symétrie sphérique, telle que :
, avec h et k deux constantes arbitraires, r, le rayon aréal, une fonction de , la coordonnée radiale, uniquement et r' la dérivée de r par rapport à

Si r tend vers l'infini, l'expression générale tend vers :



On a donc et qui doit tendre vers . En effet en remplaçant par et par , on aboutit à :





Autrement dit, doit tendre vers , c'est à dire vers une constante inférieure ou égale à 1. Il s'agit de l'unique contrainte sur cette solution générale, que l'on va réécrire :

, sans contraintes sur r' et avec f une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini.

Il est intéressant de remarquer une autre réécriture :



qui en posant et en rappelant que donne :

avec f une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini

La constante K ne sert en définitive qu'à changer l'unité de la coordonnée qui est temporelle pour , tandis que la coordonnée radiale n'est qu'un réétiquetage du rayon aréal r. On note au passage que le déterminant de cette expression est le même que celui de celle Schwarzschild, Painlevé ou encore Eddington (-1 pour la partie non angulaire, au total).

Une solution plus générale que la solution générale de Painlevé a donc été établie. Contrairement à cette dernière, elle inclut l'expression d'Eddington-Finkelstein en posant . L'expression de Schwarzschild est obtenue pour et celle de Painlevé-Gullstrand pour .

Reste encore à établir la valeur de la constante , pour le fun, car il ne fait pas de doute qu'elle vaille 2M.

m@ch3

[mach3]

Pour trouver la valeur de la constante , on peut exploiter l'équation des géodésiques. Rappelons d'abord les symboles de Christofell non nuls :

,
,
,


,

, ,
avec ' qui indique la dérivée par rapport à la coordonnée radiale

Considérons un mouvement circulaire uniforme géodésique dans le plan , ce qui impose (le point étant la dérivée par rapport au temps propre du mouvement) et .
L'équation des géodésiques en donne :


Ce qui est bien compatible avec un mouvement dans le plan

Considérons que ce mouvement circulaire uniforme géodésique s'effectue à coordonnée radiale constante, ce qui impose et .
L'équation des géodésiques en donne :


Ce qui est bien compatible avec un mouvement circulaire uniforme à coordonnée radiale constante car cela impose que est une constante.

L'équation des géodésiques en donne :




Ce qui signifie que (A est non nul)

L'équation des géodésiques en donne :





cela impose que est une constante

Un mouvement circulaire uniforme à coordonnée radiale constante dans le plan doit donc satisfaire à pour être géodésique, avec et deux constantes.

Le carré de la 4-vitesse de ce mouvement :
,
donne avec l'équation précédente un système de 2 équations à 2 inconnues, dont la résolution mène à :


Comme et , on aboutit à :



Pour , on a :



En mécanique classique, en prenant G=1 et c=1, on a justement , ce qui indique donc que les mouvements circulaires uniformes de rayon aréal constant de l'espace-temps ainsi décrit tendent, pour , vers les mouvements circulaires uniformes dûs à la force de gravitation d'un corps de masse en mécanique classique.

On note en passant que les fonctions B et C n'apparaissent pas dans les expressions finales : quelque soit le choix effectué arbitrairement pour définir ces fonctions, les caractéristiques physiques des mouvements géodésiques circulaires uniformes à rayon aréal constant sont identiques et uniquement dépendants de la constante .

La valeur de peut également se trouver en montrant que l'accélération propre d'un corps stationnaire de l'espace-temps décrit est :
si
En mécanique classique, en prenant G=1 et c=1, on a justement une pesanteur valant , ce qui donne .
Encore une fois, les fonctions B et C n'apparaissent pas.

A minima, pour les orbites circulaires uniformes et les corps stationnaires, la physique ne dépend pas de ces fonctions B et C. Cela se généralise-t-il à tout type de mouvement, qu'il soit géodésique ou non ? Cela amène à la question de l'unicité : l'ensemble infini des expressions que l'on peut générer avec l'expression générale ainsi trouvée, par choix de B ou C, décrit-il une infinité d'espace-temps différents pour un même paramètre , ou, au contraire, s'agit-il en fait d'une infinité d'écritures décrivant un seul et unique espace-temps ?

m@ch3

[mach3]

Cela amène à la question de l'unicité : l'ensemble infini des expressions que l'on peut générer avec l'expression générale ainsi trouvée, par choix de B ou C, décrit-il une infinité d'espace-temps différents pour un même paramètre , ou, au contraire, s'agit-il en fait d'une infinité d'écritures décrivant un seul et unique espace-temps ?

Terminons-en avec ceci, qui n'était évidemment qu'une question oratoire.

Partons de l'expression :

avec f une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini

Si on pose , avec g une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini, alors on a :

avec g une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini

Toutes les expressions de la métrique que l'on peut tirer de la formule générale se déduisent les unes des autres par un simple changement de coordonnée "temporelle". Il ne s'agit que d'un réétiquetage des évènements d'une même variété, donc de la même physique peu importe l'expression.

-----

Je trouve cela très intéressant qu'un certain nombre d'expressions historiques de la métrique de Schwarzschild puissent être toutes incluses dans une forme générale dont la démonstration est relativement simple. Je m'étonne cependant de ne pas trouver facilement des écrits antérieurs sur le sujet (à part ceux de Painlevé déjà évoqués qui concernent une forme moins générale). Ils existent certainement, car je ne dois pas être le premier à faire cette démonstration et à aboutir à cette forme générale. Si qui que ce soit passant par ici a déjà lu des choses similaires (voire plus générales encore), des liens m'intéresseraient beaucoup.

Si certains lecteurs sont intéressés par l'exploration d'éventuelles propriétés de cette forme générale, ils sont aussi les bienvenus pour alimenter cette discussion.

m@ch3

[ordage]

1- avec f une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini

2-Si on pose , avec g une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini, alors on a :

2- avec f une fonction tendant vers un réel inférieur ou égal à 1 quand r tend vers l'infini

Toutes les expressions de la métrique que l'on peut tirer de la formule générale se déduisent les unes des autres par un simple changement de coordonnée "temporelle". Il ne s'agit que d'un réétiquetage des évènements d'une même variété, donc de la même physique peu importe l'expression.

-----

Je trouve cela très intéressant qu'un certain nombre d'expressions historiques de la métrique de Schwarzschild puissent être toutes incluses dans une forme générale dont la démonstration est relativement simple. Je m'étonne cependant de ne pas trouver facilement des écrits antérieurs sur le sujet (à part ceux de Painlevé déjà évoqués qui concernent une forme moins générale). Ils existent certainement, car je ne dois pas être le premier à faire cette démonstration et à aboutir à cette forme générale. Si qui que ce soit passant par ici a déjà lu des choses similaires (voire plus générales encore), des liens m'intéresseraient beaucoup.
m@ch3

Bonjour
J'ai lu, l'ensemble de ton post (je n'ai pas vérifié tous les calculs, mais pas mal tout de même).
La partie où tu étudies les conditions pour que le tenseur de Ricci soit nul est très intéressante. On peut supposer que Painlevé avait fait quelque chose similaire pour établir sa forme, sinon on ne voit pas bien d'où elle sort.

Concernant la platitude à l'infini, c'est une propriété de l'espace-temps, dont ces "cartes" ne sont que des représentations: si c'est plat dans une seule c'est plat dans toutes, il suffit de le vérifier sur le scalaire de Kretchtmann = 48 m²/r^6.
Pour le paramètre alpha, c'est par l'équation géodésique à la limite newtonienne, qu'on montre sa valeur. C'est une démo standard (Celle d'Einstein étant la première je suppose. A noter que ce point a perturbé Einstein pendant plusieurs années, car il cherchait cette "convergence" au niveau des équations du champ et s'est rendu compte que c'était au niveau de l'équation géodésique qu'il fallait le faire.
Concernant la forme de Painlevé, en fait le tenseur de Ricci est nul, sans condition sur les 2 fonctions, c'est pour la platitude à l'infini qu'il l'impose, ce qui me semble pas utile au vu de l'argument cité ci-dessus.
Pour les formes que tu proposes, je vais vais vérifier la nullité du tenseur de Ricci pour la deuxième solution avec coordonnées, v,r, et angulaires et fonction g(r). Je suppose que c'est g(r) à la place de f(r) dans ton commentaire?
Travail très impressionnant....
Cordialement

[mach3]

Pour le paramètre alpha, c'est par l'équation géodésique à la limite newtonienne, qu'on montre sa valeur. C'est une démo standard (Celle d'Einstein étant la première je suppose. A noter que ce point a perturbé Einstein pendant plusieurs années, car il cherchait cette "convergence" au niveau des équations du champ et s'est rendu compte que c'était au niveau de l'équation géodésique qu'il fallait le faire.

Les deux techniques que j'ai utilisées (orbite circulaire uniforme, détaillée dans le fil, et pesanteur pour un immobile, non détaillée) avaient pour avantage de marcher pour l'expression générale quelque soit B et C. Je ne sais pas si c'est le cas si on passe par l'équation des géodésiques à la limite newtonnienne, ça nécessite peut être que l'expression soit celle de Schwarzschild. Fondamentalement ce n'est pas un problème vu que l'équivalence entre toute les expressions est démontrée, mais ce serait moins "joli". J'essaierai pour voir.

Je suppose que c'est g(r) à la place de f(r) dans ton commentaire?

oui, c'est une coquille, je vais corriger.

Travail très impressionnant....

merci

[ordage]

Bonjour
Compléments
J'ai fait des calculs: la forme générique 2 génère bien les formes de Schwarzschild, Painlevé, Finkelstein, Kerr-Schild et sans doute d'autres dans ce type de coordonnées.

Le tenseur de Ricci associé à cette forme est bien identiquement nul: vérifié avec le module "relativité générale" de mathematica" où on entre la métrique et il calcule les symboles de Christoffel, le tenseur de Riemann, le tenseur de Ricci, etc.

Concernant cette forme de Painlevé , il y a eu des articles sur des versions avec boost et autres aspects de la solution, par exemple, Lake (1994), Martel et Poisson (2000),Taylor et Wheeler (2000) qui l’appellent le référentiel de la pluie, Doran (2000) et Hamilton et Lisle ( 2006) « River model ». On voit que tous ces articles sont très postérieurs à la solution (1921) qui avait été enterrée à l'époque, faute d'avoir été comprise.
Cordialement

[ordage]

Bonjour

En partant de l'équation de Painlevé



où

est une fonction de r et ,

En posant g(r) égal au coefficient de dr² et en calculant en fonction de g(r) et en substituant sa valeur, qui est fonction de g(r), dans le coefficient du terme dr.dt , avec = 2M, on trouve:



qui est une des équations que tu proposes.

Ces équations sont équivalentes, la dernière équation étant plus synthétique et explicite que celle de Painlevé.

Cordialement