Hasard, Chaos, Meme Combat?

[paulb]

Je ne sais pas si je vais y réussir, mais je ne voudrais pas engager une Nième discussion sur le déterminisme mais seulement essayer de définir les catégories de générateurs de séries de nombres qui correspondent plus ou moins au terme "aléatoire", la qualité de cette correspondance étant assurée par une multitude de tests imaginés à cette fin.

Ces générateurs peuvent d'abord être classés en fonction du mécanisme, naturel ou artificiel, qui les crée. Une deuxième distinction doit être faite entre les origines naturels mettant en œuvre ce qu'on est bien obligé d'appeler faute de mieux le hasard d'une part et le chaos d'autre part.
Une troisième distinction concerne les origines artificiels, qui peuvent être basés sur des algorithmes à clef (ou graine=>seed) utilisés en informatique, reproductibles et cycliques, ou sur des phénomènes naturels dus au hasard ou au chaos, non reproductibles et non cycliques.

Probablement le meilleur exemple (à part le "pile ou face" ou le dés) de générateur utilisant un pur phénomène naturel que j'ai trouvé est décrit sous

www.fourmilab.ch/hotbits/

utilise le temps qui s'écoule entre deux désintégrations beta du Krypton-85, remarquable par les précautions prises pour ne pas "polluer" les mesures. Le fait de l'existence ou non des "variables cachées" est ici sans importance pour ce qui est la pureté des séries de nombres obtenues. Naturellement ces séries ne sont pas reproductibles.

Bien d'autres générateurs basés sur des phénomènes naturels mais non explicables par la MQ, relèvent plus du chaos que du hasard, encore qu'il ne soit pas toujours facile de choisir, les effets étant souvent conjugués, comme p. ex. pour le grésillement de micro. J'ai écrit un programme algorithmique, qui fait appel aux incertitudes temporels des interruptions système des ordinateurs, qui répond parfaitement aux tests, mais je suis incapable de dire s'il est basé sur le hasard ou le chaos. Voir:

http://perso.wanadoo.fr/aap/aap/alea.htm

Un autre exemple serait un cas semblable: une capsule hermétiquement fermée contenant un gaz pur, qui laisserait échapper par un trou minuscule molécule par molécule. Les instants d'échappement seraient inégalement répartis dans le temps et la mesure du temps entre deux molécules aléatoire. Hasard ou chaos? Exemple plus sympathique: les bulles du champagne.

Les séries aléatoires créées par le chaos sont innombrables. Un générateur simple et accessible à toutes les bourses est la mesure du temps s'écoulant entre deux gouttes successives de pluie tombant sur un petit micro. Les mêmes précautions de traitement du signal sont à prendre que dans le premier lien.

La cryptographie nécessite des séries de nombres qui doivent ressembler le plus possible aux vraies séries aléatoires, tout en étant reproductibles si l'on connaît la "clef" ou les deux clefs, l'une pour le cryptage, public, et l'autre pour le décryptage, privé. La création de ces séries est devenue une science à part et évolue très vite. Si je suis bien informé, le grand défaut des séries reproductibles est leur nature cyclique. La multiplication des identifications anthropométriques permet(ttra?) de lier le déchiffrage à un caractère, sans que le déchiffreur sache lequel c'est, et ne puisse le donner, même sous la torture (science-fiction?).

Si l'on se trouve en présence d'une série qui semble aléatoire, on dispose de nombreux tests permettant d'évaluer sa qualité comparée à une série "pure". Cette évaluation est d'autant plus significative qu'on dispose d'un nombre important de valeurs qui composent la série, de préférence des centaines de milliers. Elle repose toujours sur le calcul de probabilité,
qui est applicable indifféremment aux phénomènes dues au hasard et au chaos, d'ou le titre de ce message.

[bardamu]

(...) mais je suis incapable de dire s'il est basé sur le hasard ou le chaos.

Bonjour,
Un texte intéressant : http://www.unigre.it/cssf/en/handout...Bitbol%202.pdf

Et pour éviter trop de débats sur le fait que le hasard soit ontologique, soit "vrai de vrai" ou pas, un extrait :

La question de savoir si le hasard est “ontologique” ou non, si les “lois ultimes de la nature” sont intrinsèquement indéterministes ou non, est indécidable. Les développements récents des sciences de l’aléatoire ne font qu’illustrer cette indécidabilité. On montre en effet que des apparences déterministes peuvent résulter de l’application de la loi des grands nombres à des événements stochastiques, et qu’inversement des apparences indéterministes peuvent traduire des processus de chaos déterministe sous-jacents.

[domlefebvre]

Bonjour,
Le titre de ce fil me gêne un peu, dans sa possible confusion entre chaos et hasard.

Dans l'acceptation actuelle du terme "chaos", quand on parle de systèmes dynamiques non-linéaires, il n'y aucune notion de probabilité. Un système chaotique n'est pas un système probabiliste. Les fluctuations endogènes d'un système chaotique ne doivent rien aux probabilités mais à sa sensibilité aux conditions initiales. Un système chaotique est parfaitement déterministe.

De même, il existe des systèmes probabilistes, dont les variables sont aléatoires, qui n'ont rien de chaotique. Par exemple, une série de jets de dès ne constitue pas la représentation d'un système chaotique.

L'exemple de bruit généré par un micro sur lequel on n'applique pas de signal (il s'agit donc du bruit généré par l'électronique d'acquisition et d'amplification, généralement un bruit blanc) est significatif: on est en présence d'un bruit aléatoire, qui n'est pas chaotique.

Un système dynamique présente un caractère chaotique quand on voit apparaître dans sa dynamique deux éléments: des orbites apériodiques et un ou plusieurs attracteurs.

Il reste qu'une série temporelle générée par un système chaotique, donc parfaitement déterministe, peut être facilement (et sur la plan pratique, assez légitimement) confondue ave une série stochastique engendrée par le hasard( selon la définition donné par le post précédent).
Pour ceux que ça intéresse, H. Poincaré a largement débattu du caractère imprédictif du comportement d'un système dynamique non linéaire et du chaos dans "Science et méthode" en 1909...

[paulb]

Bonjour bardamu,
Merci du lien et de l'extrait, je vais acheter le bouquin de ce pas.
Dans mon message il est sous-entendu qu'il est indifférent que l'événement imprédictible ait une origine due au hasard ou du chaos ou de n'importe quoi d'autre et que son imprédictibilité résulte de notre ignorance ou qu'elle soit ontologique (je dirais plutôt intrinsèque), du moment que les calculs de probabilité lui sont applicables et donnent des résultats probants.
J'espère que cette constatation de l'indécidabilité affirmée par Bitbol calmera un peu les tenants des deux thèses. Il reste que l'on peut affirmer, sans vouloir vexer quiconque que, sauf preuve contraire, tout se passe comme si l'imprédictibilité était une caractéristique intrinsèque à certains événements.
Il ne faut pas oublier qu'en toute logique, la charge da la preuve incombe à ceux qui prétendent qu'il existe d'autres causes que celles généralement admises dans la production de certains événements, en l'occurrence les variables cachées, pas encore identifiées. Sinon, autant invoquer le Grand Manitou (encore une fois pour ne vexer personne)!

[domlefebvre]

Il ne faut pas oublier qu'en toute logique, la charge da la preuve incombe à ceux qui prétendent qu'il existe d'autres causes que celles généralement admises dans la production de certains événements, en l'occurrence les variables cachées, pas encore identifiées.

Si l'on considère un système différentiel chaotique, au sens mathématique, il n'est point besoin de faire appel à des variables cachées pour expliquer son comportement et sa sensibilité aux conditions initiales. Les démonstrations afférentes remplissent depuis Poincaré (j'admire Poincaré ) les traités sur les systèmes dynamiques...

Evidemment, les choses se compliquent lorsqu'on considère un système physique, dont on approxime le comportement par un système différentiel chaotique. On peut, dans ce cas, envisager l'existence de variables cachées qui conduisent à l'approximation chaotique, par ignorance...

[paulb]

Un système chaotique n'est pas un système probabiliste.

Alors, comment expliquer que les calculs de probabilité lui sont parfaitement applicables?
Peux-tu donner une définition précise de la différence entre système probabiliste et système chaotique?
Le pile ou face est-il probabiliste ou chaotique? (Ne pas oublier qu'une écorniflure du bord de la pièce peut, en modifiant son rebond, inverser la valeur résultante: effet aile de papillon). Ici l'effet de chaos ne résulte pas du grand nombre d'objets qui y participent, mais du grand nombre de lois dynamiques qui contribuent à un résultat final très tranché.

[paulb]

Evidemment, les choses se compliquent lorsqu'on considère un système physique, dont on approxime le comportement par un système différentiel chaotique. On peut, dans ce cas, envisager l'existence de variables cachées qui conduisent à l'approximation chaotique, par ignorance...

C'est un peu la confirmation de ce que dit Bitbol, non?

[domlefebvre]

Peux-tu donner une définition précise de la différence entre système probabiliste et système chaotique?

Un système probabiliste est un système à variables stochastiques. Pas un système chaotique.

Le pile ou face est-il probabiliste ou chaotique? (Ne pas oublier qu'une écorniflure du bord de la pièce peut, en modifiant son rebond, inverser la valeur résultante: effet aile de papillon). Ici l'effet de chaos ne résulte pas du grand nombre d'objets qui y participent, mais du grand nombre de lois dynamiques qui contribuent à un résultat final très tranché.

Tu touches à un problème très intéressant. Lorsque que j'écris qu'un système chaotique est déterministe, i.e. n'est pas stochastique, je parle précisement d'un système dynamique au sens mathématique du terme.

Le cas dont tu parles concerne la représentation mathématique du phénomène physique. Elle est double:
- d'une part, on peut considérer le système différentiel qui décrit le mouvement de la pièce jetée. Il est sans doute très sensible aux conditions initiales. Il possède deux attracteurs ("pile" et "face"). En ce sens c'est un système chaotique déterministe. On peut l'étudier si l'on connait toutes les variables sensibles (et c'est peut-être là que tu parles de variables cachées...). Le réalisme me dit que quelque part, cette connaissance est très difficile. Il en résulte que cette description étant quasi-impossible, on fut conduit à analyser le système autrement.
- et donc d'autre part, et à défaut, on représente ce système par son état final: la répartition statistique de la série d'états finals entre les deux attracteurs. Cette répartition est conforme au calcul des probabilités.
La série de résultats obtenus ne nous renseigne pas complètement sur la dynamique du système chaotique. Elle nous renseigne sur certaines caractéristiques de ses attracteurs.

Maintenant, il est intéressant de comprendre pourquoi certains caractéristiques de ses attracteurs répondent au calcul des probabilités, sans que le système qui les génère soit un système stochastique. A moins qu'il soit possible d'approcher le comportement d'un système chaotique par celui d'un système stochastique, hors des points éventuels de bifurcation, qui sont complètement hors du domaine d'application d'un système stochastique.

[domlefebvre]

C'est un peu la confirmation de ce que dit Bitbol, non?

Oui bien sur! Bitbol fait précisement allusion aux approximations que l'on fait inévitablement lorsqu'on modélise un système physique par un système différentiel. On néglige plus ou moins consciemment et volontaire des variables, dont l'influence peut se révéler par la suite pas aussi négligeable que cela.

C'est une réalité. Mais ce n'est pas une raison pour confondre un système dynamique chaotique et un système stochastique, au sens mathématique des termes. C'est toute la difficulté de la modélisation et du dialogue entre les mathématiciens et les physiciens...

[domlefebvre]

Autre chose à propos de ce que dit Michel Bitbol. Ce dernier est assez versé dans la MQ (voir son "MQ une introduction philosophique"). Lorsqu'il parle chaos, il faut faire attention à bien vérifier s'il parle de "chaos déterministe" ou de "chaos quantique". Il existe une différence épistémologique et mathématique entre les deux, provenant du principe d'incertitude de la MQ. Je ne suis pas spécialiste de ce domaine, mais j'ai pu constater en discutant avec mes collègues MQ que nos notions du chaos étaient un peu différentes.....

[paulb]

Oui bien sur! Bitbol fait précisement allusion aux approximations que l'on fait inévitablement lorsqu'on modélise un système physique par un système différentiel. On néglige plus ou moins consciemment et volontaire des variables, dont l'influence peut se révéler par la suite pas aussi négligeable que cela.

C'est une réalité. Mais ce n'est pas une raison pour confondre un système dynamique chaotique et un système stochastique, au sens mathématique des termes. C'est toute la difficulté de la modélisation et du dialogue entre les mathématiciens et les physiciens...

Ce n'est nullement mon intention de confondre quelque système mathématique ou physique que ce soit, pas plus que de faire un catalogue des correspondances et des différences entre les expressions et les définitions des mathématiciens et des physiciens.

Autre chose à propos de ce que dit Michel Bitbol. Ce dernier est assez versé dans la MQ (voir son "MQ une introduction philosophique"). Lorsqu'il parle chaos, il faut faire attention à bien vérifier s'il parle de "chaos déterministe" ou de "chaos quantique". Il existe une différence épistémologique et mathématique entre les deux, provenant du principe d'incertitude de la MQ. Je ne suis pas spécialiste de ce domaine, mais j'ai pu constater en discutant avec mes collègues MQ que nos notions du chaos étaient un peu différentes.....

Ma constatation (peu discutable) réside dans le fait que les événements imprédictibles, pour ceux qui les observent et quelle que soit la cause de cette imprédictibilité, de nature algorithmique (dans l'ignorance de l'algorithme ou de la "graine"), hasardeuse ou chaotique, sont descriptibles et prévisibles de façon approchée grâce au même outil mathématique, le calcul de probabilité. Ce calcul permet même de détecter les "fausses" séries aléatoires, caractérisées par leur répétitivité et par d'autres caractéristiques (voir la cryptographie).
En extrapolant, il est permis de faire l'hypothèse d'une similitude implicite entre les phénomènes imprédictibles d'origine naturelle.

[domlefebvre]

Ma constatation (peu discutable) réside dans le fait que les événements imprédictibles, pour ceux qui les observent et quelle que soit la cause de cette imprédictibilité, de nature algorithmique (dans l'ignorance de l'algorithme ou de la "graine"), hasardeuse ou chaotique, sont descriptibles et prévisibles de façon approchée grâce au même outil mathématique, le calcul de probabilité.
Ce calcul permet même de détecter les "fausses" séries aléatoires, caractérisées par leur répétitivité et par d'autres caractéristiques (voir la cryptographie).
En extrapolant, il est permis de faire l'hypothèse d'une similitude implicite entre les phénomènes imprédictibles d'origine naturelle.

Le calcul des probabilités peut effectivement t'indiquer que telle série de résultats ne se comporte pas conformément à une loi de distribution aléatoire connue. Il existe des tests probabilistes pour distinguer une vraie série aléatoire d'une série périodique à très grande période. On les utilise d'ailleurs pour vérifier que les générateurs pseudo-aléatoires des langages informatiques ont bien une période assez grande pour pouvoir être considérés comme "pseudo-aléatoires".
Jusqu'ici, je crois que nous sommes d'accord.

Là où je diverge, c'est qu'il est impossible, d'après ce que j'en sais, de prévoir le comportement d'un système chaotique par un calcul probabiliste quelconque. Tu peux approcher son comportement sur une portion limitée de son orbite, mais tu ne pourras pas estimer, avec un seuil de confiance donné, le comportement dans un avenir fixé du système.

Par exemple, essaie de traiter la dynamique de l'attracteur de Lorenz par le calcul des proba... Ce serait un non-sens physique, sans compter que la plupart des théorèmes de proba ne seraient pas dans leur domaine d'application. Un système chaos est par définition non-intégrable...

Ce qui n'empêche que l'on utilise souvent les méthodes statistiques pour essayer de deviner le comportement d'un système chaotique. L'exemple le plus flagrant est l'analyse grahique que pratique les traders pour estimer le comportement d'un cours. Ils peuvent le faire à court terme...
Autre exemple tout aussi flagrant : essaie de faire des prévisions météo probabilistes...

En bref, les proba., plus précisement les tests statistiques, sont très utiles pour vérifier si une série est aléatoire ou non. Quant à les utiliser pour étudier les systèmes chaotiques, je ne crois pas qu'elles soient adaptées.

Mais ta question est peut-être au delà! Il reste que l'imprédictibilité d'un système chaotique n'est pas due au hasard et ne peut être approchée par le calcul probabiliste. Il existe bien sur d'autres approches (analyse différentielle) qui sont toutes aussi applicables aux phénomènes naturels (par exemple le comportement d'un système climatique...)

[paulb]

Bonjour,
Pas entièrement d'accord. Le calcul de probabilité est comme la "plus belle femme du monde qui ne peut donner que ce qu'elle a".
Il est vain de lui demander s'il pleuvra dimanche après-midi à Fouilli-les-Barbouillettes, mais on peut lui demander de tracer la courbe de Gauss des hauteurs probables en millimètres d'eau de pluie dans le Cantal en novembre prochain, en se basant sur la modélisation actualisée, ou le nombre probable de coups de foudre que la tour Eiffel encaissera dans les dix ans à venir (qui est proche de ceux encaissés dans les dix ans passés).
Je pense qu'il n'est pas nécessaire d'utiliser un langage hautement scientifique pour exprimer ma pensée.

[paulb]

Un système probabiliste est un système à variables stochastiques. Pas un système chaotique.

Tu touches à un problème très intéressant. Lorsque que j'écris qu'un système chaotique est déterministe, i.e. n'est pas stochastique, je parle précisément d'un système dynamique au sens mathématique du terme.

Le cas dont tu parles concerne la représentation mathématique du phénomène physique. Elle est double:
- d'une part, on peut considérer le système différentiel qui décrit le mouvement de la pièce jetée. Il est sans doute très sensible aux conditions initiales. Il possède deux attracteurs ("pile" et "face"). En ce sens c'est un système chaotique déterministe. On peut l'étudier si l'on connait toutes les variables sensibles (et c'est peut-être là que tu parles de variables cachées...). Le réalisme me dit que quelque part, cette connaissance est très difficile. Il en résulte que cette description étant quasi-impossible, on fut conduit à analyser le système autrement.
- et donc d'autre part, et à défaut, on représente ce système par son état final: la répartition statistique de la série d'états finals entre les deux attracteurs. Cette répartition est conforme au calcul des probabilités.
La série de résultats obtenus ne nous renseigne pas complètement sur la dynamique du système chaotique. Elle nous renseigne sur certaines caractéristiques de ses attracteurs.

Maintenant, il est intéressant de comprendre pourquoi certains caractéristiques de ses attracteurs répondent au calcul des probabilités, sans que le système qui les génère soit un système stochastique. A moins qu'il soit possible d'approcher le comportement d'un système chaotique par celui d'un système stochastique, hors des points éventuels de bifurcation, qui sont complètement hors du domaine d'application d'un système stochastique.

Bonjour, J'ai lu et relu ton texte, qui m'a fait beaucoup réfléchir, n'étant pas strictement "du bâtiment". Mes connaissances en mathématiques et en physique, assez anciennes, se sont peu à peu évaporées et n'ont laissé que la "culture", autrement dit pas grande chose! J'avais cité le pile ou face, mais en fait, on peut étendre cette réflexion à presque tout résultat d'un processus complexe, soit par le grand nombre d'événements qui s'enchaînent (les mouvements de la pièce lancée en l'air et ses rebonds sur la table), soit par le grand nombre d'objets qui interagissent (les molécules de l'atmosphère pour la météo) pour obtenir un résultat final, processus qui expliquent le comportement "hasardeux", même si l'on admet un déterminisme sous-jacent et une simultanéité du temps, niée par la relativité.
Si l'on admet cette analyse, il ne reste que le hasard inhérent à la MQ qui serait "pur".
Tu dis: "approcher le comportement d'un système chaotique par celui d'un système stochastique". C'est que je suis en train d'essayer de faire!
L'Univers comporte (à quelques unités d'exposant près) 10^80 atomes qui, tous sans exception, frétillent, s'entrechoquent et se diffusent dans tous les sens, en se tamponnant et changeant de direction des milliards de fois par seconde. Le démon de Laplace aurait donc besoin au moins de l'ordinateur ultime imaginé par Seth Loyd, d'une mémoire de 10^120 bits et une horloge à 10^102 Hz, décrit sous
http://villemin.gerard.free.fr/Multimed/Puissthe.htm
pour suivre et prévoir le mouvement.
Il précise:
Il faudrait une énergie équivalente à
*quatre mois de production d'une centrale nucléaire de 900 mégawatt en... un milliardième de seconde: ,l'ordinateur ultime serait donc plutôt brûlant.
Et aussi, à la cadence de calcul,
*les dimensions de l'ordinateur doivent être très petites*d'une taille de 10^-27 mètres
On se rapproche du …trou noir.
Tout ça pour rire, naturellement!

En résumé, plus on avance dans la réflexion, et plus le cousinage entre les deux explications d'inprédictibilité s'affirme. En fait, nous entrons plus dans des considérations philosophiques que physiques et mathématiques.

[Stibium]

Bonjour!

Tu seras peut-etre intéressé, Paulb, par l'existence de générateurs de nombres aléatoires "naturels" basés sur la mécanique quantique: ils sont même commercialisés (par exemple par la société genevoise Idquantique). Si l'on croit à la MQ et à son caractère intrinsèquement aléatoire, on a là un générateur parfait! C'est d'ailleurs ce genre de générateur qui intervient dans les protocoles de cryptographie quantique.

Par ailleurs je voudrais rappeler que ce qu'on appelle le chaos quantique est l'étude des propriétés quantiques des systèmes physiques possédant classiquement un comportement chaotique. De tels systèmes ont des propriétés quantiques spécifiques, qui peuvent être décrites de façon probabiliste (par exemple par ce qu'on appelle la théorie des matrices aléatoires).

La différence essentielle entre la description probabiliste du chaos et celle de la MQ est que la première est une façon commode de décrire un système trop compliqué, tandis que la seconde est inscrite dans la théorie elle-même. Dans l'optique d'une application cryptographique, la différence est grande: si l'adversaire possède une technologie plus avancée que la notre, il pourrait reconstituer une série aléatoire générée par un système chaotique. En revanche, tant que la MQ reste valide, aucune avancée technologique ne lui permettra de reconstituer une clé obtenue par le mécanisme quantique.