[Maths] [TS] Équation différentielle du premier ordre

**g_h** · 09/01/2007, 12h24

Salut,

Effectivement, si on se limite aux équations différentielles linéaires du premier ordre, ça n'est pas très intéressant en soi.

Enfin... je t'en propose un qui demande un tout petit peu d'astuce (en espérant que tu n'en aies jamais fait de semblable) :

Exercice

On considère l'équation (E) : $\text{[math]}$

Question : Trouver les solutions de (E) qui ne s'annulent jamais, définies sur tout $\text{[math]}$
Indice : il faut se ramener à une équation linéaire du premier ordre.

Si tu veux, je peux te concocter un exercice pour t'initier aux équations différentielles non linéaires du premier ordre, c'est déjà beaucoup plus intéressant !
(par contre, il faut déjà avoir fait de l'intégration, je ne sais pas si c'est le cas)

invitefc60305c · 09/01/2007, 15h33

Merci pour l'exercice.
Nan je n'ai pas encore vu les intégrales.
Je m'y mets

invitefc60305c · 09/01/2007, 17h20

z(x) = (9 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ )*x / 8

Mon "raisonnement" (

) :
z' = (-3+2z)z
z' = -3z + 2z²
z = $\text{[math]}$ z² + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
0 = $\text{[math]}$ z² + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - z
Je résouds l'équation.

**kNz** · 09/01/2007, 18h11

Salut,

Passage de la deuxième à la troisième ligne ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitefc60305c · 09/01/2007, 18h18

En dérivant z on a z'
En dérivant (-3/2)z² on a -3z
En dérivant (2/3) $\text{[math]}$ on a 2z²

**kNz** · 09/01/2007, 18h27

En dérivant z on a z'.
En dérivant -3/2z² on a -3z*z'.
En dérivant 2/3z³ on a 2z²*z'.

invitefc60305c · 09/01/2007, 18h38

Olalala l'erreur de la mort qui tue tout.

**kNz** · 09/01/2007, 18h39

Ouaip, d'autant plus qu'en dérivant une constante on obtient 0

invitefc60305c · 09/01/2007, 18h50

Ou tu vois une constante ?

**kNz** · 09/01/2007, 18h54

Ba justement nulle part, tu l'as oublié en passant de la 2ème à la 3ème ligne.

invitefc60305c · 09/01/2007, 18h59

Oui bon t'arrêtes de me foutre la honte ?

Sinon je m'approchais du but (hormais erreurS monumentaleS) ?

invitee1e5fa37 · 09/01/2007, 19h32

Bonjour,

C'est pas du niveau de terminale, je pense pas qu'il puisse la résoudre.
C'est une équation de Bernoulli ...

Emtt.

**kNz** · 09/01/2007, 20h12

C'est ptet pas du niveau de terminale mais c'est toujours plus intéressant qu'une bête application de la méthode de résolution d'une équation linéaire d'ordre 1. Pour l'exo, on pourra essayer d'effectuer un changement de fonction inconnue.

invitefc60305c · 09/01/2007, 20h37

Trop dur pour moi...

Peut être X = 1/z ?

**kNz** · 09/01/2007, 20h42

Essaye tu verras bien

invitefc60305c · 09/01/2007, 21h33

Je crois que ça y est !

z' = -3z + 2z²
On divise tout par z² ce qui donne
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + 2
On pose X = $\text{[math]}$
On a alors :
X' = -3X + 2
X' + 3X = 2
z = ( $\text{[math]}$ ^-1) * exp(3x) + $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ |R*

invitee1e5fa37 · 10/01/2007, 08h21

Envoyé par kNz

C'est ptet pas du niveau de terminale mais c'est toujours plus intéressant qu'une bête application de la méthode de résolution d'une équation linéaire d'ordre 1. Pour l'exo, on pourra essayer d'effectuer un changement de fonction inconnue.

Ouais c'est sur.

La réponse est erroné, je crois ...

Emtt.

invitefc60305c · 10/01/2007, 11h57

Ouaip chui bête, je rectifie
z = ( $\text{[math]}$ ^-1)*exp(-3x) + $\text{[math]}$

Sinon, comment on fait le exp en latex svp ?

invitee1e5fa37 · 10/01/2007, 14h52

Bonjour,

Pour le latex je ne sais pas mais pour ta réponse elle est fausse.

Donne ce que tu as trouvé pour X.

Emtt.

**kNz** · 10/01/2007, 14h57

[tex]e^{2\lambda\omega^{2}}[/tex]

= $\text{[math]}$

Dérive X pour commencer.

invitefc60305c · 10/01/2007, 18h24

X = $\text{[math]}$
X' = $\text{[math]}$

Or moi j'me suis trompé en écrivant X' = $\text{[math]}$

On a donc :
-X' = -3X + 2

Juste?

**kNz** · 10/01/2007, 20h51

Apparemment

invitefc60305c · 10/01/2007, 21h47

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ est solution particulière.
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ * $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ réel est solution homogène.
Soit $\text{[math]}$ la solution générale.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ * $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
Or
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ * $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

C'est bon?

PS: la transitivité est bien une implication n'est-ce pas ?

invitee1e5fa37 · 11/01/2007, 10h44

Envoyé par anonymus

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ * $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

Faux ! Enorme erreur !

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Sinon pour le reste c'est bon

(enfin je crois)

Emtt.

invitefc60305c · 11/01/2007, 12h09

Ah j'ai compris mon erreur.
J'ai distribué la puissance -1...
Je crois que j'vais laisser la solution sous cette forme:
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
C'est pas très joli, tant pis

J'ai fait beaucoup d'erreurs bêtes quand même

invitef0d787fb · 11/01/2007, 13h20

Bonjour,
Suite a une révision de prépa, j'ai une hésitation...
je voulais savoir si la racine de 225/256 était bien un rationnel décimal et que la racine de 169/225 également. Néanmoins, j'ai trouvé que la racine de 169/225 était un rationnel non décimal. Or pour moi, ces deux nombres présentent un aspect identique. Ma question est la suivante: sont 'il tous les deux des rationnels décimaux ou non? Merci pour votre réponse.
Crevette38

**g_h** · 13/01/2007, 21h32

Envoyé par anonymus

Ah j'ai compris mon erreur.
J'ai distribué la puissance -1...
Je crois que j'vais laisser la solution sous cette forme:
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
C'est pas très joli, tant pis

J'ai fait beaucoup d'erreurs bêtes quand même

Salut,

Pendant mon absence, je vois que vous avez trouvé l'astuce de poser X = 1/z

Mais la rigueur n'est pas encore tout à fait complète (une fois l'astuce trouvée, on est tellement obnubilés qu'on se jette tête baissée dans les calculs)... car z n'est pas forcément définie partout !
C'est comme ça qu'on perd des points bêtement aux examens

J'ai donné un énoncé très précis... ça demande une réponse très précise

**g_h** · 13/01/2007, 22h39

Argh, en fait tu t'es quand même trompé dans la résolution... une petite erreur qui a son importance !

Tu y es presque... !

Crevette38> Tu es hors sujet ici, mais je te réponds :
tes nombres valent respectivement 15/16 et 13/15.
Le premier est décimal, non le second.
Pour te faire réfléchir, vois que 1/4 = 0.25 est décimal, mais 1/3 n'est pas décimal.
Tout est histoire de conversion de bases, certaines bases se convertissent bien dans d'autres, mais pas toutes.

1/10 n'est pas, par exemple, un nombre "binaire" (il ne peut pas s'écrire en base 2), mais est décimal (il s'écrit en base 10 : 0.1).

invitefc60305c · 13/01/2007, 23h00

Ma solution n'est pas définie sur $\text{[math]}$ .

**g_h** · 13/01/2007, 23h29

Envoyé par anonymus

Ma solution n'est pas définie sur $\text{[math]}$ .

2 choses :
- je veux l'ensemble des solutions définies sur $\text{[math]}$
- tu t'es trompé dans la résolution de l'équation en X

Voilà

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Re : exprimez-vous : quels exercices voulez vous ?

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