[Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or

[invite4b9cdbca]

On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.

Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?

[invite97a92052]

Toutes les suites définies par :
U_n+2 = U_n+1 + U_n, quels que soient U₀ et U₁
(la suite de Fibonacci est un cas particulier)

(évidemment, en écartant les cas ou par exemple U₀ = U₁ = 0...)

[invitec314d025]

Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?

Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.
Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

Il faudrait que je trouve un lien où on parle de ça, parce que ça risque de pas être très clair là (à moins que quelqu'un ait envie de se lancer dans les explications ?)

[invite3bc71fae]

Pour le nombre d'or, n'oubliez pas d'aller voir dans le forum "Les archives" où un spécialiste a répondu à des questions sur le sujet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Un: la suite de Fibonacci ne converge pas vers le nombre d'or. C'est le rapport de 2 termes consécutifs qui converge vers le nombre d'or.

Effectivement,petite erreur... veuillez m'excuser

Deux: la relation est très forte, et elle est liée notamment à la diagonale d'un pentagone régulier et à un procédé nommé antiphérèse.

Antiphérèse ?

[invite97a92052]

Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0

[invitec314d025]

Oups oui, merci matthias pour la rectification, ça ne converge pas vers phi en effet
Sinon, rien a voir, mais il est "amusant" de remarquer qu'on retrouve aussi le nombre d'or dans les solutions de l'équation différentielle f''(x) - f'(x) - f(x) = 0, qui est un peu semblable à x²-x-1=0

et un rapport avec
ce qui se comprend mieux quand on aborde les méthodes générales de résolution de ce type d'équations différentielles, et d'étude de ce type de suites. Mais là, on déborde carrément.

Pour Kron, je propose qu'on attende que les questions de Doyphore aient trouvées une réponse, ensuite on peut continuer sur l'antiphérèse et les fractions continues.

[inviteaeeb6d8b]

Si je prends f(x) = x²/2 ....... f'(x)= x ..... f'(x)=1
et je retrouve ...

Edit with Matthias and Doryphore !

Re edit : c'est toujours pareil ! chaque fois qu'il y a un truc intéressant d'autres ont déjà répondu !