Exo sur l'approximation affine et la méthode d'Euler [1èS]

[invite21fd11b1]

Bonjour,

Voici un exo sur lequel je bloque...

f est une fonction dérivable sur [1;3] telle que f(1)=0 et pr tt x de [1;3], f'(x)=1/x

1) On choisit comme pas h=0,2 et on découpe [1;3] à l'aide des nombres x0=1; x1=1,2;...;x10=3
On pose y0=0 et pr tt entier i tel que 1< ou égal à i < ou égal à 10, on note yi la valeur approchée de f(xi) obtenue par la méthode d'Euler


a) Démontrer que pour tout entier i tel que 1< ou égal à i < ou égal à 9, yi+1=yi+0,2*1/xi



==> Déja, je vois pas pourquoi on ne prend plus l'intervalle 1< ou égal à i < ou égal à 10 mais 1< ou égal à i < ou égal à 9.
Y'a t il une raison particulière??

Après, j'ai essayé d'appliquer la méthode d'Euler:
M0=(1;0)
donc pour Mi:
yi + 0,2 (le pas entre chaque point)= yi + 0,2 * 1/xi

La 2eme partie de mon équation est correct, mais je ne comprends pas d'où vient le 1 que je suis censé trvouer dans la première partie??



Merci à ceux qui m'aideront,
-----

[Flyingsquirrel]

Bonsoir pixelle,

a) Démontrer que pour tout entier i tel que 1< ou égal à i < ou égal à 9, y_i+1=y_i+0,2*1/x_i

Ça n'est pas plutôt pour ?

==> Déjà, je vois pas pourquoi on ne prend plus l'intervalle 1< ou égal à i < ou égal à 10 mais 1< ou égal à i < ou égal à 9.
Y'a t il une raison particulière??

Si on prend on se retrouve avec i+1 qui peut prendre la valeur 11... alors que les y_i sont définies jusque y₁₀.

Après, j'ai essayé d'appliquer la méthode d'Euler:
M0=(1;0)
donc pour Mi:
yi + 0,2 (le pas entre chaque point)= yi + 0,2 * 1/xi

La 2eme partie de mon équation est correct, mais je ne comprends pas d'où vient le 1 que je suis censé trvouer dans la première partie??

Il faut lire y_i+1 dans ton enoncé et pas y_i+1...

[invite21fd11b1]

ok!

Donc en fait, on ajoute 1 à i pour passer à la valeur suivante?
J'pense avoir compris...

Je vais rédiger ca et le reposter, pour voir si c'est bien correct.

Merci!

[invite21fd11b1]

Alors je suis pas sure de la redaction, surtt vers la fin pour expliquer pour l'intervalle


1) a) On veut démontrer que pr tt entier i tel que 1≤ i ≤ 9, y(i+1)=yi+0,2*1/xi

D’après la méthode d’Euler,
y (i+1)=yi+h*f’(xi)

Or, ici on a :
h=0,2
f’(xi)=1/xi

Donc y(i+1)=yi+0,2*1/xi

De plus, on sait que i est un entier tel que 1 ≤ i ≤ 10
Comme on ajoute 1 à i, on obtient 2 ≤ i+1 ≤ 11
Il faut donc réduire l’intervalle : i est un entier tel que 1 ≤ i≤ 9



2) Construire la feuille de alcul ci contre avec un tableur. Expliquer la formule qui définit la cellule B3 : =B2+0,2+1/A2
A B
1 xi yi
2 1 0
3 1,2 0,2
4 1,4


la encore je ne suis pas sur de la rédaction :

Comme on l’a montré précédemment, y(i+1)=yi+0,2*1/xi

Or, ici :
y(i+1) correspond a la cellule qu’on est en train de traiter, ici B3
yi correspond à la cellule précédente, c'est-à-dire B2
xi correspond à A2

D’où B3=B2+0,2*1/A2

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je suis d'accord pour la rédaction. Juste un point :

De plus, on sait que i est un entier tel que 1 ≤ i ≤ 10
Comme on ajoute 1 à i, on obtient 2 ≤ i+1 ≤ 11
Il faut donc réduire l’intervalle : i est un entier tel que 1 ≤ i≤ 9

On a posé y₀=0, il faut donc définir (avec la relation y_i+1=y_i+0,2/x_i) y₁, y₂, ... , y₁₀ donc .

[invite21fd11b1]

ok

et après on me dit meme question avec le pas 0,1

l'intervalle est bien : 1< ou égal à i < ou égal à 19?

[Flyingsquirrel]

Pour le savoir il suffit de réécrire mon dernier post en sachant que les y_i vont de y₀ à y₂₀ au lieu de y₁₀.

[invite21fd11b1]

1 ≤ i+1 ≤ 20
0 ≤ i ≤ 19

?

[Flyingsquirrel]

Oui, c'est ça.

[invite21fd11b1]

Merci bcp!