équations différentielles

[invite5ea7aaa4]

Bonjour à tous!
J'ai besoin d'aide pour cet exo où je suis bloqué dès la 1ère question, merci de bien vouloir m'aider.

On considère une fonction g>0, dérivable sur [0;+inf, et on suppose que g est solution de l'équation différentielle :
(E) : y' = ay*(1 - y/M) où a>0 et M>0 constantes

1
a) Montrer que 1/g est alors solution de l'équation différentielle : (E') : y' + ay = a/M
b) Résoudre (E0') : y' + ay = 0
c) Résoudre (E')

Voilà après j'espère réussir à me débrouiller tout seul.
Merci d'avance
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[invite3df1c846]

Salut!!

Pour ta première question, tu as une chose à démontrer et une chose de connue, qui est g est solution de (E), ce qui t'amènes à une égalité...très simple ^^

Donc pour démontrer que 1/g est solution de (E'), il faut que tu inclues ta fonction dans l'égalité (E') puis que tu retombes sur quelque chose de connu (déjà démontré par exemple ) et pour cela tu verras qu'il te faudra pas faire grand chose ^^

La seconde question est une question de cours et la troisième doit découler des deux premières je pense!!

[invite5ea7aaa4]

Ok je vais essayer ça merci

[invite8e43c87d]

La dernière revient juste à sommer ta solution de l'équation générale ( E0 ) et ta solution particulière trouvée dans le 1 ... ; )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ea7aaa4]

Pour la question 1 a), j'ai développé ce que l'on avait en (E) et (E').

On a :
g' = ag ( 1- g/M)
g' = ag - ag^2/M
g*(-g'/g + a - ag/M) = 0

et pour (E') : 1/g solution
ssi (1/g)' + a/g = a/M
ssi -g'/g^2 + a/g - a/M = 0
ssi 1/g * (-g'/g + a - ag/M) = 0

Donc 1/g solution de (E')

Estce suffisant?

[invite3df1c846]

ssi 1/g * (-g'/g + a - ag/M) = 0

Donc 1/g solution de (E')

Estce suffisant?

Le problème est que tu ne peux rien conclure par rapport au résultat sur lequel tu arrives, il faudrait que tu arrives à une égalité connue, car tu cherches à démontrer que 1/g solution et 1/g n'est solution de (E') que si tu retombes à la fin sur

Pour la question 1 a), j'ai développé ce que l'on avait en (E) et (E').

On a :
g' = ag ( 1- g/M)
g' = ag - ag^2/M

J'ai enlevé ta dernière ligne pour simplifier, en fait tu as juste à multiplier par quelque chose pour arriver à ce résultat, en partant de ce que tu as écrit ici :

et pour (E') : 1/g solution
ssi (1/g)' + a/g = a/M
ssi -g'/g^2 + a/g - a/M = 0

Tu retombes sur quelque chose de vraie, dit dans l'énoncé, donc tu peux conclure que 1/g est aussi solution de l'équa diff !!!