Problème d'optimisation

invite2220c077 · 10/02/2008, 22h25

Bonjour !

Voilà, je planchais dans la soirée sur un exercice du Tournoi des Villes et j'aimerais savoir si ma solution est juste, car je la trouve un peu trop "simple" pour un exercice tiré de ce genre de compétition ...

Soient A et B deux points du plan et (l) une droite, la droite (AB) étant parallèle à (l). A la règle et au compas, construire un point C de (l) tel que AC*BC soit le plus petit possible. (Expliquer la construction)

Soit H le projeté orthogonal de A sur (l). Nous avons :

S = 1/2AC*BC*sin A avec S l'aire du triangle ABC, d'où AC*BC = 2S/sin A.

(AB)//(l), donc d'après le théorème des angles alternes-internes, ^A = ^C, d'où sin A = sin C = AH/AC.
Nous tirons aussi : S = AB*AH, d'où AC*BC = 2*AB*AC.

Puisque AB est fixe, alors ce produit est minimal lorsque AC est minimal.

Lemme : Soit O un point donné du plan, (l) une droite donnée et M un point de cette droite. Alors la distance OM est minimale lorsque M est le projeté orthogonal de O sur (l).

D'après ce lemme, qui est une conséquence du principe de tangence, on en déduit que le produit AC*BC = 2*AB*AC est minimal lorsque C = H.

Le point C est alors le point d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite (l) (la construction est élémentaire).

invite2220c077 · 10/02/2008, 22h42

Rectifications :

S = AB*AH/2

AC*BC = AB*AC

Je viens de voir que si je divisais par AC, j'obtenais une égalité fausse ... Donc j'ai vraiment fait une erreur, mais où ? oO

invite2220c077 · 10/02/2008, 22h51

J'suis encore allé trop vite :

^A = ^ACH

invitea766430f · 10/02/2008, 22h52

Envoyé par -Zweig-

Soient A et B deux points du plan et (l) une droite, la droite (AB) étant parallèle à (l). A la règle et au compas, construire un point C de (l) tel que AC*BC soit le plus petit possible. (Expliquer la construction)

Soit H le projeté orthogonal de A sur (l). Nous avons :

S = 1/2AC*BC*sin A avec S l'aire du triangle ABC

Plutôt sin C que sin A n'est-ce pas ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2220c077 · 10/02/2008, 22h54

Ehm, ehm, oui en effet, j'ai mal appliqué la formule, bon retour à la case départ, l'erreur venait de là ...

invite2220c077 · 10/02/2008, 23h13

Mais, je suis convaincu que lorsque C = 90°, nous obtenons la valeur minimale : qu'en pensez-vous ?

Bon, j'ai peut-être trouvé autre chose de plus concret :

Toujours, H le projeté de A sur (l)

Nous avons S = 1/2 AC*BC*sin C, d'où AC*BC = 2S/sin C = AB*AH/sin C.

Soit f(C) = AB*AH/sin C. Alors f'(C) = (-AB*AH*cos C)/sin²C

f'(90) = 0, et un tableau de variations nous indique que le minimum de f est atteint lorsque C = 90°. Ainsi, le minimum de AC*BC est obtenu lorsque C = H.
Le point C est alors le point d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite (l) (la construction est élémentaire).

**invite1237a629** · 11/02/2008, 07h54

Plop,

Voilà, je planchais dans la soirée sur un exercice du Tournoi des Villes et j'aimerais savoir si ma solution est juste, car je la trouve un peu trop "simple" pour un exercice tiré de ce genre de compétition ...

Bien souvent, une fois qu'on a l'idée de résolution, on trouve l'exo simple

c'est comme ça en géométrie : on trouve, ou on ne trouve pas et la difficulté dépend de ce temps de réflexion je trouve

Bref, pour en revenir à l'exo, chuis d'accord avec ton raisonnement (le deuxième tout du moins). Il faudrait faire l'étude de signes de f'(C) pour bien montrer que c'est un minimum.

Ensuite, oui, le minimum est atteint si C=90. Mais d'après ta définition de H, C n'est pas confondu avec H. L'angle C représente ACB. Donc cela signifie qu'on a un triangle rectangle en C (et pas en A si c'était le cas quand C et H sont confondus).

La conclusion est bonne :

Le point C est alors le point d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite (l) (la construction est élémentaire).

Par contre, selon les cas (l'éloignement (AB) - (I)), il y a 0, 1 ou deux solutions, donc fais attention.
Pour 1 ou 2 solutions, je pense que ça ne pose pas de problème. Pour le cas où il n'y a pas de point d'intersection entre ce demi-cercle et (I), il faudra refaire le raisonnement

**invite1237a629** · 11/02/2008, 08h10

Il faudrait faire l'étude de signes de f'(C) pour bien montrer que c'est un minimum.

En fait, même pas besoin de passer par la dérivée.

On sait que -1<sinC<1 (inéquations larges). Donc -1>1/sinC>1.
Donc minimum atteint pour 1/sinC=1 ie C=90.

**invite1237a629** · 11/02/2008, 08h38

Y m'énerve ce temps d'édition

On sait que -1<sinC<1 (inéquations larges). Donc -1>1/sinC>1.

Donc euh pas vraiment en fait, tit problème si sinC est entre 0 et -1.

Bref, on a juste à dire que sinC est toujours <1.
Donc 1/sinC est toujours >1.
Donc 1 est minimum.

Donc sinC=1 <=> C=90.

(à rédiger, mais l'idée est là, non ?

)

On peut prendre les valeurs absolues si ces inégalités te gênent...

invite2220c077 · 11/02/2008, 10h23

Salut,

Exact je suis allé un peu trop vite au sujet du point C

. Bon je refais une rédaction.

Soit H le projeté de A sur (l).

Nous avons $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , et un tableau de variations nous indique que le minimum de f est atteint lorsque $\text{[math]}$ . Ainsi, le minimum de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , obtenu lorsque C = 90°.

Le point C est alors le(s) point(s) d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite (l). Un cas particulier se présente néanmoins :

Il n'y a aucun points d'intersection entre (l) et le cercle : alors le point C sur (l) est fournit par cette construction : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr..._seul.html#ch8 (

). Le deuxième point solution, si "la droite donnée est assez longue", apparait en tracant le cercle de rayon CI, avec I le milieu de [AB].

invite2220c077 · 11/02/2008, 12h35

Décidémment ... bon non le cas particulier n'est pas bon, enfin la construction n'est pas bonne car on aurait l'angle droite au point A.

Bref là je n'ai pas le temps, j'y réfléchirais ce soir, ça ne doit pas être sorcier je pense.

invite2220c077 · 11/02/2008, 18h40

C'te fois-çi, c'est la bonne

Soit H le projeté de A sur (l).

Supposons que le cercle de diamètre [AB] coupe (l) en au moins un point.

Nous avons $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , et un tableau de variations nous indique que le minimum de f est atteint lorsque $\text{[math]}$ . Ainsi, le minimum de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , obtenu lorsque C = 90°.

Le point C est alors le(s) point(s) d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite (l).

Lorsque le cercle de diamètre [AB] ne coupe pas (l), alors on place le point C de sorte que le triangle ABC soit isoclèle en C. On va prouver que ce point est solution. Le cercle de diamètre [AB] est alors tangent en C à (l). Ainsi, pour tout point P € (l) différent de C, nous avons ^ACB > ^APB. Et puisque (l)//(AB), alors A(ABC) = A(ABP) <=> 1/2AC*BC*sin (ACB) = 1/2AB*AP*sin (APB), alors :

^APB < ^ACB <=> sin (APB) < sin (ACB) <=> 1/2AC*BC*sin (APB) < 1/2AC*BC*sin (ACB) = 1/2AB*AP*sin (APB) <=> AC*BC < AB*AP.

La conclusion en découle alors.

invite2220c077 · 11/02/2008, 18h53

Il fallait lire à chaque fois AP*BP
Aussi, dans al deuxième partie, il fallait aussi lire "cercle circonscrit à ABC est alors tangent en C" ...

Problème d'optimisation