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Problème avec la récurrrence

  1. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Problème avec la récurrrence

    Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je rencontre des difficultés. Pouvez -vous m'aider svp?
    Voila l'énoncé:

    Pour tout n appartenant a N*, on pose
    u(n)= 1+1/2+1/3+...+1/n
    v(n)= 1+ 1/2^2+...+1/n^2

    1)a)demontrer que pour tout entier n non nul
    U2n>Un+1/2
    b)demontrer par recurence sur l'entier k non nul la proposition P(k)"il existe au moins un entier n indice k tel que Un indice k>k.
    En déduire que la suite u est divergente.
    2)a)Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul,Vn inferieur ou égal à 2-1/n
    b) En deduire que la suite v est convergente

    Les question qui me pose problème sont surtout les deux premières mais je vous ait mis tous l'énoncé. Aidez moi svp
    Merci d'avance


     


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  2. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Pour la première question il faut exprimer U2n en fonction de Un puis minorer le terme qui correspond à U2n-Un.
     

  3. MiMoiMolette

    Date d'inscription
    septembre 2007
    Localisation
    Au bout d'une paire d'écouteurs
    Âge
    26
    Messages
    4 599

    Re : problème avec la récurrrence

    Plop,

    Pour la deuxième question, tu peux lire ça : http://forums.futura-sciences.com/thread201832.html

    Et pour la première question, une démonstration par récurrence devrait suffire ? =)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof
     

  4. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

    U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
    =1/2n
    or n>1
    donc 1/n<1
    soit 1/2n<1/2

    Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
    pouvez vous me dire mon erreur svp
     

  5. HirukoTheGoblin

    Date d'inscription
    février 2008
    Messages
    28

    Re : problème avec la récurrrence

    Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....
     


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  6. lostdemon

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    23
    Messages
    192

    Re : problème avec la récurrrence

    n>1 on multiplie par 1/2=>n/2>1/2

    ou bien... n>1, 1>1/n, 2>2/n , n/2>1/2
     

  7. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    Citation Envoyé par HirukoTheGoblin Voir le message
    Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....
    Oui il faut que le nombre soit différent de zéro. Mais je ne comprend pas votre remarque
     

  8. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    oui mais ce nest pas ce que je cherche puisque je cherche 1/(2n) superieur à 1/2
     

  9. lostdemon

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Âge
    23
    Messages
    192

    Re : problème avec la récurrrence

    Franchement fait une recurrence c'est plus simple ou bien

    n>1
    2n>2
    1/2n>1/2
     

  10. HirukoTheGoblin

    Date d'inscription
    février 2008
    Messages
    28

    Re : problème avec la récurrrence

    c'est vrai que le raisonnement par récurrence c'est encore ce qu'il y a de plus simple..


    Soit la propriété qui dit que

    1) Initialisation:

    On calcule On voit que ça marche ..

    2) Hérédité: On suppose que pour n donné est vrai .. etc.. et on démontre que est vrai aussi.



    et on conclut bien!
     

  11. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    Ben avec une récurrence je bloque aussi:

    Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
    Pour n=1 P1 est vraie

    Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
    Montrons que Pn+1 est vraie

    U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)
    =1/(2n)+1/(2(n+1))-1/(n+1)
    = 1/(2n) -1/(2(n+1))

    or par hypothèse de récurrence 1/(2n)>1/2

    Mais à partir de la je bloque je ne trouve pas comment arriver à montr que Pn+1 est vraie????
     

  12. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

    U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
    =1/2n
    or n>1
    donc 1/n<1
    soit 1/2n<1/2

    Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
    pouvez vous me dire mon erreur svp
    Attention, U2n-Un = 1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1) + ... +1/(2n) - (1 + 1/2 + ... +1/n), tu as oublié des termes.

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    Ben avec une récurrence je bloque aussi:

    Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
    Pour n=1 P1 est vraie

    Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
    Montrons que Pn+1 est vraie

    U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)
    Idem, il reste plus de termes que ça après la soustraction. (si tu veux utiliser l'hypothèse de récurrence il vaudrait mieux faire apparaître U2n et Un)
     

  13. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    Merci j'y suis arrivée mais j'ai encore un problème avec la question suivante pour P(k). Même avec l'aide qu'on m'a proposé je n'y arrive pas.

    Pouvez-vous m'aider svp?
     

  14. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
    3 590

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Je suppose que tu as montré p(0) ?

    Pour démontrer P(k+1) à partir de P(k) : on sait qu'il existe un nk tel Unk>k et on veut prouver qu'il existe nk+1 tel que . Le résultat de la question 1.a devrait être utile.
     

  15. wassou

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Messages
    86

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut merci pour l'aide mais je ne comprend toujours pas dsl.

    Pourquoi k+1= k+ 1/2+ 1/2 ? Et aussi je ne voit pa comment à partir de U2n on peut arriver à Un+1.
    J'ai tout essayé mais je bloque
     


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