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Problème avec la récurrrence

  1. #1
    wassou

    Problème avec la récurrrence

    Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je rencontre des difficultés. Pouvez -vous m'aider svp?
    Voila l'énoncé:

    Pour tout n appartenant a N*, on pose
    u(n)= 1+1/2+1/3+...+1/n
    v(n)= 1+ 1/2^2+...+1/n^2

    1)a)demontrer que pour tout entier n non nul
    U2n>Un+1/2
    b)demontrer par recurence sur l'entier k non nul la proposition P(k)"il existe au moins un entier n indice k tel que Un indice k>k.
    En déduire que la suite u est divergente.
    2)a)Démontrer par récurrence que pour tout entier n non nul,Vn inferieur ou égal à 2-1/n
    b) En deduire que la suite v est convergente

    Les question qui me pose problème sont surtout les deux premières mais je vous ait mis tous l'énoncé. Aidez moi svp
    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Pour la première question il faut exprimer U2n en fonction de Un puis minorer le terme qui correspond à U2n-Un.

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : problème avec la récurrrence

    Plop,

    Pour la deuxième question, tu peux lire ça : http://forums.futura-sciences.com/thread201832.html

    Et pour la première question, une démonstration par récurrence devrait suffire ? =)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

    U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
    =1/2n
    or n>1
    donc 1/n<1
    soit 1/2n<1/2

    Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
    pouvez vous me dire mon erreur svp

  6. #5
    HirukoTheGoblin

    Re : problème avec la récurrrence

    Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....

  7. #6
    lostdemon

    Re : problème avec la récurrrence

    n>1 on multiplie par 1/2=>n/2>1/2

    ou bien... n>1, 1>1/n, 2>2/n , n/2>1/2

  8. #7
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Citation Envoyé par HirukoTheGoblin Voir le message
    Il existe des conditions pour diviser par un nombre de chaque coté d'une inéquation.....
    Oui il faut que le nombre soit différent de zéro. Mais je ne comprend pas votre remarque

  9. #8
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    oui mais ce nest pas ce que je cherche puisque je cherche 1/(2n) superieur à 1/2

  10. #9
    lostdemon

    Re : problème avec la récurrrence

    Franchement fait une recurrence c'est plus simple ou bien

    n>1
    2n>2
    1/2n>1/2

  11. #10
    HirukoTheGoblin

    Re : problème avec la récurrrence

    c'est vrai que le raisonnement par récurrence c'est encore ce qu'il y a de plus simple..


    Soit la propriété qui dit que

    1) Initialisation:

    On calcule On voit que ça marche ..

    2) Hérédité: On suppose que pour n donné est vrai .. etc.. et on démontre que est vrai aussi.



    et on conclut bien!

  12. #11
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Ben avec une récurrence je bloque aussi:

    Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
    Pour n=1 P1 est vraie

    Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
    Montrons que Pn+1 est vraie

    U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)
    =1/(2n)+1/(2(n+1))-1/(n+1)
    = 1/(2n) -1/(2(n+1))

    or par hypothèse de récurrence 1/(2n)>1/2

    Mais à partir de la je bloque je ne trouve pas comment arriver à montr que Pn+1 est vraie????

  13. #12
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    merci pour votre aide mais quand je fais U2n-Un j'abouttis pas à ce que je cherche c'est surement une erreur de ma part???

    U2n-Un= 1+1/2+...+1/2n-(1+1/2+...+1/n)
    =1/2n
    or n>1
    donc 1/n<1
    soit 1/2n<1/2

    Mais normalement je dois trouver que ça doit être superieur à 1/2
    pouvez vous me dire mon erreur svp
    Attention, U2n-Un = 1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(n+1) + ... +1/(2n) - (1 + 1/2 + ... +1/n), tu as oublié des termes.

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    Ben avec une récurrence je bloque aussi:

    Soit Pn la proposition"U2n-Un>1/2"
    Pour n=1 P1 est vraie

    Hérédité: Supposons Pn vraie pour un certain entier n>1
    Montrons que Pn+1 est vraie

    U2n+1-Un+1=1+1/2+..+1/(2n)+1/(2(n+1))-(1+1/2+..+1/n+ 1/n+1)
    Idem, il reste plus de termes que ça après la soustraction. (si tu veux utiliser l'hypothèse de récurrence il vaudrait mieux faire apparaître U2n et Un)

  14. #13
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Merci j'y suis arrivée mais j'ai encore un problème avec la question suivante pour P(k). Même avec l'aide qu'on m'a proposé je n'y arrive pas.

    Pouvez-vous m'aider svp?

  15. #14
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut

    Je suppose que tu as montré p(0) ?

    Pour démontrer P(k+1) à partir de P(k) : on sait qu'il existe un nk tel Unk>k et on veut prouver qu'il existe nk+1 tel que . Le résultat de la question 1.a devrait être utile.

  16. #15
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut merci pour l'aide mais je ne comprend toujours pas dsl.

    Pourquoi k+1= k+ 1/2+ 1/2 ? Et aussi je ne voit pa comment à partir de U2n on peut arriver à Un+1.
    J'ai tout essayé mais je bloque

  17. #16
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Et aussi je ne voit pa comment à partir de U2n on peut arriver à Un+1.
    J'ai tout essayé mais je bloque
    Pourquoi revenir à Un+1 ? La propriété concerne l'indice k : on ne te demande pas de prouver que Unk+1 > k+1 mais que pour un certain nk+1, Unk+1>k+1, il n'y a, à priori, aucun rapport entre nk+1 et nk+1.
    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    Pourquoi k+1= k+ 1/2+ 1/2 ?
    Bah 1/2 + 1/2 = 1
    Si, partant de Unk>k, tu appliques deux fois de suite le résultat de la question 1.a, qu'obtiens-tu ?

  18. #17
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Ah wè!!!!

    Alors d'après l'hypothèse de récurrence
    Unk>k

    Or U2n >Un+ 1/2

    Soit U2n> k+ 1/2

    Mais en appliquent 2 fois de suite c'est pas possible de retrouver k+1

    ça me fais 2Un> 2K +1???

  19. #18
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    Mais en appliquent 2 fois de suite c'est pas possible de retrouver k+1
    Et pourquoi ça ne serait pas possible ?

    U4nk>U2nk+1/2=... sachant que U2nk>k+1/2.

  20. #19
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Donc si j'ai compris ça me fais:

    d'après l'hypothèse de récurrence

    Unk>k

    Or U2n >Un+ 1/2(1)

    Soit U2nk> k+ 1/2

    d'où en réutilisant (1) on obtient:

    U4nk>U2nk+1/2

    De plus U2nk>k+1/2.

    donc U4nk>k+1/2+1/2

    soit U4nk>k+1

    MAIS comment arriver à Unk+1>k+1??

  21. #20
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Ah oui aussi j'ai une autre question por l'initialisation on a
    pour k=1

    Un>1 et après cela veut dire quoi par rapport à la proposition?

    Et est-ce que vous pouvez me corriger la 2ème question aussi svp:

    Soit P(n) la propriété:" Vn<2- 1/n"

    Pour n=1 c'est vraie

    Hérédité:Supposons P(n) vraie Montrons que Pn+1 est vraie

    Vn+1=1+ 1/2^2+...+1/n^2+ 1/(n+1)^2

    soit Vn+1=Vn+ 1/(n+1)^2

    Or par hypothèse de récurrence Vn<2- 1/n

    d'où Vn+1< 2- 1/n + 1/(n+1)^2

    soit Vn+1< 2- {(n+1)^2 + n)}/ (n*(n+1)^2)

    Mais à partir de là je bloque si je developpe cela m'ammene à rien je n'arrive pas à Vn+1<2- 1/n+1

    Pouvez vous m'aider svp??

  22. #21
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    soit U4nk>k+1

    MAIS comment arriver à Unk+1>k+1??
    Hé bien en disant que nk+1=4nk. Tu cherchais un entier à partir duquel les termes de la suite sont plus grands que k+1 et tu en as trouvé un.

    Citation Envoyé par wassou Voir le message
    Ah oui aussi j'ai une autre question pour l'initialisation on a
    pour k=1

    Un>1 et après cela veut dire quoi par rapport à la proposition?
    Ça veut dire que n1 peut être n'importe quel entier puisque Un>1 pour tout n.
    d'où Vn+1< 2- 1/n + 1/(n+1)^2
    Je crois que le plus simple c'est de s'arrêter là. Comme on veut montrer Vn+1< 2- 1/(n+1), ça revient à montrer que 1/(n+1) > 1/n - 1/(n+1)2 ou encore que 1/n-1/(n+1)>1/(n+1)2 et là, en mettant les termes de gauche au même dénominateur, on s'aperçoit que c'est toujours vrai.

  23. #22
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    [Comme on veut montrer Vn+1< 2- 1/(n+1), ça revient à montrer que 1/(n+1) > 1/n - 1/(n+1)2 ou encore que 1/n-1/(n+1)>1/(n+1)2 et là, en mettant les termes de gauche au même dénominateur, on s'aperçoit que c'est toujours vrai.[/QUOTE]

    Désolé mais je ne comprend pas d'où sort ces inégalité et leur rappor avec Vn+1

  24. #23
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    En fait, je raisonne à l'envers, en partant du résultat, pour voir ce que l'on doit montrer :
    on voudrait déduire Vn+1< 2- 1/(n+1) de Vn+1< 2- 1/n + 1/(n+1)2 or, si on montre 1/(n+1) < 1/n - 1/(n+1)2, on pourra en tirer 2 - 1/(n+1) > 2 - 1/n + 1/(n+1)2 puis 2 - 1/(n+1) > Vn+1 qui est le résultat voulu.

  25. #24
    wassou

    Re : problème avec la récurrrence

    Salut c'est encoremoi merci pour tes éclaircissement mais quand j'essaye de montrer ce que tu m'a dit je tourne en rond je n'arrive pas au résultat voulu??? Mais je ne sais pas pourquoi, je bloque

    Pouvez-vous m'aidez svp?
    mERCI

  26. #25
    Flyingsquirrel

    Re : problème avec la récurrrence

    Tu peux le faire comme ça : puisque n < n+1.

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