Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans un cours sur les nombres complexes, on nous introduit toujours le fameux nombre i en précisant que i²=-1. Mais est-ce vraiment une hypothèse à la base de ?

En général, plutôt que de considérer comme l'ensemble des nombres s'écrivant de la forme a+ib avec , je préfère le rapprocher de .

Dans ce cas, i=(0;1), et on devrait avoir i²=(-1;0), mais pourquoi est-ce le cas ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

[Gaara]

Salut,

connais tu la notion d'isomorphisme ?

[GalaxieA440]

Moi je ne connais pas, mais je suis intéressé .

Pour ce qui est de l'ensemble C :
Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).

Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve

++

[invité576543]

Dans ce cas, i=(0;1), et on devrait avoir i²=(-1;0), mais pourquoi est-ce le cas ?

La notation i² est un raccourci de i*i, avec * la multiplication.

Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!

[et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]

Cordialement,

[Weensie]

Oui c'est ce qui est à l'origine de la construction des complexes .
et pour passer de i(0,1) à i²(-1,0) , c'est en effet un homomorphisme ( c'est je pense ce que voulait dire gaara)

[Seirios]

connais tu la notion d'isomorphisme ?

Oui

Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!

[et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]

Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?

[Seirios]

Pour ce qui est de l'ensemble C :
Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).

Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve

Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?

[Weensie]

Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?

Vive Gilles Costantini!

[Gaara]

Bon pour la première question :

(x,y) dans IR^2,




Il me semble que ce soit ça avec à moins que j'ai encore trop couru sous le soleil......





PFF LE LATEX DE **********

[Seirios]

Je ne le connaissais pas ce symbole (le \curvearrowright), qu'est-ce qu'il représente ?

[Gaara]

Notion d'isomorphisme..

[Electrofred]

Salut !

Comme l'a dit Galaxie, c'est avec les équations du 3ème degré qu'on a commencé à se demander s'il n'était pas légitime de manipuler des racines carrées de nombres négatifs, parce qu'en appliquant les règles de calcul usuelles à ces nombres "imaginaires", on retombait sur des résultats cohérents (cf le lien que tu as donné).

Ensuite, on a essayé de construire rigoureusement un tel ensemble plus général que les réels. On a alors commencé à parler de couples, on a défini l'addition et la multiplication, ... . Et en appliquant les règles ainsi définies, on s'est rendu compte que tout se comportait comme si nos couples (a;b) étaient en fait un nombre, noté a+bi qui suit les mêmes règles de calcul que les réels à la différence que i²=-1 (c'était ce qui était recherché), on a ainsi adopté cette notation.

Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?

Donc en fait c'est plutôt ce développement qui est une conséquence de la définition, bien qu'on se soit débrouillé en faisant les définitions pour arriver à celui-ci.

Edit : Ouhla, grillé en beauté

[Seirios]

Notion d'isomorphisme..

Je l'ai jamais vu Un lien ?

[invité576543]

Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?

Ce n'est pas une question de justification. On peut partir de la formule définissant la multiplication des couples, et démontrer que (0,1)*(0,1)=(-1,0), puis choisir d'appeler i le couple (0,1), etc.

Si j'ai les réels sous la main, je peux parler de couples de réels. C'est mon droit le plus strict de définir une opération sur les couples, d'en étudier les propriétés, montrer qu'elle a les propriétés compatibles avec ce que les humains attendent sous le mot "multiplication", etc.

Cordialement,

[doryphore]

Il existe effectivement une bijection entre R² et C, c'est celle qu'on utilise en Tale pour faire de la géométrie du plan à l'aide des nombres complexes.

MAis sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
Dans R², (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans C (0;1)x(0;-1) = (1;0)

Ceci est important car c'est pour celà que C est un corps tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.
En effet dans R², (0;1) n'a pas d'inverse : i.e. il n'existe pas d'élément (a;b) de R² tel que (0;1)x(a;b)=(1;0) l'élément neutre de R².

Dans C en revanche tout élément non nul admet un inverse : r exp(it) x r' exp(it') =1
ssi rr'=1 et t+t' = 0 +2k (pi)