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Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?



  1. #1
    Seirios

    Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Bonjour à tous,

    Dans un cours sur les nombres complexes, on nous introduit toujours le fameux nombre i en précisant que i²=-1. Mais est-ce vraiment une hypothèse à la base de ?

    En général, plutôt que de considérer comme l'ensemble des nombres s'écrivant de la forme a+ib avec , je préfère le rapprocher de .

    Dans ce cas, i=(0;1), et on devrait avoir i²=(-1;0), mais pourquoi est-ce le cas ?

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----

    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Salut,

    connais tu la notion d'isomorphisme ?
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  4. #3
    GalaxieA440

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Moi je ne connais pas, mais je suis intéressé .

    Pour ce qui est de l'ensemble C :
    Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).

    Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve

    ++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Dans ce cas, i=(0;1), et on devrait avoir i²=(-1;0), mais pourquoi est-ce le cas ?
    La notation i² est un raccourci de i*i, avec * la multiplication.

    Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!

    [et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]

    Cordialement,

  6. #5
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Oui c'est ce qui est à l'origine de la construction des complexes .
    et pour passer de i(0,1) à i²(-1,0) , c'est en effet un homomorphisme ( c'est je pense ce que voulait dire gaara)
    .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Gaara
    connais tu la notion d'isomorphisme ?
    Oui

    Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!

    [et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]
    Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par GalaxieA440
    Pour ce qui est de l'ensemble C :
    Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).

    Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve
    Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?
    Vive Gilles Costantini!
    .

  12. #9
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Bon pour la première question :

    (x,y) dans IR^2,




    Il me semble que ce soit ça avec à moins que j'ai encore trop couru sous le soleil......





    PFF LE LATEX DE **********
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  13. #10
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Je ne le connaissais pas ce symbole (le \curvearrowright), qu'est-ce qu'il représente ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #11
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Notion d'isomorphisme..
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  15. #12
    Electrofred

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Salut !

    Comme l'a dit Galaxie, c'est avec les équations du 3ème degré qu'on a commencé à se demander s'il n'était pas légitime de manipuler des racines carrées de nombres négatifs, parce qu'en appliquant les règles de calcul usuelles à ces nombres "imaginaires", on retombait sur des résultats cohérents (cf le lien que tu as donné).

    Ensuite, on a essayé de construire rigoureusement un tel ensemble plus général que les réels. On a alors commencé à parler de couples, on a défini l'addition et la multiplication, ... . Et en appliquant les règles ainsi définies, on s'est rendu compte que tout se comportait comme si nos couples (a;b) étaient en fait un nombre, noté a+bi qui suit les mêmes règles de calcul que les réels à la différence que i²=-1 (c'était ce qui était recherché), on a ainsi adopté cette notation.

    Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?
    Donc en fait c'est plutôt ce développement qui est une conséquence de la définition, bien qu'on se soit débrouillé en faisant les définitions pour arriver à celui-ci.

    Edit : Ouhla, grillé en beauté

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  17. #13
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Notion d'isomorphisme..
    Je l'ai jamais vu Un lien ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?
    Ce n'est pas une question de justification. On peut partir de la formule définissant la multiplication des couples, et démontrer que (0,1)*(0,1)=(-1,0), puis choisir d'appeler i le couple (0,1), etc.

    Si j'ai les réels sous la main, je peux parler de couples de réels. C'est mon droit le plus strict de définir une opération sur les couples, d'en étudier les propriétés, montrer qu'elle a les propriétés compatibles avec ce que les humains attendent sous le mot "multiplication", etc.

    Cordialement,

  19. #15
    doryphore

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Il existe effectivement une bijection entre R² et C, c'est celle qu'on utilise en Tale pour faire de la géométrie du plan à l'aide des nombres complexes.

    MAis sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
    Dans R², (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans C (0;1)x(0;-1) = (1;0)

    Ceci est important car c'est pour celà que C est un corps tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.
    En effet dans R², (0;1) n'a pas d'inverse : i.e. il n'existe pas d'élément (a;b) de R² tel que (0;1)x(a;b)=(1;0) l'élément neutre de R².

    Dans C en revanche tout élément non nul admet un inverse : r exp(it) x r' exp(it') =1
    ssi rr'=1 et t+t' = 0 +2k (pi)
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  20. #16
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Je l'ai jamais vu Un lien ?
    C'est un livre en anglais ^^

    xD
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  21. #17
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    exact michel(mmy) .
    Gaara définis moi ton isomorphisme .
    .

  22. #18
    doryphore

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Il y a autant d'isomorphismes que de structure. La seule définition commune est une définition qui ferait intervenir les foncteurs en théorie des catégories.
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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  24. #19
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    je ne parle aps de ca , je demande juste a gaara , quel est son isomorphisme dans la situation
    .

  25. #20
    doryphore

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    je ne parle aps de ca , je demande juste a gaara , quel est son isomorphisme dans la situation
    Il aurait pu se contenter d'une seule flèche ronde, celle du milieu et remplacer les autres par des =.

    En général, on évite d'écrire racine (-1) car, -1 a deux racines distinctes
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    MAis sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
    Dans R², (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans C (0;1)x(0;-1) = (1;0)

    Ceci est important car c'est pour celà que C est un corps tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.
    J'ai juste un problème de vocabulaire. J'aurais écrit:

    Mais sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
    Dans R² muni de la loi produit canonique, (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans R² muni de l'autre loi produit (0;1)x(0;-1) = (1;0)

    Ceci est important car c'est pour celà que R² muni de l'autre loi produit est un corps (isomorphe à C) tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.

    Avec, loi produit canonique (a,b)x(c,d)=(ab, cd) et "l'autre loi produit" (a,b)x(c,d)=(ab-cd, ad+bc)

    Question de goût, j'imagine?

    Cordialement,

  27. #22
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    je ne parle aps de ca , je demande juste a gaara , quel est son isomorphisme dans la situation
    R^2 et C

    c'est pourtant évident non ? je n'ai pas compris ta question si c'est pas çaaaaaaa d'ailleurs pourquoi n'es tu pas sur msn
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  28. #23
    Gaara

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    En fait j'ai pigé la question (merci Hamb) mais je ne vois pas quoi répondre..


    EDIT : f(x , y ) = x + i y (re merci hamb)
    Dernière modification par Gaara ; 06/07/2008 à 15h00.
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  29. #24
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    ah ok ! merci , c'est bijectif c'est super
    .

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  31. #25
    Médiat

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par doryphore Voir le message
    Il y a autant d'isomorphismes que de structure. La seule définition commune est une définition qui ferait intervenir les foncteurs en théorie des catégories.
    Pas tout à fait, en théorie des modèles on peut définir la notion d'isomorphisme de façon générique, mais, je le reconnaîs, avec moins d'élégance qu'avec les catégories (mais sans en avoir besoin lorsqu'elles n'amènent rien de spécial à un problème particulier).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Weensie

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    la théorie des catégories , est disons nettement plus efficace .
    .

  33. #27
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Gaara Voir le message
    Finalement, qu'est-ce que cette flèche ronde ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  34. #28
    Coincoin

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Phys2, sais-tu ce qu'est une bijection ? (Je pense que oui, mais autant s'en assurer car ça fait un très bon point de départ).
    Encore une victoire de Canard !

  35. #29
    Seirios

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Phys2, sais-tu ce qu'est une bijection ? (Je pense que oui, mais autant s'en assurer car ça fait un très bon point de départ).
    Tout à fait.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  36. #30
    Gwyddon

    Re : Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    la théorie des catégories , est disons nettement plus efficace .
    Permets moi de douter que tu saches de quoi tu parles

    Pour phys2 :

    Comprends-tu pourquoi la première flèche est une bijection ?

    Après pour que l'on parle d'isomorphisme, il faut regarder si les structures algébriques sont conservées.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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