Bonjour à tous,
Dans un cours sur les nombres complexes, on nous introduit toujours le fameux nombre i en précisant que i²=-1. Mais est-ce vraiment une hypothèse à la base de?
En général, plutôt que de considérer
Dans ce cas, i=(0;1), et on devrait avoir i²=(-1;0), mais pourquoi est-ce le cas ?
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,
connais tu la notion d'isomorphisme ?
Moi je ne connais pas, mais je suis intéressé.
Pour ce qui est de l'ensemble C :
Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).
Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve
++
La notation i² est un raccourci de i*i, avec * la multiplication.Envoyé par Phys2
Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!
[et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]
Cordialement,
Oui c'est ce qui est à l'origine de la construction des complexes .
et pour passer de i(0,1) à i²(-1,0) , c'est en effet un homomorphisme ( c'est je pense ce que voulait dire gaara)
Oui
Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?Suffit de trouver et définir une multiplication qui marche, c'est tout!
[et il en a une, c'est (a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc) ]
If your method does not solve the problem, change the problem.
Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?Pour ce qui est de l'ensemble C :
Certaines solutions d'équation de degré 3 faisaient intervenir des racines négatives il me semble, qui par la suite se supprimaient, d'où la question : peut on manipuler ces notations "qui ne veulent rien dire" ? Et donc, on en est arrivé à la définition de C, en fait un ensemble contenant R (comme à chaque fois qu'on définit un plus grand ensemble).
Mais je risque d'avoir raconté un peu n'importe quoi, c'est une introduction que j'avais lu il y a longtemps et qu'il faudrait que je retrouve
If your method does not solve the problem, change the problem.
Vive Gilles Costantini!Ce ne serait pas ici par hasard : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...ers/CoursT.htm ?
Bon pour la première question :
(x,y) dans IR^2,
Il me semble que ce soit ça avec
PFF LE LATEX DE **********
Je ne le connaissais pas ce symbole (le \curvearrowright), qu'est-ce qu'il représente ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Notion d'isomorphisme..
Salut !
Comme l'a dit Galaxie, c'est avec les équations du 3ème degré qu'on a commencé à se demander s'il n'était pas légitime de manipuler des racines carrées de nombres négatifs, parce qu'en appliquant les règles de calcul usuelles à ces nombres "imaginaires", on retombait sur des résultats cohérents (cf le lien que tu as donné).
Ensuite, on a essayé de construire rigoureusement un tel ensemble plus général que les réels. On a alors commencé à parler de couples, on a défini l'addition et la multiplication, ... . Et en appliquant les règles ainsi définies, on s'est rendu compte que tout se comportait comme si nos couples (a;b) étaient en fait un nombre, noté a+bi qui suit les mêmes règles de calcul que les réels à la différence que i²=-1 (c'était ce qui était recherché), on a ainsi adopté cette notation.
Donc en fait c'est plutôt ce développement qui est une conséquence de la définition, bien qu'on se soit débrouillé en faisant les définitions pour arriver à celui-ci.Pour moi, cette définition était une conséquence du développement de (a+ib)(c+id) en prenant i²=-1, à moins qu'il y ait une autre manière de le justifier ?
Edit : Ouhla, grillé en beauté
Je l'ai jamais vuNotion d'isomorphisme..Un lien ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Ce n'est pas une question de justification. On peut partir de la formule définissant la multiplication des couples, et démontrer que (0,1)*(0,1)=(-1,0), puis choisir d'appeler i le couple (0,1), etc.
Si j'ai les réels sous la main, je peux parler de couples de réels. C'est mon droit le plus strict de définir une opération sur les couples, d'en étudier les propriétés, montrer qu'elle a les propriétés compatibles avec ce que les humains attendent sous le mot "multiplication", etc.
Cordialement,
Il existe effectivement une bijection entre R² et C, c'est celle qu'on utilise en Tale pour faire de la géométrie du plan à l'aide des nombres complexes.
MAis sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
Dans R², (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans C (0;1)x(0;-1) = (1;0)
Ceci est important car c'est pour celà que C est un corps tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.
En effet dans R², (0;1) n'a pas d'inverse : i.e. il n'existe pas d'élément (a;b) de R² tel que (0;1)x(a;b)=(1;0) l'élément neutre de R².
Dans C en revanche tout élément non nul admet un inverse : r exp(it) x r' exp(it') =1
ssi rr'=1 et t+t' = 0 +2k (pi)
C'est un livre en anglais ^^Je l'ai jamais vu
xD
exact michel(mmy) .
Gaara définis moi ton isomorphisme .
Il y a autant d'isomorphismes que de structure. La seule définition commune est une définition qui ferait intervenir les foncteurs en théorie des catégories.
je ne parle aps de ca , je demande juste a gaara , quel est son isomorphisme dans la situation
Il aurait pu se contenter d'une seule flèche ronde, celle du milieu et remplacer les autres par des =.
En général, on évite d'écrire racine (-1) car, -1 a deux racines distinctes
J'ai juste un problème de vocabulaire. J'aurais écrit:
Mais sur le plan algébrique, il existe une grande différence.
Dans R² muni de la loi produit canonique, (0;1)x(0;-1) = (0;-1) alors que dans R² muni de l'autre loi produit (0;1)x(0;-1) = (1;0)
Ceci est important car c'est pour celà que R² muni de l'autre loi produit est un corps (isomorphe à C) tandis que R² muni de la loi produit canonique n'en est pas un.
Avec, loi produit canonique (a,b)x(c,d)=(ab, cd) et "l'autre loi produit" (a,b)x(c,d)=(ab-cd, ad+bc)
Question de goût, j'imagine?
Cordialement,
R^2 et C
c'est pourtant évident non ? je n'ai pas compris ta question si c'est pas çaaaaaaa d'ailleurs pourquoi n'es tu pas sur msn
En fait j'ai pigé la question (merci Hamb) mais je ne vois pas quoi répondre..
EDIT : f(x , y ) = x + i y (re merci hamb)
ah ok ! merci , c'est bijectif c'est super
Pas tout à fait, en théorie des modèles on peut définir la notion d'isomorphisme de façon générique, mais, je le reconnaîs, avec moins d'élégance qu'avec les catégories (mais sans en avoir besoin lorsqu'elles n'amènent rien de spécial à un problème particulier).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
la théorie des catégories , est disons nettement plus efficace .
Finalement, qu'est-ce que cette flèche ronde ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Phys2, sais-tu ce qu'est une bijection ? (Je pense que oui, mais autant s'en assurer car ça fait un très bon point de départ).
Tout à fait.Phys2, sais-tu ce qu'est une bijection ? (Je pense que oui, mais autant s'en assurer car ça fait un très bon point de départ).
If your method does not solve the problem, change the problem.
Permets moi de douter que tu saches de quoi tu parles
Pour phys2 :
Comprends-tu pourquoi la première flèche est une bijection ?
Après pour que l'on parle d'isomorphisme, il faut regarder si les structures algébriques sont conservées.
