Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

[invitec1242683]

Excusez moi ,
-----

[invite0c5534f5]

Mince j'ai raté ce topic, pas grave.
Moi j'ai une autre question sur les complexes.
On peut positionner les complexes sur une troisième axe coupant celui des réels (l'axe des imaginaires pures).
Mais pourquoi avoir défini un i plutôt qu'avoir inventé un troisième signe? Comme le signe plus "+" ou le moins "-"

[Seirios]

Mais pourquoi avoir défini un i plutôt qu'avoir inventé un troisième signe? Comme le signe plus "+" ou le moins "-"

Cela reviendrait au même. On pourrait écrire *3 à la place de 3i, et un complexe s'écrirait a*b, mais quoi qu'il en soit, on garderait la notion de couple (a,b).

[invite0c5534f5]

Cela reviendrait au même. On pourrait écrire *3 à la place de 3i, et un complexe s'écrirait a*b, mais quoi qu'il en soit, on garderait la notion de couple (a,b).

Mais là tu admets que *=i, non?

[Seirios]

Non, ici * est le signe que tu mentionnes, donc l'égalité n'a pas vraiment de sens. Le signe serait pour distinguer un nombre réel d'un nombre imaginaire.

[invite0c5534f5]

Donc je ne comprend pas ce que tu dis.
Puis qu'alors a*b ne serait pas un nombre mais une opération entre a et b.
Donc les complexes s'écriraient simplement "*a", plus de couple!

[invite1237a629]

Mince j'ai raté ce topic, pas grave.
Moi j'ai une autre question sur les complexes.
On peut positionner les complexes sur une troisième axe coupant celui des réels (l'axe des imaginaires pures).
Mais pourquoi avoir défini un i plutôt qu'avoir inventé un troisième signe? Comme le signe plus "+" ou le moins "-"

Un troisième axe ?
Je vois l'axe des réels et celui des imaginaires, mais après... ?

Donc je ne comprend pas ce que tu dis.
Puis qu'alors a*b ne serait pas un nombre mais une opération entre a et b.
Donc les complexes s'écriraient simplement "*a", plus de couple!

* représente par convention la multiplication. Si j'ai bien compris où Phys2 veut en venir, c'est que ça peut aussi représenter une opération entre deux éléments, e.g. de (a et b dans R cela veut dire).
Et tu peux très bien dire que tu veux que a*b=a+ib.


Si tu veux écrire *a, ok, mais ça représente quoi exactement ?

[invitedc979455]

Il y a autant d'isomorphismes que de structure. La seule définition commune est une définition qui ferait intervenir les foncteurs en théorie des catégories.

oh mon Dieu, on est parti de i pour arriver à la théorie des catégories : pour les intéressés, lire Récoltes et Semailles d'Alexander Grothendieck

sinon, on peut construire "simplement" - naturellement - le corps de complexes
avec des notions d'algèbre linéaire en faisant appel aux quaternions
un exercice accessible aux maths sup' et aux L1

vous pouvez aussi montrer que les cors des réels et des complexes sont isomorphes, comme cela a été expliqué précédemment, en précisant l'isomorphisme
on peut déduire à peu près toutes les propriétés algébriques connues à partir de là

[invitedc979455]

Mince j'ai raté ce topic, pas grave.
Moi j'ai une autre question sur les complexes.
On peut positionner les complexes sur une troisième axe coupant celui des réels (l'axe des imaginaires pures).
Mais pourquoi avoir défini un i plutôt qu'avoir inventé un troisième signe? Comme le signe plus "+" ou le moins "-"

tu ne peux pas définir le corps de complexes comme la réunion des réels et des imaginaires purs, comme on pourrait le penser , d'après ton intuition
le corps des complexes n' est pas totalement ordonné, contrairement au corps de réels : on ne peut pas comparer deux complexes, c'est évident
le corps des complexes contient le corps des réels par plongement de ce dernier dans le corps des complexes,

le plan dont tu parles dit -abusivement- plan complexe, ou plan d'Argand-Cauchy, permet de projeter les complexes
c'est un juste une histoire de représentabilité géométrique des complexes utile dans de nombreuses situations

[invitedc979455]

Mince j'ai raté ce topic, pas grave.
Moi j'ai une autre question sur les complexes.
On peut positionner les complexes sur une troisième axe coupant celui des réels (l'axe des imaginaires pures).
Mais pourquoi avoir défini un i plutôt qu'avoir inventé un troisième signe? Comme le signe plus "+" ou le moins "-"

bon je paraphrase Gwyddon , après relecture du fil , toutes mes excuses, peut-être juste un peu de rigorisme en vue

i a été introduit pour pouvoir déterminer les racines d'équations polynômiales de degré trois (formules de Cardan), puis de tous les degrés (théorème fondamental de l'algèbre)
on dit que i a été choisi canoniquement ( non naturellement )
puis avec le développement de l'algèbre, on a su intégrer le corps des complexes dans une théorie constructiviste des ensembles

remarque : ton troisième axe me paraît douteux, le corps de complexes a une structure de C-espace vectoriel de dimension 1(droite infinie) et une structure de R-espace vectoriel de dimension 2(plan), mais dans quel corps aurait-il une structure d'espace vectoriel de dimension 3 ?

[invite0c5534f5]

Ok, merci pour vos réponses.
Mais là on sort du domaine de mes connaissances mathématiques, on en reparle quand j'aurais fait ma L1

[invitedc979455]

remarque : ton troisième axe me paraît douteux, le corps de complexes a une structure de C-espace vectoriel de dimension 1(droite infinie) et une structure de R-espace vectoriel de dimension 2(plan), mais dans quel corps aurait-il une structure d'espace vectoriel de dimension 3 ?

si si , j'insiste, on peut démontrer l'existence d'un tel corps,
allez, des partants ?

[invitedc979455]

Oui gwyddon , mais je croyais que c'était ( chronologiquement parlant) les solutions de x²+1=0

non, Gwyddon avait raison :

à titre d'exercice, discutez du nombre de solutions de l'équation
x^3 + px + q = 0, où p et q sont des réels

c'est accessible aux bacheliers, ça ne prend pas tellement de temps, allez

[invitec1242683]

hehe , un classique menant aux solutions de Cardano .

[invitec1242683]

si si , j'insiste, on peut démontrer l'existence d'un tel corps,
allez, des partants ?

Ca c'est une question qui mérite réflexion

[Médiat]

vous pouvez aussi montrer que les cors des réels et des complexes sont isomorphes

le corps des complexes n' est pas totalement ordonné, contrairement au corps de réels

C'est pas un peu contradictoire, ces deux affirmations ?

mais dans quel corps aurait-il une structure d'espace vectoriel de dimension 3 ?
si si , j'insiste, on peut démontrer l'existence d'un tel corps,

Il me semblait que Hamilton avait justement démontré le contraire, me trompè-je ?

[invitec1242683]

C'est pas un peu contradictoire, ces deux affirmations ?

A vrai dire j'en sais rien du tout .
Je crois que deux corps , dans le cas de R et de C sont isomorphes car ils ne sont distingués que par un isomorphisme (définition) , mais l'introduction de i supprime toute relation d'ordre .
Mais je me demande s'il n'y a pas des petits problèmes dès lors que l'on parle de deux corps isomorphes , l'un étant l'extension algébrique de l'autre.

[invité576543]

A vrai dire j'en sais rien du tout .
Je crois que deux corps , dans le cas de R et de C sont isomorphes car ils ne sont distingués que par un isomorphisme (définition) , mais l'introduction de i supprime toute relation d'ordre .
Mais je me demande s'il n'y a pas des petits problèmes dès lors que l'on parle de deux corps isomorphes , l'un étant l'extension algébrique de l'autre.

Isomorphisme veut dire en gros "bijection conservant la structure".

Si on parle de deux corps isomorphes, implicitement la structure qui doit être conservée est la structure de corps, autrement dit la bijection doit respecter l'addition et la multiplication.

Prenons R et C.

L'image de 0 doit être 0, et l'image de 1 doit être 1, parce que les éléments neutres sont uniques.

Par respect de l'opposé, l'image de -1 (l'opposé additif de l'élément neutre de la multiplication) est -1.

Quelle peut être l'image de i ? Par conservation de la multiplication, l'image du carré de l'image de i doit être l'image du carré de i, donc -1. Autrement dit, l'image de i dans R doit avoir pour carré -1. Or aucun réel ne convient. Ce qui montre l'absence d'isomorphisme de corps entre R et C.

Ce n'est que le squelette d'une démonstration propre, mais ça montre l'idée, et surtout, cela peut aider à vérifier s'il n'y a pas une divergence de compréhension sur le mot "isomorphe".

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Au passage, le problème de l'ordre sur C n'est pas qu'il ne peut pas exister (on peut par exemple introduire l'ordre lexicographique), mais qu'on ne peut trouver un ordre qui respecte la multiplication (à cause justement du nombre i, fondamentalement..)

[invitec1242683]

OK , donc la phrase d'andréwarusfel n'est pas si inexacte
Enfin je crois ..
^^

[Médiat]

OK , donc la phrase d'andréwarusfel n'est pas si inexacte
Enfin je crois ..
^^

En tout état de cause la formule :

est vraie dans , pas dans donc ces deux corps ne peuvent être isomorphes.

Je précise que la relation d'ordre naturelle sur est définissable avec (+ et x) dans , donc existererait aussi dans s'ils étaient isomorphes.

[invitedc979455]

Au passage, le problème de l'ordre sur C n'est pas qu'il ne peut pas exister (on peut par exemple introduire l'ordre lexicographique), mais qu'on ne peut trouver un ordre qui respecte la multiplication (à cause justement du nombre i, fondamentalement..)

un autre exercice, sur l'ordre lexicographique
oui, donc pour être précis au sens de Cartan :

il n'existe aucun ordre total compatible avec la structure de corps de l'ensemble des nombres complexes

mais n'empêche, allez, cherchez tous au moins un exemple de corps tel que le corps des complexes est de dimension 3, il y en a un
au lieu de parler d'isomorphisme entre R et C ou entre R² et C, construisez donc les diagrammes commutatifs correspondants en précisant l'isomorphisme

[invitedc979455]

En tout état de cause la formule :

est vraie dans , pas dans donc ces deux corps ne peuvent être isomorphes.

Je précise que la relation d'ordre naturelle sur est définissable avec (+ et x) dans , donc existererait aussi dans s'ils étaient isomorphes.

oui tout à fait, on définit donc le corps des complexes comme la clôture algébrique du corps de réels par adjonction de racines

donc, rigoureusement, R et C ne sont pas isomorphes : en fait, si on suit la construction de C par la méthode des quaternions ou tout simplement par des matrices de similitude, on peut montrer que le corps de réels est isomorphe, rigoureusement, à un sous-corps de C

par contre, R² et C sont rigoureusement isomorphes : il suffit de tracer le diagramme commutatif canonique

[Médiat]

rigoureusement, R et C ne sont pas isomorphes

Je ne vois pas bien l'intérêt de l'adverbe rigoureusement (qui est supposé modifier ce qui le suit) : IR et IC ne sont pas isomorphes (ils ne sont même pas élémentairement équivalents).

R² et C sont rigoureusement isomorphes

Pour être rigoureux, il faudrait préciser les structures respectives (qui n'est pas franchement naturelle sur IR²), pour être isomorphes, des ensembles n'ont besoin que d'être de même cardinal.

[invitedc979455]

Je ne vois pas bien l'intérêt de l'adverbe rigoureusement (qui est supposé modifier ce qui le suit) : IR et IC ne sont pas isomorphes (ils ne sont même pas élémentairement équivalents).

ben, tout le monde est d'accord : C est une extension algébrique de R, et c'est d'ailleurs l'unique corps algébriquement clos
il existe des automorphismes ( qui sont des isomorphismes ) dans C : comme C contient R, on peut trouver un automorphisme dans un sous-corps de C qui soit le corps des réels
on peut étudier la nature du morphisme, composée de l'homomorphisme f de R dans R² et de l'isomorphisme g de R² dans C
effectivement, R et C ne sont pas isomorphes

Pour être rigoureux, il faudrait préciser les structures respectives (qui n'est pas franchement naturelle sur IR²), pour être isomorphes, des ensembles n'ont besoin que d'être de même cardinal.

(R²,+,.) et C sont rigoureusement isomorphes : c'est même de cette manière que l'on a fait une des premières constructions de C
il suffit d'étudier de tracer le diagramme commutatif canonique de R² à C ou de C à R², comme je le disais tout à l'heure

[invite9c9b9968]

(R²,+,.) et C sont rigoureusement isomorphes : c'est même de cette manière que l'on a fait une des premières constructions de C
il suffit d'étudier de tracer le diagramme commutatif canonique de R² à C ou de C à R², comme je le disais tout à l'heure

Tant que tu ne définis pas rigoureusement ce que tu entends par la multiplication sur , ta phrase n'est pas rigoureuse... (oui c'est du chipotage, mais puisque on en est à ce niveau de la discussion, autant chipoter jusqu'au bout).

En effet, la multiplication qui permet cet isomorphisme (de structure, aussi bien vectorielle qu'algébrique) n'est pas la multiplication canonique sur

[invitedc979455]

Tant que tu ne définis pas rigoureusement ce que tu entends par la multiplication sur , ta phrase n'est pas rigoureuse... (oui c'est du chipotage, mais puisque on en est à ce niveau de la discussion, autant chipoter jusqu'au bout).

En effet, la multiplication qui permet cet isomorphisme (de structure, aussi bien vectorielle qu'algébrique) n'est pas la multiplication canonique sur

bon, ok, on est d'accord, c'est clair :
il suffit de faire (x,y)*(x',y') et (x+iy)*(x'+iy') pour s'apercevoir que l'on n'obtient pas la même chose
tout dépend encore de quel * on parle, hein ?
donc oui, on est d'accord, il faut préciser les structures (en tant que corps ou espace vectoriel )

[Médiat]

c'est d'ailleurs l'unique corps algébriquement clos

C'est faux

(R²,+,.) et C sont rigoureusement isomorphes : c'est même de cette manière que l'on a fait une des premières constructions de C
il suffit d'étudier de tracer le diagramme commutatif canonique de R² à C ou de C à R², comme je le disais tout à l'heure

Le problème, c'est que si IC(+, .) a du sens pour tout le monde ces deux opérations étant les opérations "naturelles" sur C, en revanche pour IR(+, .) la deuxième opération est rigoureusement non naturelle et nécessite absolument d'être définie, donc avant de dire "il suffit ...", il faut définir correctement ce dont on parle, sinon, point de rigueur.

Edit : Grillé par Gwyddon

[invite9c9b9968]

C'est faux

En effet ; par contre c'est le plus petit sur-corps de algébriquement clos il me semble non ?

[invitedc979455]

C'est faux

il y a quoi comme autre clôture algébrique de R alors ?