Pourquoi le carré du nombre imaginaire est-il égal à -1 ?

[Seirios]

La première flèche ronde signifie que la fonction est une bijection ?

Dans ce cas là, oui je comprends. La seule bijection qui ne me paraît pas évidente est celle du milieu. Je vais essayer d'y réfléchir.
-----

[Weensie]

Je te permets de douter autant que tu veux , le doute permet d'établir ensuite des vérités imparables . Cependant , sache aussi qu'il ne me viendrait à l'esprit d'affirmer l'efficacité de telle ou telle théorie si je n'en avais une connaissance solide . Certes , connaissance de base , mais savoir quand même.

[Weensie]

Celle du milieu indique la simple commutativité du corps C : racine de -1 étant i , soit un réel k , ki=ik .

[invite8ef897e4]

Je te permets de douter autant que tu veux , le doute permet d'établir ensuite des vérités imparables . Cependant , sache aussi qu'il ne me viendrait à l'esprit d'affirmer l'efficacité de telle ou telle théorie si je n'en avais une connaissance solide . Certes , connaissance de base , mais savoir quand même.

Ah ben j'aimerais bien savoir a quoi tu as applique la theorie des categories Sincerement, ca m'interesse, dans quel contexte l'as-tu etudiee, pourquoi donc est-elle si efficace. J'ai comme le sentiment que c'est un outil certes tres puissant mais plutot trop general, a moins de faire des choses d'un niveau assez pousse (genre s'appeler Grothendieck)

[invite8ef897e4]

Sinon, dans le contexte de cette discussion, je n'ai pas vu mention du theoreme de d'Alembert-Gauss. Si n'etait pas algebriquement clos, on pourrait se demander pourquoi cet unique addition du nombre complexe i en tant que solution de est si importante. Ou encore, pourquoi ne pas introduire un autre nombre complexe disons solution de

[Coincoin]

Tout à fait.

Alors tu connais la moitié de ce qu'est un isomorphisme : le "iso" veut dire bijectif. Reste plus que "morphisme".
Un morphisme est une application qui a le bon goût de garder la structure de groupe. Si j'ai un groupe (G,+) et un groupe (E,*) alors un morphisme f vérifie f(x+y)=f(x)*g(y) pour tout x et y dans G. Par exemple pour les complexes et R², si j'associe 1 à (1,0) et i à (0,1) alors je dois associer 2i à (0,2) et 1+i à (1,1).

Bref, pour revenir au sujet de départ, l'idée des complexes est simplement de rajouter une dimension aux réels, donc de trouver un truc isomorphe à R². On aurait plus prendre une racine non-réelle de , mais on a préféré prendre choisir x²=-1.

On peut continuer à essayer d'ajouter des dimensions, mais on se rend compte que ça ne marche pas avec 3. À la fin du XIXe siècle, Hamilton a proposé les quaternions qui sont un groupe isomorphe ) R^4. Pour cela, il faut introduire j et k et abandonner la commutativité.

Et comme l'a dit Humanino, tout l'intérêt de rajouter une 2e dimension, et d'avoir une solution pour n'importe quelle équation, ce qui n'était pas dans R. C'est pour ça que les complexes sont si utiles (alors que les quaternions sont rarement utilisés directement).

[invité576543]

A vous lire, on pourrait croire que les mathématiciens se sont dit, "tiens il des équations de R sans solutions, je vais ajouter une dimension pour pallier à ça".

Ce n'est pas exactement comme ça. Il se trouve qu'il existe une structure à la fois espace vectoriel de dimension 2 sur R, corps, et qui est algébriquement clos en tant que corps. Et on en profite. (Et on appelle ce machin C.)

Je ne pense pas que ce soit un principe général, que "ajouter une dimension" à un corps quelconque permette de faire un corps algébriquement clos. Si c'est vrai pour Q je serais surpris. C'est peut-être vrai pour Z/2Z ou Z/5Z et autres, mais j'ai des doutes. Et la liste est loin d'être finie.

Cordialement,

[invite8ef897e4]

Je ne pense pas que ce soit un principe général, que "ajouter une dimension" à un corps quelconque permette de faire un corps algébriquement clos. Si c'est vrai pour Q je serais surpris. C'est peut-être vrai pour Z/2Z ou Z/5Z et autres, mais j'ai des doutes. Et la liste est loin d'être finie.

Je serais interesse qu'un mathematicien commente la-dessus. De memoire, avec les quaternions on perd la commutativite, et avec les octonions on perd (?) l'associativite, avec les sedenions (?) on perd l'alternativite (?), bref on tombe rapidement dans des difficultes insurmontables non ?

edit
The Octonions (John C. Baez )

[Weensie]

Ah ben j'aimerais bien savoir a quoi tu as applique la theorie des categories Sincerement, ca m'interesse, dans quel contexte l'as-tu etudiee, pourquoi donc est-elle si efficace. J'ai comme le sentiment que c'est un outil certes tres puissant mais plutot trop general, a moins de faire des choses d'un niveau assez pousse (genre s'appeler Grothendieck)

Je te remercie de me comparer à Alexandre Grothendieck .
Sache qu'à mon niveau d'études et à mon âge , on n'a pas tellement le temps d'étudier cela à haut niveau . Cependant j'avais regardé et étudié la théorie des catégories dans le cadre de la catégorie des groupes abéliens appliqués à la géométrie

[invite8ef897e4]

Sache qu'à mon niveau d'études et à mon âge , on n'a pas tellement le temps d'étudier cela à haut niveau.

Generalement, le temps que l'on peut allouer a des "recreations" au-dela de ses responsabilites diminue avec l'age. Donc, en master, tu auras moins de temps pour etudier le clair de Lune monstrueux qui tu n'auras de temps au lycee pour etudier les algebres de Lie ou les formes modulaires. A mediter, parce que je comprend pas trop ta reponse "on n'a pas le temps"...

[inviteaffd5918]

bonjour

Je ne pense pas que ce soit un principe général, que "ajouter une dimension" à un corps quelconque permette de faire un corps algébriquement clos. Si c'est vrai pour Q je serais surpris. C'est peut-être vrai pour Z/2Z ou Z/5Z et autres, mais j'ai des doutes. Et la liste est loin d'être finie.
Cordialement,

en général, pour en faire un corps algébriquement clos, on rajoute la cloture algébrique de ce corps. il se trouve que la cloture algébrique de R est C qui a une dimension de plus que R en tant que R espace vectoriel. pour Q c'est Q barre (désolé, je ne connais pas le latex, Q avec une barre dessus!!!) qui est l'ensemble formé de Q et de tous les nombres algébriques sur Q ie qui sont racines d'un polynome à coefficients dans Q.
pour ce qui est des extensions de corps, la théorie de Galois est très bien faite.

[Médiat]

Je serais interesse qu'un mathematicien commente la-dessus.

J'usurpe le titre, mais je peux quand même dire :
Le corps des nombres algébrique (la clôture algébrique de ) est de dimension infinie sur .
Un corps algébriquement clos ne peut être fini (donc la clôture algébrique d'un corps fini ne peut être de dimension finie comme espace vectoriel sur ce corps).
Par contre l'idée de "rajouter une dimension" est plus courante que ne le laisse penser l'intervention de mmy (mais je suis d'accord avec le fond de son intervention, ajouter une dimension n'est pas la finalité, d'autant plus que ce n'est pas la structure d'espace vectoriel qui est fondamentale ici) : Hamilton a longtemps cherché un corps qui serait de dimension 3 sur , donc en ajoutant une dimension à . Et puis pour , par exemple, une extension algébrique comme est bien obtenue en ajoutant une dimension (mais n'est pas algébriquement clos).

Et tu as oublié les trigintaduonions .

[invite8ef897e4]

Et tu as oublié les trigintaduonions .

Non, je ne connaissais pas, et je ne suis pas sur de retenir le nom !

[Médiat]

je ne suis pas sur de retenir le nom !

Qui veut juste dire 32

[invite8ef897e4]

Qui veut juste dire 32

En deux heures, ils etaient deja devenus "tringatidunions"
si, regardez bien, c'est pas pareil... meme pas honte
Si l'on m'explique l'ethymologie, j'ai une chance de pouvoir faire le malin en societe.
quoi que, d'ici a ce qu'ils verifient, ils penseront que ce sont eux qui ont oublie

[Seirios]

On peut voir triginta qui vient du latin (trente) : http://fr.wiktionary.org/wiki/triginta, plus le "duo", on obtient bien 32

[Seirios]

Donc si j'ai bien compris, les mathématiciens se sont aperçus que devenait algébriquement clos avec une dimension supplémentaire (ce qui n'est pas une vérité générale, comme le souligne mmy), ce qui avait l'avantage d'induire au moins une solution pour toute équation polynomiale de degré au moins égal à un. Puis on a pris la convention commode de pose (0;1) comme solution (positive) de l'équation x²=-1, et que l'on note i ; on en déduit également les règles d'addition et de multiplication sur .

C'est bien cela ?

[Médiat]

On peut voir triginta qui vient du latin (trente) : http://fr.wiktionary.org/wiki/triginta, plus le "duo", on obtient bien 32

Je n'ai aucune information sur les sexagintaquatronion

[Médiat]

C'est bien cela ?

Oui (mais pas historiquement).

Pour bien comprendre ce qui se passe, le même genre de construction peut se faire avec :
L'équation x² = 2 n'a pas de solution dans , en construisant , on obtient un corps où cette équation à une solution (mais n'est pas algébriquement clos), les éléments de ce nouveau corps peuvent être "vus" comme les nombres de la forme a + b (avec a et b des rationnels), ou comme , avec (0, 1) identifié à , je te laisse deviner tout seul pourquoi la deuxième écriture (un couple) à moins d'intérêt que dans le cas des nombres complexes.

[invité576543]

Donc si j'ai bien compris, les mathématiciens se sont aperçus que devenait algébriquement clos avec une dimension supplémentaire (ce qui n'est pas une vérité générale, comme le souligne mmy), ce qui avait l'avantage d'induire au moins une solution pour toute équation polynomiale de degré au moins égal à un. Puis on a pris la convention commode de pose (0;1) comme solution (positive) de l'équation x²=-1, et que l'on note i ; on en déduit également les règles d'addition et de multiplication sur .

C'est bien cela ?

La manière dont tu le présentes reste quelque peu génante.

L'expression " devenait algébriquement clos avec une dimension supplémentaire" n'est pas vraiment acceptable. n'est pas clos et ne peut pas le devenir.

Ensuite, pour "poser" un couple de réel comme solution de x²+1=0, il faut définir la notion de carré pour un couple. On pourrait comprendre ta question comme s'il est suffisant de poser (0,1)²=-1 pour définir la multiplication sur les couples. Non, mais peut-être oui avec quelqu'autres hypothèse "évidentes".

Ca doit marcher avec les hypothèses suivantes, ou quelque chose comme ça:

- on se place dans R² comme espace vectoriel sur R
- (1,0) est élément neutre pour la multiplication
- la multiplication est distributive par rapport à l'addition
- et [a(x, y)](z,t)= a [(x,y)(z,t)] (s'il y a un nom pour ça il ne me vient pas à l'esprit, sorte d'associativité entre la multiplication entre couples et la multiplication par un scalaire)

Sinon, le fait que x²+1=0 ait une solution "induisent au moins une solution pour toute équation polynomiale de degré au moins égal à un" n'est pas un résultat immédiat! Effectivement, dans R tout polynôme se factorise en un produit de polynomes de degré au maximum 2 (résultat non trivial, il me semble). Reste à montrer que si x²+1=0 a une solution alors tout polynôme de degré 2 a une solution (plus facile, il me semble)...

Cordialement,

[Gwyddon]

Historiquement, les nombres imaginaires ont été introduits pour rendre compte de solutions réelles d'équations polynomiales de degré 3 obtenus par la méthode de Cardan.

[Weensie]

Oui gwyddon , mais je croyais que c'était ( chronologiquement parlant) les solutions de x²+1=0

[invite1237a629]

Tiens ? Je pensais qu'historiquement, on avait défini le nombre imaginaire comme ?

[invité576543]

Tout ça, c'est un peu pareil, non?

Le premier besoin de mettre en place un système de calcul avec un nombre de carré -1 a été, historiquement, pour le calcul formel d'une racine d'équation du troisième degré, si vous préférez.

Cordialement,

[Gwyddon]

Oui gwyddon , mais je croyais que c'était ( chronologiquement parlant) les solutions de x²+1=0

Non, car le besoin de donner des solutions à une telle équation n'apparaissait pas (ça ne gêne pas de dire que cette équation n'a pas de solution réelle).

mmy reprend ce que je dis, je vais développer un peu

Le premier besoin de mettre en place un système de calcul avec un nombre de carré -1 a été, historiquement, pour le calcul formel d'une racine d'équation du troisième degré, si vous préférez.

Il s'est avéré que lorsque l'on a développé la méthode de résolution formelle des équations du 3e degré (méthode de Cardan, de façon générique), il y avait certaines équations dont on connaissait par ailleurs les solutions réelles et dont l'écriture selon cette méthode faisait apparaître les fameux dont MiMoiMolette parlait.

Exemple :

Au début les gens ont été perplexes et avaient un peu de mal à accepter l'existence de cette écriture de ces solutions réelles.

Puis peu à peu leur utilisation est rentrée dans les habitudes des mathématiciens, et d'autres ont ensuite travaillé le concept (Gauss notamment) et on a abouti à la notion de nombre complexe générale avec

[Seirios]

Pour bien comprendre ce qui se passe, le même genre de construction peut se faire avec :
L'équation x² = 2 n'a pas de solution dans , en construisant , on obtient un corps où cette équation à une solution (mais n'est pas algébriquement clos), les éléments de ce nouveau corps peuvent être "vus" comme les nombres de la forme a + b (avec a et b des rationnels), ou comme , avec (0, 1) identifié à , je te laisse deviner tout seul pourquoi la deuxième écriture (un couple) à moins d'intérêt que dans le cas des nombres complexes.

Dans le cas de , l'intérêt est de trouver un corps algébriquement clos, mais dans les cas où les corps construits, comme , ne sont pas algébriquement clos, où est l'intérêt ?

[Médiat]

Dans le cas de , l'intérêt est de trouver un corps algébriquement clos, mais dans les cas où les corps construits, comme , ne sont pas algébriquement clos, où est l'intérêt ?

D'un point de vue pratique, l'étude de ses extensions algébriques (il y a beaucoup de littérature sur le sujet, dont Galois) donne pas mal de renseignements sur un corps.
D'un point de vue pratique ces extensions donnent un bon cadre (entre autres) pour l'étude de certaines équations diophantiennes (dans le cas précédents, les équations de la forme x² - 2y² = k, par exemple.
On peut faire la même manipulation avec des anneaux : en particulier les entiers de Gauss(i).

Ah, j'allais oublier l'intérêt majeur : satisfaire sa curiosité scientifique

[Weensie]

Ce qui est interessant cest de trouver la difference entre le corps des entiers de gauss et le corps des complexes

[invité576543]

Ce qui est interessant cest de trouver la difference entre le corps des entiers de gauss et le corps des complexes

Corps des entiers de Gauss

Cdlt,

[Gwyddon]

Ah tiens moi non plus je ne savais pas que l'anneau des entiers de Gauss était aussi un corps