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Pourquoi moins fois moins égal plus ?




  1. #1
    ijnuhbygv

    Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Salut.

    Il est facile de trouver la démonstration de cette propriété de la multiplication, toutefois plutôt que de l'apprendre par coeur, auriez-vous une petite explication qui permettrait d'y associer un peu de compréhension ?

    En espérant que vous avez des réponses je vous remercie par avance ^^

    -----


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  3. #2
    Seirios

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Bonjour,

    Tu peux peut-être regarder ici : http://villemin.gerard.free.fr/Calcu...o/mmegplus.htm
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par ijnuhbygv Voir le message
    Salut.

    Il est facile de trouver la démonstration de cette propriété de la multiplication, toutefois plutôt que de l'apprendre par coeur, auriez-vous une petite explication qui permettrait d'y associer un peu de compréhension ?

    En espérant que vous avez des réponses je vous remercie par avance ^^
    Imagine que tu te déplaces sur une route à la vitesse V et que tu décides d'aller 2 fois plus vite, tu iras à la vitesse 2 V. Aller à la vitesse -2V c'est aller 2 fois plus vite mais dans l'autre sens. Tu vois alors que si tu inverses 2 fois en multipliant ta vitesse par -2 puis par -3 tu iras 6 fois plus vite mais tu seras de nouveau dans le même sens.


  5. #4
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Merci pour les réponses.

    Jeanpaul ton exemple me gêne un peu.
    Prenons une route et que je caractérise la vitesse d'un véhicule par un (+) ou (-) selon le sens ou il roule.

    Si j'ai un véhicule qui roule à -2km/h et si je veux augmenter sa vitesse j'ai deux possibilités, l'augmenter dans le sens où il évolue, c'est à dire (-) ou l'augmenter dans le sens (+).

    Pourquoi est-ce dans le cas où vous augmentez sa vitesse par deux dans le sens (-) vous multipliez par +2 et non par -2 ? Ca revient à prendre un référentiel des signes différents pour la multiplication.

  6. #5
    Seirios

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Pourquoi est-ce dans le cas où vous augmentez sa vitesse par deux dans le sens (-) vous multipliez par +2 et non par -2 ? Ca revient à prendre un référentiel des signes différents pour la multiplication.
    Dans ce cas, le signe moins signifie que l'on change le sens du déplacement. Donc multiplier par -2 reviendrait à dire que l'on change le sens du déplacement, puis que l'on augmente la vitesse à deux fois celle qu'elle avait précédemment.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Dans ce cas, le signe moins signifie que l'on change le sens du déplacement.
    Est-ce conventionnel de le considérer ainsi ?



    J'ai essayé de comparer ce qui se passerait si on le percevait de l'autre manière, ça donnerait :

    (-)*(-)=(-)
    (+)*(+)=(+)
    (-)*(+)=(+)
    (+)*(-)=(-)

    Apparemment on perd la commutativité mais ce ne serait pas contradictoire avec la définition de la multiplication dans la théorie des ensembles (?).

  9. #7
    CM63

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    L'explication d'Hervé Bazin est très mauvaise : les ennemis de mes ennemis ne sont pas forcément mes amis.

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  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    La multiplication des nombres réels repose sur l'image des vecteurs(d'où mon exemple). Il en va de même avec les nombres complexes. Si on part d'un nombre réel x et qu'on multiplie par a le produit ax a pour image un vecteur dont la longueur est |a|.|x| et dont le sens dépend du signe de a.
    Si tu veux imaginer un système différent, pourquoi pas ? Ca peut donner des choses intéressantes mais tu perdras l'interprétation géométrique qui est la base de toutes les mathématiques.

  12. #9
    CM63

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par ijnuhbygv Voir le message
    Salut.

    Il est facile de trouver la démonstration de cette propriété de la multiplication, toutefois plutôt que de l'apprendre par coeur, auriez-vous une petite explication qui permettrait d'y associer un peu de compréhension ?

    En espérant que vous avez des réponses je vous remercie par avance ^^
    Qu'est-ce tu appelles "associer un peu de compréhension", si ce n'est donner une démonstration?

  13. #10
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Ok merci.

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Qu'est-ce tu appelles "associer un peu de compréhension", si ce n'est donner une démonstration?
    Obtenir une explication qui utilise un raisonnement suffisamment simple pour que je puisse comprendre la logique

  14. #11
    CM63

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Donc ce serait une justification de "- par - égal +", car sinon, tous les exemples qu'on peut te donnner ne sont que des façons différentes de faire la démonstration. Je cherche cette justification .

  15. #12
    MMu

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Par définition est le nombre qui additionné avec donne : .
    Pareil, est le nombre qui additionné avec donne , et d'après ce que l'on vient de voir c'est ...

  16. #13
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par MMu Voir le message
    Par définition est le nombre qui additionné avec donne : .
    Pareil, est le nombre qui additionné avec donne , et d'après ce que l'on vient de voir c'est ...
    Tu ne peux pas déduire sinon tu utilises la propriété que tu veux démontrer
    Dernière modification par ijnuhbygv ; 28/04/2008 à 03h16.

  17. #14
    MMu

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par ijnuhbygv Voir le message
    Tu ne peux pas déduire sinon tu utilises la propriété que tu veux démontrer
    Non , mais il me semblait qu'on voulait juste montrer , qui a lieu dans tout groupe noté de façon additive .
    Ton histoire est un peu plus compliquée et se passe dans un anneau unitaire :
    ..

  18. #15
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    D'accord ça confirme que ce n'est pas une convention (j'ai douté un moment ^^)

    Quand on regarde l'ensemble des entiers relatifs comme un ensemble symétrique, j'ai du mal à voir pourquoi les éléments à droite du zéro vont se comporter différemment des éléments qui leurs sont symétriques à gauche du zéro.

  19. #16
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par ijnuhbygv Voir le message

    Quand on regarde l'ensemble des entiers relatifs comme un ensemble symétrique, j'ai du mal à voir pourquoi les éléments à droite du zéro vont se comporter différemment des éléments qui leurs sont symétriques à gauche du zéro sous la multiplication.
    petite correction

  20. #17
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Quelques temps après, je remonte voir si ça inspire quelqu'un

  21. #18
    jsboutin

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Prenons l'explication la plus simple:


    Il faut que je fasse fois -1 à -1...je l'envoie donc de l'autre côté de zéro dans une ligne imaginaire contenant tous les nombres... Multiplier, c'est comme si je faisais une homothétie de rapport (a est ce par quoi on multiplie...) à ce nombre en prenant pour point 0 l'origine du plan cartésien...en supposant que tous les nombres soient placés sur l'axe des x...

    ex:

    L'exposant i signifiant image de...
    P=(-3,0)





    Coordonnées point image (produit): (6,0) donc la réponse est 6

    En utilisant l'axe des x, on prend la valeur x du couple (x,y), avec l'axe des y, le y.

    Je sens que la structure du texte précédent laisse à désirer, mais en relisant quelques fois, vous devriez comprendre...Dites-le si vous ne voyez pas, je sais que je ne suis pas très pédagogue.
    Dernière modification par jsboutin ; 30/05/2008 à 01h47.

  22. #19
    ijnuhbygv

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Merci pour la réponse.

    Oui j'ai compris l'explication Ca revient à expliquer par les vecteurs, en considérant les nombres relatifs comme des grandeurs orientées. Multiplier par moins c'est retourner de 180°.

  23. #20
    CM63

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Il y a une explication extrêmement simple :
    - si on admet que de changer le signe de l'un des facteurs change le signe du résultat,
    - alors si on change le signe de l'autre (facteur) ça va rechanger le signe du résultat, donc ça va le remettre positif.

  24. #21
    jsboutin

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Il y a une explication extrêmement simple :
    - si on admet que de changer le signe de l'un des facteurs change le signe du résultat,
    - alors si on change le signe de l'autre (facteur) ça va rechanger le signe du résultat, donc ça va le remettre positif.
    En fait, sa question est de savoir pourquoi ça change les signes, et ta réponse est que c'est: "Parce que ça change les signes"...

    jsboutin

  25. #22
    CM63

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Non, je ne pense pas que sa question soit "pourquoi le signe change?". Je ne pense pas qu'il soit étonné que le résultat soit négatif si l'un des deux nombres est négatif. Il est seulement étonné du fait que le résultat est positif lorsque les deux nombres sont négatifs.

  26. #23
    Belibaste

    Wink Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    C'est simple
    Explication plus cartésienne que mathématique.

    on pose
    (-a) X (+b) = -ab

    (-a) X (-b) = + ab ---> Si le résultat avait été -ab
    on l'égalité suivante

    (-a) X (+b) = (-a) X (-b) ce qui n'est pas une égalité

    Elémentaire mon cher watson

  27. #24
    hhh86

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    (-a)(-b)=(-1)*(-1)ab
    Raisonnons par l'absurde et supposons (-1)*(-1)≠1
    -1≠0 donc on a (-1)≠1/(-1)
    <==>-1≠-1
    Ce qui est absurde
    On a donc (-1)*(-1)=1
    D'où (-a)(-b)=ab

  28. #25
    vincenteam2

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Citation Envoyé par Belibaste Voir le message
    C'est simple
    Explication plus cartésienne que mathématique.

    on pose
    (-a) X (+b) = -ab

    (-a) X (-b) = + ab ---> Si le résultat avait été -ab
    on l'égalité suivante

    (-a) X (+b) = (-a) X (-b) ce qui n'est pas une égalité

    Elémentaire mon cher watson
    Bonjour,

    Je ne suis ni mathématicien, ni historien des mathématiques mais je pense qu'il y a au moins 2 bonnes raisons qui expliquent que "moins par moins donne plus".
    Dans les messages précédents, il y a plusieurs réponses qui ne font que reformuler "parce que moins par moins donne plus" sans apporter de réelle explication palpable.

    Pour moi la raison numéro 1 à cette règle est que la multiplication n'a qu'un seul but, celui de rendre plus rapide et plus efficace le système des "additions-soustractions". En d'autres termes, les règles de multiplication ne sont qu'une retranscription abstraite mais diablement efficace des règles d'addition-soustraction.

    Ainsi, 3x3 correspond à 0+3+3+3 soit +9.
    De même, 3x(-3) vaut 0+(-3)+(-3)+(-3) ou 0-(+3)-(+3)-(+3) selon l'interprétation. Le résultat est dans tous les cas -9.
    Dans la multiplication de base, il y a 2 termes. Le signe "-" devant un des termes indique que l'on va soustraire de zéro autant de fois qu'indiquer par le terme, la valeur de l'autre terme (cf exemple ci-dessus).

    Dans ces conditions, que donne "-3x-5" ?
    Soit on considère que l'on mulplie "-3 fois" la valeur "-5", autrement dit, que l'on soustrait 3 fois "-5" de zéro.

    Cela donne 0-(-5)-(-5)-(-5)=+15.

    Soit on considère que l'on mulplie "-5 fois" la valeur "-3", autrement dit, que l'on soustrait 5 fois "-3" de zéro.

    Cela donne 0-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)=+15.

    Une des conséquences de cette approche est que "moins par moins donne toujours plus".
    J'espère que mon explication est claire et convaincante.

    L'autre bonne raison (mais qui découle de la première) est celle donnée plus haut par "Belibaste"sous forme de démonstation par l'absurde. Si "moins par moins donnait moins, alors on aurai "axb = -(axb)" quelle que soit la valeur de axb, ce qui est inacceptable dans notre système mathématique".

  29. #26
    Theyggdrazil

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Les ami(e)s de mes amis sont mes ami(e)s.
    Les ennemi(e)s de mes ami(e)s sont mes ennemi(e)s.
    Les ami(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.
    Les ennemi(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.
    Dernière modification par Theyggdrazil ; 03/10/2010 à 09h43. Motif: En fait je viens de voir que ce moyen mnémotechnique est cité dans le premier lien qui a été donné, désolé :>
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  30. #27
    pi-r2

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    Moyen mnémotechnique mais hélas très faux en vrai
    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    Les ami(e)s de mes amis sont mes ami(e)s.
    Ben pas tous, franchement il y en a qui basculent facilement à ennemis...

    Citation Envoyé par Theyggdrazil Voir le message
    Les ennemi(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.
    Là aussi, des fois laisser deux ennemis s'affaiblir l'un contre l'autre permet ensuite de se débarrasser des deux...

    Conclusion: la géopolitique ou les relations humaines ne sont pas aussi limpides que l'arithmétique
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  31. #28
    zitoune44

    Re : Pourquoi moins fois moins égal plus ?

    bonjour,
    je me demande si j'ai le droit de dire ça mathématiquement:

    casseur de télé : casse 2 télés
    réparateur de télé: répare 2 télés

    1 réparateur arrive au stock de télés( il y en a en état de marche et d'autres non)
    1 * 2 = +2télés

    le réparateur qui devait venir est malade
    -1 * 2 = -2télés

    1 casseur de télés arrive au stock
    1 * -2 = -2télés

    un casseur de télés qui devait venir est malade
    -1 * -2=+2télés

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