Factorisation (identités) (du) (3ème degré)

[FreakyFlow]

Bonjour,

Je me demande si nous autres étudiants de 1S sommes censés savoir reconnaitre et mettre en facteur une expression du 3ème degré, en identités remarquable du 3ème degré.

Loin de moi d'être fainéant mais la calculatrice me donne en 1sec ce que je cherche pendant 30min.

Par exemple : P(x) = -2x^3+3x²+2 avec x =2
factorisée sous la forme d'une identités remarquable du 3ème degré donne : (x-2)(x-1)(-2x-3).
Moi de tête je trouve (3-2x)x²+2.

Comment pourrais-je voir d'un coup d'œil que c'est une identité remarquable plutôt qu'un coefficient indéterminé? (Si des gens on une bonne méthode qui marche à coup sûr, je suis preneur. Euh simple la méthode svp).

J'y est réfléchis durant plus d'une heure et tous ce que j'en retiens c'est un long processus fastidieux. Le genre de procédé que je n'oserai entamer en interro, tellement il me bouffe du temps.

Voila, c'est le chapitre des polynômes du second degré.

Merci par avance

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Premier point l'expression que tu trouves n'est pas une forme factorisée du polynôme. En effet, qui dit facteurs dit (à part La Poste ) produit(s) et là, eh bien ce n'est pas le cas.

Il faut chercher après ce qu'on appelle des racines évidentes.
Le principe est simple. A partir du polynôme de départ, on essaie différentes valeurs "simples" - on entend par "simples", les valeurs 0, 1, 2, -1 et -2.
On peut aller au-delà mais bon, c'est moins simple côté calcul.
Si cette valeur vérifie l'équation, c'est une racine. Notons-la x1.
A partir de là, le polynôme est factorisable par (x-x1).
Tu peux dans la foulée essayer d'autres racines évidentes (qui ne risque rien n'a rien ).
Si ça bloque et que tu obtiens un polynôme du second degré, tu peux passer par le calcul du discriminant...
And so on...

A partir de l'exemple proposé, -2x³+3x²+2, il y a un bug (et il n'y a pas de racine évidente)...
Cela ne donne pas ce que tu as écrit par la suite...
La forme développée qui correspond est -2x³+3x²+5x-6

Et que signifie "avec x=2" ?

Cordialement,
Duke.

[FreakyFlow]

Bonjour,

Alors je vais t'énoncer l'exercice dont je parle pour mieux te situer.

Déterminer si le réel est racine du polynôme P.

Dans l'affirmative, chercher une factorisation de P(x) par la méthode des coefficients indéterminés ou à l'aide d'une identité.

P(x) = -2x+3x²+5x-6 et =2

Je trouve P(2)=0.
C'est donc affirmatif, je dois maintenant le factoriser soit par la méthode des coefficients indéterminés soit à l'aide d'une identité remarquable(énoncé).
Je factorise de tête c'est simple on peut l'écrire ainsi (3-2x)x²+2.

Seulement lorsque je factorise dans ma calculatrice l'expression initiale, elle me sort une expression encore plus belle que la mienne c'est (x-2)(x-1)(-2x-3). Splendide, là je veux savoir comment faire sans elle.
Je remonte donc en partant de cette dernière expression afin d'observer par quel chemin je pourrai passer pour le faire de tête mais c'est lourd en effet dans la distribution il y des valeurs à soustraire d'autres à additionner, on sait pas directement quel signe mettre, bref on avance pas certain.

Après avoir essayé de le refaire sans le mémoriser je galère, d'où je me demande si pour ce genre d'exo je serai avantagé pour la suite de mes études si je sais le faire à la main et s'il existe une méthode efficace, peut être un système à poser ou autre?
Les factorisations ça parait difficile au premier abord mais quand on sais les manier sa rend de grand service et puis sa va vite.

Ps:Je précise que je n'ai pas de professeur à mes cotés, étudiant les mathématiques pour ma culture personnelle.

Cordialement.

[Duke Alchemist]

Re-

Eh bien aux fautes d'énoncé du premier post, on est bien d'accord... enfin je crois
Je ne connais pas "la méthode des coefficients indéterminés"... en tout cas pas sous ce nom là

Voici, ce que je te propose
Libre à toi de l'utiliser ou pas par la suite

P(x) = -2x³ + 3x² + 5x - 6
P(2) = 0 (2 racine (évidente) du polynôme)
Donc, on peut factoriser P(x) par (x-2)

D'où P(x) = (x-2)(ax²+bx+c) = ax³+(b-2a)x²+(c-2a)x -2c
Tu identifies les coefficients avec l'expression initiale de P(x) et tu obtiens un système à trois inconnues. Ici :
a = -2
b-2a = 3
c-2b = 5
-2c = -6

d'où : a=-2, c=3 et b=-1
Ainsi P(x) = (x-2)(-2x² - x +3)

On vois dans le polynôme du second degré entre parenthèses que 1 est racine évidente donc on peut factoriser par (x-1).
Si ça ne saute pas aux yeux, passe par le calcul du discriminant.
L'autre racine est -3/2.
et on trouve donc P(x) = (x-2)(x-1)(-2x-3)

Est-ce clair pour toi ?

Duke.

[physikaddict]

Re-

Eh bien aux fautes d'énoncé du premier post, on est bien d'accord... enfin je crois
Je ne connais pas "la méthode des coefficients indéterminés"... en tout cas pas sous ce nom là

Voici, ce que je te propose
Libre à toi de l'utiliser ou pas par la suite

P(x) = -2x³ + 3x² + 5x - 6
P(2) = 0 (2 racine (évidente) du polynôme)
Donc, on peut factoriser P(x) par (x-2)

D'où P(x) = (x-2)(ax²+bx+c) = ax³+(b-2a)x²+(c-2a)x -2c
Tu identifies les coefficients avec l'expression initiale de P(x) et tu obtiens un système à trois inconnues. Ici :
a = -2
b-2a = 3
c-2b = 5
-2c = -6

d'où : a=-2, c=3 et b=-1
Ainsi P(x) = (x-2)(-2x² - x +3)

On vois dans le polynôme du second degré entre parenthèses que 1 est racine évidente donc on peut factoriser par (x-1).
Si ça ne saute pas aux yeux, passe par le calcul du discriminant.
L'autre racine est -3/2.
et on trouve donc P(x) = (x-2)(x-1)(-2x-3)

Est-ce clair pour toi ?

Duke.

Bonsoir,

Il s'agit de la méthode enseignée en 1ere S.
(Je ne sais pas si FreakyFlow la connait, vu que je n'ai pas très bien compris son "statut" élève ? etc...)

Cdlt.

[FreakyFlow]

Bonjour,

Et bien oui, tout est maintenant clair.
C'est une très bonne méthode, je l'ai utilisé pour d'autres exercices et finalement je n'ai pas su l'appliquer pour celui ci.

En fait si je comprends bien, qu'elle que soit la racine évidente donnée, ici, on peut factoriser par (x-)(ax+bx+c) si et seulement si c'est une identité remarquable de degré 3. Si la racine n'est pas donnée on la recherche. Alors la méthode du (x-) ou (x+) démarre de cette façon avec racine évidente.

Après surement que pour des degrés n>3 on utilise une identité remarquable de degré n>3 et il restera à poser son système?

Dans tous les cas, je te remercie Duke Alchemist pour ce soutien Merci

Il s'agit de la méthode enseignée en 1ere S.
(Je ne sais pas si FreakyFlow la connait, vu que je n'ai pas très bien compris son "statut" élève ? etc...)

Je suis étudiant mais pas élève. Je n'ai ni maitre ni établissement. J'étudie les mathématiques du secondaires pour ma culture générale.

Cordialement

[physikaddict]

Bonjour,

Et bien oui, tout est maintenant clair.
C'est une très bonne méthode, je l'ai utilisé pour d'autres exercices et finalement je n'ai pas su l'appliquer pour celui ci.

En fait si je comprends bien, qu'elle que soit la racine évidente donnée, ici, on peut factoriser par (x-)(ax+bx+c) si et seulement si c'est une identité remarquable de degré 3. Si la racine n'est pas donnée on la recherche. Alors la méthode du (x-) ou (x+) démarre de cette façon avec racine évidente.

Après surement que pour des degrés n>3 on utilise une identité remarquable de degré n>3 et il restera à poser son système?

C'est ça.

Je suis étudiant mais pas élève. Je n'ai ni maitre ni établissement. J'étudie les mathématiques du secondaires pour ma culture générale.

Cordialement

Alors bon courage à toi, je te félicite de ton initiative.

Etant moi même en 1ereS, si je peux t'aider, n'hésites pas. Sinon, tu as toujours ce bon vieux forum pour t'apporter des réponses.

@+