0.99999 est il égal à 0 ??

[invite3cb2ea45]

Bonsoir à tous,
Tout d'abord je tiens à m'excuser car je sais que cette question à déjà était posée, je l'ai vu sur un sujet mais qui datait d'il y a déjà quelques mois et dont je n'ai pas tout compris .
C'est pourquoi je vais vous la reposer (encore désolé )
0.99999=1 ??
On m'a fait cette démonstration
1/3 = 0.3333
3/3=0.99999=1
J'y ai répondu que si 0.9999=1
on a alors -1*(10^-infini) = 0 (désolé pour la puissance infini barbare )
Or on sait que la multiplication de deux nombres non nuls n'est pas égale à 0
Donc apparemment 0.9999 = 1 est faux, mais le nombre qui séparerai 0.9999 et 1 équivaudrait à 10^-infini ??
Encore une fois désolé mais la question me turlupine et j'aimerais pouvoir poser des questions si je ne comprend pas
Merci beaucoup d'avance! (et merci de votre compréhension )
-----

[Tryss]

êcrire n'a, a priori, pas de sens.

Si c'est une notation pour écrire (ce qui serrai la définition la plus censée), alors , tout simplement

[invite3cb2ea45]

J'ai pas encore vu les limites :s (c'est bien ça dont tu parles?? )
Du coup j'ai pas encore le niveaux.... mais j'entendais par 10^-infini quelque chose qui ressemblerai à 0.000.....1, avec une infinité de 0 entre la virgule et le 1 (toujours désolé pour le vocabulaire un peu pauvre)

[RoBeRTo-BeNDeR]

Une petite réponse simple:

Soit x et y deux réels alors si x et y distincts alors on a une infinité de nombre entre x et y.
Peut on écrire un seul réel entre 0.9999999... et 1 ? Si non par contraposé ils sont égaux. (la Contraposée de "si x et y distincts alors on a une infinité de nombre entre x et y" est la même propriété! mais qui s'écrit "si il n'existe pas de réel entre x et y alors x=y" )

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[b@z66]

0.9999... est un nombre qui se définit en étant celui qui tend vers 1 tout en lui étant légèrement inférieur. Toutefois, du fait même de la simple définition de ce nombre qui se base uniquement par rapport au seul nombre 1, ce nombre n'est au fond rien d'autre que 1 pour moi.

[invite3cb2ea45]

Bon je sens que je vais raconter des horreurs dont la plupart des mathématiciens s'horrifieraient (petite touche d'humour avant la catastrophe...)
Mais pour moi 0.999999 est un nombre infiniment précis : un 9 succède à un autre 9 etc... mais si on considère un nombre tout aussi précis, ici ça serait 0.000...1, alors on peut l'intercaler entre 0.999999 et 1, non?

[invite3cb2ea45]

Désolé b@z66, j'ai écrit pendant que tu postais ton message! Euh mais s'il se définit comme lui étant légèrement inférieur, il ne l'ai pas? J'ai pas comprit la nuance entre être définit par un nombre et lui être égal (2 c'est 1+1 non? (oula encore une belle bêtise je sens))

[b@z66]

Désolé b@z66, j'ai écrit pendant que tu postais ton message! Euh mais s'il se définit comme lui étant légèrement inférieur, il ne l'ai pas? J'ai pas comprit la nuance entre être définit par un nombre et lui être égal (2 c'est 1+1 non? (oula encore une belle bêtise je sens))

Du seul fait qu'il se définisse par rapport au seul nombre 1 sans faire appel à des opérations mathématiques compliqué, ce nombre est 1. Il n'y a rien d'autre à dire(le restant, je dirais, c'est chercher la (infinie)petite bête pour rien du tout). De même si tu considères que tu peux insérer d'autres nombres entre 0.9999... et 1, c'est qu'au fond tu n'aurais pas défini 0.999... par rapport à 1(ce qui l'est pourtant dans sa définition) et donc là 0.9999...999 ne serait effectivement plus égal à 1 puisque plus défini exactement par rapport à lui.

[invite3cb2ea45]

Au niveau de la première démonstration (celle de mon premier message) j'avais aussi relevé une "anomalie" :
si on considère que 1/3 = 0.3333333...
et que 3/3 = 0.9999999...
On a multiplié par 3 chacun des 3 composant 0.333333, on a donc ajouté 2 fois 0.33333... à 0.33333...
Si on ajoute 2.2222... à 0.99999..., on obtient 3.222...1
avec 2.2222... = 20/9
Or (3/3) + (20/9) = 29/9 = 3.222222....
3.22222 et 3.222....1 sont différents
Donc 20/9 n'est pas tout a fait égal à 2.2222...
et 1/3 n'est pas tout a fait égal à 0.3333...
Je ne vois pas mon erreur, mais pourtant ces calculs me parassent un peu suspects ... je demande de l'aide aux Scherlocks Holmes des maths

[invite3cb2ea45]

Encore désolé j'ai encore posté pendant ton post b@z66,
Donc en fait ça dépend un peu des conventions non? Parce que du coup ça donne l'impression que sa définition est 0.99999 = 1 , donc 0.999 = 1

[b@z66]

Encore désolé j'ai encore posté pendant ton post b@z66,
Donc en fait ça dépend un peu des conventions non? Parce que du coup ça donne l'impression que sa définition est 0.99999 = 1 , donc 0.999 = 1

Non, non...

J'ai bien écrit 0.999...=1.

Les 3 petits points expliquent tout.

[invite3cb2ea45]

J'ai oublié de les mettre t'as raisons
Mais en fait je crois pas que ça réponde à ma question (ou alors il y a quelque chose qui cloche dans mon cerveau ce soir et je vais devoir aller dormir)
Quand on définit 0.99... par rapport à 1, le seul moyen de le définir par rapport à lui c'est 0.99.... = 1
Mais au final on dit que c'est égal à 1 parce qu'on l'a définit comme ça : donc la question que je me pose (et qui va faire de moi un mec super lourd ) pourquoi on a définit 0.99... = 1 ??

[fiatlux]

Salut,

Bon, je viens ajouter ma petite touche:
Même si tu n'as pas vu les limites, c'est bien avec la notion de limite qu'on peut comprendre que 0.999999... est égal à 1. De la même façon que 2 droites parallèles se rejoignent en l'infini. Ca peut te perturber si tu n'as pas vu les limites, mais c'est comme ça. Imagine qu'on y aille itérativement: on part de 0.9 et on ajoute à chaque pas la moitié de la différence avec 1:
1) 1 - 0.9 = 0.1, la moitié de 0.1 = 0.05, 0.9 + 0.05 = 0.95
2) 1- 0.95 = 0.05, la moitié de 0.05 = 0.025, 0.95 + 0.025 = 0.975
3) 1 - 0.975 = 0.025, etc...
Appelons , etc. Et appelons ,etc... Donc on vient de voir que:
1)
2)
3)
etc.
En continuant on se rend compte que :
n)

Plus n grandit, plus tend vers 0.9999999.... et plus tend vers 0. Quand "n=infini" (ce qui n'a aucun sens mathématiquement), on a bien , autrement dit 1-0.9999999999... = 0, autrement dit 1=0.9999999999...

[b@z66]

A
3.22222 et 3.222....1 sont différents

La différence est infinitésimale. Même plus que ça: aussi petite que l'on veut. Chercher une différence entre ces deux nombres n'a donc plus aucun sens(à part faire des choses pas très catholiques aux mouches), puisque l'on peut rendre cette différence aussi proche de 0 que l'on veut(en suivant ce principe, cela veut dire que cette différence est 0).

[b@z66]

Plus n grandit, plus tend vers 0.9999999.... et plus tend vers 0. Quand "n=infini" (ce qui n'a aucun sens mathématiquement), on a bien , autrement dit 1-0.9999999999... = 0, autrement dit 1=0.9999999999...

C'est effectivement là-dessus que Unifree doit avoir une réflexion: la notion d'infini et en particulier la notion de limite "à l'infini". Quand la différence entre deux nombres tend vers 0, ils est naturel de dire qu'ils deviennent égaux ou que ce sont alors les mêmes nombres. Ils ne faut pas chercher d'autres explications philosophiques compliquées. Deux nombres "infiniment" proches sont les mêmes: leur différence, c'est le cas de le dire, est pour le coup ultra-infiniment négligeable.

[invite3cb2ea45]

Ok, ok,
J'ai à peu près compris le tout : en fait c'est un peu le sens de "infini" qui posait problème dans ma conception du problème!
En tout cas merci beaucoup pour vos explications claires (malgré mon esprit tordu) et pour votre patience! (quelle plaie ce Unifree )
Sur ce je vous souhaite une très bonne soirée et à bientôt ... si j'ai d'autres questions... ( un conseil : ne cliquez pas sur mon prochain sujet )

[invite3cb2ea45]

Bon un dernier post pour l'anecdote : sur les 5 posts de b@z66, sur 3 j'étais en train d'écrire quand il postait, dont le dernier : on est donc bien d'accord sur le problème
Merci encore ! A plus tard!

[leodark]

Je ne suis pas sur d'avoir lu tout les posts à fond, donc dsl si ça a déjà été dit mais ne peut on pas faire :
On est d'accord que soi "a" un réel quelconque alors :
10*a - a = 9a
En posant a = 0.999...
On obtient 10*0.999.. = 9.999...
Donc 10*0.999.. - 0.999.. = 9
et on obtient 9*a = 9
a=1=0.999...
Non?

[invite3cb2ea45]

Ca marche aussi apparemment, quelques posts plus hauts et quelques heures plus tôt j'aurais dit ce que j'avais dit au premier post Mais maintenant oui c'est vrai que ça à l'air de bien marcher!
Après pour la démonstration en elle même je sais pas si on a le droit de soustraire des infinis comme ça. Attendons b@z66, fiatlux, RoBeRTo-BeNDeR ou Tryss pour te répondre

[b@z66]

Je ne suis pas sur d'avoir lu tout les posts à fond, donc dsl si ça a déjà été dit mais ne peut on pas faire :
On est d'accord que soi "a" un réel quelconque alors :
10*a - a = 9a
En posant a = 0.999...
On obtient 10*0.999.. = 9.999...
Donc 10*0.999.. - 0.999.. = 9
et on obtient 9*a = 9
a=1=0.999...
Non?

On peut dire ça aussi si c'est plus satisfaisant pour l'esprit mais, au fond, obtenir un résultat infiniment proche d'un nombre ou le nombre lui même, cela revient un peu au même. L'incompréhension de certains vient peut-être de vouloir appliqué le même genre de raisonnement opératoire que pour les nombres avec un nombre nombre fini de chiffre significatifs après la virgule à des nombres qui se définissent comme infiniment près. D'ailleurs ce genre de problème n'est au fond "qu'un faux-problème" venant de l'utilisation du système décimal. Si on utilisait un système ternaire, 1/3 ne poserait pas plus de question que cela alors que finalement le choix du système de numération est purement arbitraire et ne doit pas avoir d'influence sur l'existence des nombres eux-mêmes.

PS: en ternaire(0,1 et 2), 1/3 serait égal à 0,1.

[invite765732342432]

La différence est infinitésimale.

Quelques rappels:
- le chiffre 0,0...1 n'existe pas. Cette notation n'a aucun sens en mathématique.
- un nombre ne "tend" pas vers quelque chose, un nombre est fixe. seules les limites "tendent"
- ce sujet a été abordé une dizaine de fois sur le forum, toutes les démonstrations de la plus simple à la plus complète ont été données.

[b@z66]

Quelques rappels:
- le chiffre 0,0...1 n'existe pas. Cette notation n'a aucun sens en mathématique.
- un nombre ne "tend" pas vers quelque chose, un nombre est fixe. seules les limites "tendent"
- ce sujet a été abordé une dizaine de fois sur le forum, toutes les démonstrations de la plus simple à la plus complète ont été données.

- Oui et alors? 0.00...1 a un sens bien précis dans l'esprit de ceux qui s'interrogent donc la question a sans doute une raison d'être posée.
- Une limite est un nombre(quand elle existe) ou le résultat de l'application d'une fonction est un nombre mais si tu préfères jouer sur les mots, libre à toi.
- Il n'y a pas de démonstration, il y a juste un constat à faire. Il suffit de reprendre à l'envers la division euclidienne(de 1 divisé par 3 par exemple) pour comprendre qu'on ne peut pas appliquer bêtement et partiellement la règle que l'on applique à des nombres avec un quantité finie de chiffres significatifs après la virgule à ceux qui en ont une qui est infinie.

[NicoEnac]

Bonjour,


0.1 < 1 donc :

[Amanuensis]

Quelques rappels:
- le chiffre 0,0...1 n'existe pas. Cette notation n'a aucun sens en mathématique.

Autres "rappels" :

- 0,0...1 est une notation . En tant que notation, elle "existe" ;

- comme toute notation, elle n'a que le sens qu'une convention lui donne ; s'il n'y en a pas, on peut toujours en inventer une ;

- y-a-t'il des domaines des maths où ce genre de notation pourrait prendre sens ? Réponse, peut-être, on peut songer à l'analyse non standard ; mais est-ce intéressant pour la discussion présente, non...

- pourrait-on l'utiliser pour qu'elle signifie un nombre "normal", c'est-à-dire un élément de R ? Réponse, oui, on peut "tout faire", même des conventions absurdes ; mais il n'y a apparemment aucune convention qui "tombe sous le sens" et en fasse quelque chose d'utile. D'où finalement la réponse "peut-être, mais on s'en fiche parce que personne n'y a trouvé une utilité".

----

Si on prend la question originale par le "bon bout", c'est à dire en termes de notation et de convention, 0,999... est une notation, et la convention usuelle est de considérer que c'est une notation du même nombre réel que celui noté 1 ou 1,00... ou un ou one, etc.

Vu comme cela, on réalise que la question originale et nombre de réponses font la confusion entre un objet (un nombre) et sa représentation (notation décimale), et que c'est là d'où viennent toutes les difficultés, divergences, débats, etc.

Maintenant on peut se poser diverses questions une fois la distinction entre nombre et notation faite :

- pourquoi le choix de cette convention ?

Réponse, c'est là que les soit-disant "démonstrations" interviennent : elles démontrent une chose importante, c'est que cette convention est cohérente avec diverses opérations "intuitives" qu'on peut faite avec, et rend la notation "peu dangereuse" (pour comprendre les dangers de "mauvaises conventions", aller voir les discussion sur la notation appliquée aux nombres négatifs).

- n'est-il pas gênant que le nombre réel 1 (en fait tous les rationnels p/q avec q de la forme 2ⁿ5^m) ait deux notations en décimal ?

Réponse, non, le seul défaut est que cela amène des questions et discussions récurrentes sur des forums comme celui-ci...

[invite765732342432]

- pourrait-on l'utiliser pour qu'elle signifie un nombre "normal", c'est-à-dire un élément de R ? Réponse, oui, on peut "tout faire", même des conventions absurdes

C'est vrai pardon.
On peut effectivement considérer que "..." est un notation pour "+3*" ce qui veut donc dire que 0.00...1 = 3, mais bon...

"..." est quand même une notation assez clairement définie (surtout dans cette discussion) comme "répéter de manière infinie les chiffre précédent"

[Amanuensis]

C'est vrai pardon.
On peut effectivement considérer que "..." est un notation pour "+3*" ce qui veut donc dire que 0.00...1 = 3, mais bon...

Je vois qu'au moins un point de mon argumentaire a été pris en compte...

"..." est quand même une notation assez clairement définie (surtout dans cette discussion) comme "répéter de manière infinie les chiffre précédent"

Notation clairement définie (je n'argumenterais pas sur ce point, bien que...) uniquement en position finale.

(Notons que mettre quelque chose après une infinité peut prendre sens en mathématique avec les ordinaux. Encore une fois, bien au-dessus des besoins de cette discussion...)

Mais pas de problème, il y a encore plein de place pour des arguties pour refuser un message de critiques...

[invite765732342432]

Je vois qu'au moins un point de mon argumentaire a été pris en compte...

Tous l'ont été, crois moi.

[invite705e5b6b]

1*(10-infini) =1/10 puissance infini = 1/10000000......= 0

[invite26003a38]

1*(10-infini) =1/10 puissance infini = 1/10000000......= 0

Depuis quand on intercale l'infini dans une ligne de calcul ?