Distance minimale entre exp(x) et ln(x)

[loann]

Bonjour à tous, j'aimerai savoir comment calculer la distance minimale entre la courbe représentative de f(x)=exp(x) et celle représentative de g(x)=ln(x). Le tout dans un repère orthonormal (o,i,j) ? Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Ces courbes étant symétriques par rapport à la première diagonale, les points qui réalisent ce minimum seront aussi symétriques. D'autre part, les tangentes seront parallèles à l'axe de symétrie. ce qui les détermine.
Je ne sais pas à quel niveau tu fais cela, mais la preuve de mes affirmations n'est pas trop difficile, je pense. En utilisant les parallèles à l'axe de symétrie passant par les points.

Cordialement.

[Sephiralo]

Salut !

Je ne sait pas si c'est correct mais voilà ma solution :

D'après le graphe de ces deux fonctions, on peut conjecturer que la distance qui les sépare est minimale lorsque leur tangente est parallèle à la droite d'équation y=x qui est d'ailleurs l'axe de symétrie de ces deux fonctions.
C'est à dire lorsque f'(x)=g'(x)=1

Pour f(x)=exp(x), f'(x)=1 lorsque x=0 et f(o)=1, soit la tangente parallèle à y=x est obtenu pour f(x) en A(0;1).
Pour g(x)=ln(x), f'(x)=1 lorsque x=1 et f(1)=0, soit la tangente parallèle à y=x est obtenu pour g(x) en B(1;0).

Nous pouvons alors maintenant calculer cette valeur : racine((1-0)²+(0-1)²)=racine(2).

La distance minimale est donc de racine(2) !

[loann]

Salut

Alors, après pas mal de temps de recherche j'ai trouvé une solution mais c'est pas la même que toi :/

Je t'explique :

-Partons des deux fonctions ; f(x) = exp(x) et g(x) = ln (x)
-On sait que toutes les deux sont symétriques par rapport à la droite y=x ( f(0)=1 et g(1)=0 )
-On en déduit que la fonction f est la plus proche de la droite y=x pour x=1
-On calcule alors la tangente de f(x) en 1 ; y = f'(1)(1-x)+f(1) = exp(1)*(x-1)+exp(1) = x*exp(1)-exp(1)+exp(1) = x*exp(1)
-On sait que f(1)=e et g(1)=0
-Donc l'équation de la droite parallèle à la tangente de exp(x) en 1 aura pour fonction ; y = x*exp(1) - exp(1)
-On fait la différence des deux courbes : x*exp(1)-(x*exp(1)-exp(1)) = exp(1) soit environ 2.718...
-On en déduit que exp(1) est la distance minimale qui sépare la fonction f de la fonction g.

Voila, mais je ne suis pas sur à 100% non plus donc si vous voyez une autre façon de trouver cette distance n'hésitez pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite y=x, la distance des deux courbes est donc minimale en un point de la forme:

sur la courbe de exp, sur la courbe de ln, mais par symétrie on en déduit que , car est le symétrique par rapport à la droite y=x de . Quel distance entre ces deux points? Exactement or (simple à démontrer) d'où . Par dérivation qui s'annule en 0 et négative avant, positive après, donc c'est un minimum. Donc le minimum de la distance est atteint en et a pour valeur . Il resterai à bien montrer que le minimum de distance est bien atteint pour deux points symétriques, mais ceci doit être assez simple à démonter.

[gg0]

Bonjour loann et RoBeRTo-BeNDeR,

Tous les deux, vous admettez que le minimum est obtenu pour des points symétriques, ce qui est le plus délicat à prouver. On peut le faire en deux temps : Etudier le minimum de la distance de deux points symétriques. Puis montrer que pour les deux points trouvés (car il y a un minimum unique), toute distance entre des points des deux courbes est supérieure. C'est le point le plus délicat.

Ioann,

ton résultat est faux. D'autre part, comment justifies-tu "On en déduit que la fonction f est la plus proche de la droite y=x pour x=1 " ? D'ailleurs, c'est le point d'abscisse 0 qui est le plus proche.

Cordialement.

[Sephiralo]

Je suis d'accord avec gg0 !

Voilà une autre méthode qui vient de ma prof de math (agrégée) donc je pense que la méthode qu'elle nous propose est la bonne

" La distance que l'on cherche est la distance minimale entre un point de la courbe de ln et de exp.
Comme ces deux courbes ont la droite y=x, comme axe de symétrie, la distance sera minimale pour deux points A et B symétriques par rapport à y=x.

Soient x>0, A(x;lnx) sur la courbe de ln et B(lnx;x) sur la courbe de exp.
(Si A(x;lnx) sur la courbe de ln et B(y;exp(y)) sur la courbe de exp alors AB²=(y-x)²+(exp(y)-lnx)² est minimale lorsque les deux carrés sont le plus petit possible soit nuls.
D'où y=x et donc mon choix d'avoir pris A(x;lnx) sur la courbe de ln et B(lnx;x) sur la courbe de exp.)


La distance AB²=2*(x-lnx)². Soit la fonction f(x)=x-lnx, f'(x)=(x-1)/x et f minimale en x=1. AB²min=2 soit ABmin=racine(2) "

Ce que j'avais trouvé !

[loann]

Oui effectivement vous avez raison, j'ai refait le calcul et j'ai trouvé racine de 2. En tout cas merci à tous de m'avoir aidé