equations dans l'ensemble des nombres complexe

[invitec2ee1d1b]

bonjour a tous,

j'ai besoin d'une petite ( ou une grande) aide pour résoudre un exo,

voilà l'énoncé:

on considère dans l'ensemble des nombres complexes le polynôme défini par :
p(z) = z^4+4

1) montrer que si le nombre complexe "a" est racine de P alors " -a" est aussi racine de P.

2) démontrer que pour tout nombre complexe z, on a ( conjugué de P(z) ) = P ( conjugué de z). (désolé je n'arrive pas a faire le trait pour les conjugués )

3) calculer P( 1 + i ) et en déduire toutes les solutions de l'équation P(z) = 0 .

alors voila ou j'en suis:

J'ai trouvé la question 1
apres pour le reste je sais pas trop.
pour la 2, je pense qu'il faut utiliser les propriétés du conjugué, mais je sais pas comment commencer.
merci de m'aider.
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[Médiat]

Bonjour,

je sais pas comment commencer

Par écrire en appliquant les propriétés du conjugué.

[gg0]

Bonjour.

Pour la 2, il suffit de faire le calcul :

En utilisant les propriétés du conjugué; ça vient tout seul.
Note que je n'ai fait que redire l'énoncé !

De même, il n'y a pas de difficulté à calculer P(1+i) (calculs habituels en remplaçant systématiquement les puissances de i à l'aide de i²=-1).

Bon travail !

[invitec2ee1d1b]

bonjour a tous
j'ai en effet commencé le calcul: soit * le conjugué

[P(z)]*=(z^4+4)*=z^4*+4*=(x*)4+4=P(z *)

c'est bien ça? je débute à peine avec ce chapitre. :/

(désolé pour la formule,je ne trouve pas les signe pour le conjugué) .

et pour la 3 donc:
p(1+i)= (1+i)^4 +4 = (1+i)² (1+i)² + 4= (1+2i+i²)(1+2i+i²) +4= (1+2i-1)(1+2i-1)= 4i²+4=4 x (-1) +4 = -4 +4= 0
il est juste mon raisonnement?
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok.

A part un x parasite dans le premier calcul.

Donc P(1+i)=0. D'après la première question on en déduit ...

Ce qui te donne deux racines, donc une factorisation de ton polynôme.

Cordialement.

[invitec2ee1d1b]

oui donc les 2 racines sont 1+i et 1-i
c'est bien ça?

merci.

[invitec2ee1d1b]

ah oui et en factorisant ça donne:

(z+iy)4=(z+iy)2(z+iy)2 + 4 non?

[pallas]

Non tu ecris que z^4+1= (z-(1+i))(z-(1-i))(az²+bz+c) et en identifiant les termes en z² tu trouves a etc...