besoin d'aide pour les récurrences en terminale S

[adaliane]

Bonsoir, je suis actuellement en terminale S et je rencontre énormément de difficultés avec les récurrences, je n'y arrive pas du tout.
J'ai un dm pour la rentrée la semaine prochaine et je souhaite solliciter votre aide pour m'aider à comprendre comment cela fonctionne.
Notre professeur nous a dis qu'il fallait faire une récurrence dans une récurrence pour cette exercice là, déjà j'ai beaucoup de mal avec des simples récurrences alors je vous laisses imaginer la pataugeoire dans laquelle je nage en ce moment pour faire ce DM.
L'énoncé est le suivant:

soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par:
u₀=0 et u_n+1= u_n²+1
montrer que pour tout n supérieur ou égal à 4: u_n est supérieur ou égal à 2ⁿ

pour commencer j'ai:
calculée les 3 premiers termes de la suites pour avoir U de 4 en initialisation et j'obtiens:
u0=0
u1=1
u2=2
u3=5
u4=26

ensuite j'ai fais 2^4=16
26>16
u4>2^4
donc P0 est vraie

. hérédité: on suppose qu'il existe un entier n tel que pn soit vraie
Un supérieur ou égal à 2^n

Que dois-je faire pour m'en sortir ensuite?

Je vous remercie d'avance pour toutes les réponses et aides que vous pourriez m'apporter.
Adaliane.
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[The_Anonymous]

Bonsoir Adaliane,

Je vous réponds, mais méfiez-vous de ma réponse, je n'ai vu les démonstrations par récurrence il n'y a d'ici là que quelques mois, mais cependant j'ai vu un exemple similaire ( ^^), donc je pense pouvoir vous aider, je pense avoir trouvé votre double récurrence.

Je vous remets la définition de la suite par clarté :

La première consiste à vérifier pour (n+1) votre propriété de base qui est donc : .

Il faut voire si cette propriété marche pour (n+1) à la place de n.

Déjà, réécrivez votre propriété en en remplaçant par autre chose (je ne vous dis pas quoi ) qui est trouvable selon la définition de votre suite. (En gros ).

Ensuite remplacez n par (n+1) :

Vous obtiendrez une seconde inéquation, et vous vous servirez de la propriété pour revenir à une inéquation plus simple.

Vous aurez alors conclu votre première récurrence.

Au sujet de la deuxième, vous n'aurez qu'à majorer une opération embêtante, puis à utiliser les propriétés des exponentielles (déjà vu?) pour arriver à une conclusion évidente qui vérifie .

Désolé pour ce language abstrait, dur de vous décrire la démarche sans vous répondre trop directement, d'ailleurs j'espère que je n'ai pas trop répondu...

Je vous souhaite un bon travail,

Cordialement,

Brazeor

EDIT : Votre vérification de P(4) est juste, sauf erreur...

EDIT EDIT : En fait, je ne sais pas si j'ai vraiment fait une double récurrence...

[Erdnalexa]

Bonsoir,
"Toutes" les démonstrations par récurrence fonctionnent sur le même schéma :
1. L'initialisation :
Tu dois prouver qu'il existe un entier tel que soit vraie.
Dans ton cas tu as montré que .

2. L'hérédité :
Tu dois prouver que si est vraie alors est vraie.
Dans ton cas tu supposes que et tu dois prouver qu'alors

3. La conclusion : Même si c'est la partie la plus simple c'est très important !
- Si l'hérédité fonctionne : Puisque est vraie et que est héréditaire alors est vraie si est supérieur à .
(Car tu as démontrée que c'était vrai à partir de , mais tu ne peux rien dire sur ce qu'il se passe avant. Dans ton cas )
- Si l'hérédité ne fonctionne pas : n'est pas héréditaire donc est fausse.

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J'ai dit "Toutes" car en réalité il y a deux types de démonstrations par récurrence, celles par récurrence forte et celles par récurrence faible.

Cordialement

[lawliet yagami]

Bonsoir,
Je dois être fatigués mais je vois pas l'intérêts de la double récurrence

si p(n) est vrai alors Un-2^n >= 0

Il faut montrer que U_(n+1)-2^(n+1) >= 0
et en 2 lignes c'est fait

[A voir en vidéo sur Futura]

[Erdnalexa]

@ The_Anonymous : Désolé mais c'est qu'il faut démontrer la propriété.

A part ça, je viens de le faire sur papier, pour prouver l'hérédité ça m'a prit 6 équations/inéquations et je n'ai utilisé que deux propriétés des puissances de 2 :

et que la suite des puissances de 2 était strictement croissante.


Bonne nuit

[Erdnalexa]

@ lawliet yagami : Si on s'amuse à écrire des trucs du genre :

ça tient en une seul ligne ! x)

PS : 00h35 et tout à l'heure exam' d'Algèbre à 08h00... ça va être dur de se lever...

[The_Anonymous]

@Erdnalexa :

C'est vrai qu'il faut rédiger une conclusion, merci de me l'avoir rappelé à moi aussi!

Et il n'y a pas de soucis, je suis étudiant et je fais souvent des erreurs (même très souvent ^^), c'est vrai qu'on démontre

Quant à ta manière de procédé, je ne sais pas comment tu fais, perso je t'envoie la mienne en mp, je te laisse voir si tu veux me montrer la tienne

(P.S. : Je ne veillerais pas si tard si j'étais toi : vu ton niveau, les exams doivent être franchement difficiles, je te souhaite bonne chance (ou bien merde si tu es superstitieux(se) )

@ lawliet yagami :

C'est vrai qu'au début je pensais avoir utiliser une double récurrence...

Mais en fait non ^^. Cette démonstration est finalement peut-être plus simple que ce que l'on pourrait s'imaginer...

Cordialement

[adaliane]

Merci pour toutes vos réponses j'ai réussis à m'en sortir ^^.

[The_Anonymous]

Content pour toi

Cordialement