Exercice dont je ne vois pas le bout ..

[Super-coincoin]

f définie sur [0;1] par f(x)=x²
Le but est de déterminer l'aire A de la partie du plan délimitée par la courbe de la fonction. L'axe de abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
On divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur et on construit 5 rectangles : n=5
Sn la somme des aires des rectangles.
A peut être approchée par Sn, plus n sera grand

1)Donner l'expression de S5 et sa valeur
2) Justifier Sn = [1/(n^3)] * (1²+2²+...+n²)
3) On veut S20, avec un tableur (on met 1 dans A1, 2 dans A2 ..., 1² dans B1 et 20 dans F1) :
a) Que doit on mettre dans B1 pour obtenir la 2eme colonne ?
b) Que doit on mettre dans E12 pour obtenir S20 ?
4) On veut S500 et S1000
a) Ecrire un algorithme qui permettra d'obtenir une valeur approchée de l'aire, n l'entrée du nombre de subdivisions de l'intervalle
b) Réaliser l'algorithme sur alogobox ou la calculette
c) Calculer S500 et S1000. Que constate-t-on ?
d) Conjecturer la valeur de A
5)a) en utilisant 1²+2²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6 , (n>=1) montrer que : Sn = 1/3 + 1/2n + 1/6n²
b) Que peut on dire de 1/2n + 1/6n² quand n est très grand ?
c) Que peut-on en conclure ?

Je sais que c'est long mais je suis vraiment perdu .. merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

1) as-tu lu le règlement, ou http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html ?
2) Il n'est pas évident de voir le bout quand on n'a pas fait le début.

[Super-coincoin]

Non j'avais pas lu .. dsl, je fais comment alors ?

[The_Anonymous]

Je crois que tu n'as pas compris apparemment...

On ne fera pas l'exercice à ta place, tu dois nous expliquer là où tu bloques, tes débuts de démarche.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[loudou31]

Bonjour à toi.
Bien, voici la solution.

Rappel: Aire d'un rectangle de L comme longueur et l comme largeur est de L x l
Ici on divise l'intervalle [ 0, 1] en n partie égales, on on forme des rectangle.
D'où tous ces rectangles ont même largeur l=1/n et comme chaque point appartient à la courbe de f(x) = x^2,
alors chaque rectangle à comme longueur L=(k/n)^2 avec k le rang.
A est la somme de toutes ces surfaces

Appliquons donc la formule pour n=5

A= 1/5x 1/5^2 + 1/5x(2/5)^2 +1/5x(3/5)^2 +1/5x(4/5)^2 + 1/5x(5/5)^2

Factorisons par 1/5 , ce qui donne

A=1/5x[1/5^2+2^2/5^2+3^2/5^2+4^2/5^2+5^2/5^2
Et là on voit qu'on peut mettre aussi 1/5^2 en facteur

D'où A=1/5x1/5^2(1+2^2+3^2+4^2+5^2)
Soit A=1/5^3(1+2^2+3^2+4^2+5^2)

Et en généralisant pour n, on obtient:

A= 1/n^3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...... ... +n^2)

Et à toi de la suite car il suffit de remplacer à chaque fois n par sa valeur

Pour la conjoncturer, on remarque que plus n est grand, A tend vers 0

En effet, lim (1/n^3) = 0
N-->+&

Merci, et à plus

[Super-coincoin]

Merci, j'avais trouvé mai c'est bien expliqué. Il faut que je fasse la suite, pour l'instant je bloque au tableur mais j'ai fais l'algorithme. Merci encore

[loudou31]

Rebonjou,

Pour le tableur

Comme c'est dit : 3) On veut S20, avec un tableur (on met 1 dans A1, 2 dans A2 ..., 1² dans B1 et 20 dans F1)
a) Que doit on mettre dans B1 pour obtenir la 2eme colonne ?

Tu te plasses dans B1 et tu écris la formule suivante : = A1xA1 et entrée
Puis tu tirer vers le bas et cliquant sur le bouton gauche de la souris et coin droit de la cellule B1 jusqu'à B20 et tu lâche la souris, et tu obtiens tous les valeurs de la colonne B ( attention, il faut compléter la colonne A de 1 à 20

b) Que doit on mettre dans E12 pour obtenir S20 ?

Clique sur E12 et tappe : = (1/F1)^3x1/somme(B1:B20) et entrée

Voilà et tu peut juste changer la valeur de n dans F1 et le tour est joué

Merci encore et à plus
J'espère que cela te rendra service pour la suite!!!!!

[Super-coincoin]

Merci ! Pour la a) je suis pas sur que ça marche mais je vais réessayer.
La b) je vais essayer.
Merci encore