Equation diophantienne

[V13]

Bonjour,

Voici l'énoncé :

Trouvez dans les triplets solutions de l'équation suivante :



Ce que j'ai fait :

Si alors on a le triplet évident solution.

Si alors

D'où :



Le quotient est par hypothèse rationnel car et sont deux entiers relatifs. est rationnel si et seulement si est un carré parfait.

est également inférieur à (puisque différence de deux entiers positifs) et est positif (car sous une racine).

Donc on cherche tous les carrés parfaits inférieurs à .

On a alors :




A partir de là je sais que j'ai juste en disant que si on choisit un entier relatif arbitraire, le nombre ne sera pas un entier à cause de la multiplication par une racine carrée irrationnelle.
Mais le problème c'est que je ne sais pas comment le démontrer.

Donc j'aurais deux questions pour une âme charitable :

1°) Est-ce que ce raisonnement se tient ?
2°) Comment démontrer que lorsqu'on multiplie un entier par une racine carrée irrationnelle, ça ne donne jamais un entier ?

Merci d'avance,
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[Médiat]

Bonjour,

On a alors :

Vous ne pouvez pas vous restreindre aux entiers carrés parfaits, mais au quotients de carrés parfaits

Quant à votre deuxième question, la réponse est triviale (définition de irrationnel)

[V13]

Oui je me suis emporté. Dans ce cas est-ce que la méthode suivante convient :

On pose alors :



Où bien sûr et sont des entiers relatifs ( et non nul). En posant toujours la condition que : .

On obtient alors que :



Soit :




On a le produit de deux nombres irrationnels sous la racine. La racine est donc irrationnelle. Pour tout entier relatif le nombre n'est jamais un entier. Ce qui conclut donc :

Excepté le triplet il n'existe pas de triplets d'entiers relatifs tels que

Est-ce correct ?

[Médiat]

On a le produit de deux nombres irrationnels sous la racine. La racine est donc irrationnelle.

Vous êtes sûr ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[V13]

Ah non.

La méthode semble donc ne pas aboutir. Il faudra que je reprenne une autre méthode.

[Resartus]

Bonjour,
Je vous suggère de chercher quels peuvent être les restes modulo 7 de a² et b²...