exercice d'olympiades sur les suites

[midorima]

Bonjour tous le monde
J'e suis tombe sur un exercice sur les suites qui me m'a rendu tres curieux
Je precise que je n'ai pas encore étudier les suites
Mais je me suis renseigné sur le sujets sur les suites du genre
1+2+3+4...+n
Et la j'ai vraiment envie de savoir comment faire cet exercice
L'énoncé :
1\ trouvez tous les entiers n sachant que n>=4 tel que
[1+3+5+....+(2n-1)÷[2+4+6+....2n] =2016÷2017

2\trouve le plus plus grand diviseur commun entre :
1+2+3+4+....+2016 et 1²+2²+3³+4⁴+.....+2016²

3\ sois n>=1 un nombre entier .Trouve le plus grand diviseur commun entre :
1+2+....+n et 1^2017 +2^2017 +.......+n^2017+

Alors pour la premiere et deuxième question je pense avoir trouvé la solution :
1/ j'ai lu que la somme d'une suite de nombres impairs jusqu'à n donnent n²
Et on utilisant la formule de n(n+ premier nombre)/2 j'obtiens n²+n
Donc n²÷(n²+n)=2016÷2017
J'obtiens n=2016 (svp une confirmation)

2\on a 1+2+...+2016 = n(n+1)÷2
Et 1²+2²+3²+...+2016²=n(n+1)(2n+1 )÷6
J'obtiens que pgcd entre les deux est 1\2n(n+1)
Donc 1008×2017 = 2033136
( je demande aussi une confirmation svp et une question:est ce que le pgcd de deux
Nomnres peut etre un deu deux nombres si il divise l'autre ?)

Mais pour la 3eme je n'ai pas pu la faire je demande de l'aide
Je n'ai rien trouvé à-propos des somme des suit dont l'exposant est supérieur a 3
Et je n'ai rien pu faire en m'appuyant sur le raisonnement
Svp aidez moi
Merci d'avance
-----

[Resartus]

Bonjour,
La somme de deux puissances impaires est divisible par la somme des deux nombres.
Si n est impair, on peut faire le regroupement habituel qui permet de prouver la divisibilité par (n+1)/2,
puis un regroupement des n-1 premiers termes suivi du terme n qui prouve la divisibilité par n,
Je vous laisse chercher les deux regroupements "quivontbien" dans le cas n pair...

Il restera juste à démontrer que ces deux nombres ne peuvent pas avoir de facteur commun

[midorima]

Re bonjour
Merci pour ta réponse aussi vite
Tu dis que la somme de deux puissance impaire est divisible par la somme des deux nombres
Mais la on a n nombre et pas 2 seulement
J'ai testé et la formule ne marche avec 3 nombres
Et tu dis que si n est impair on peut faire le regroupement habituel
Tu parle du regroupement n(n+1)/2
Et l'exposant 2017 ne gene t il pas ?
Et si n est pair comme't fait on ?

Merci d'avance et désolé pour mon incompréhension

[Resartus]

Bonjour,
Le regroupement "habituel", est qu'on peut regrouper 1 et n, 2 et n-1, etc. Chacune de ces paires a+b a une somme de n+1, et a^2017+b^2107 est aussi divisible par n+1. (Rappel : si n est impair, a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2).b+... -a.b^(n-2)+b^(n-1)]
Donc la somme de toutes ces paires est aussi divisible par n+1
Mais si n est impair, il reste un terme au milieu qui vaut (n+1)/2. Donc quand on additionne ce terme puissance 2017, la somme totale n'est plus divisible par n+1 mais seulement par (n+1)/2
Pour les autres divisibités, fais quelques autres essais de regroupements par paires. Ce n'est pas trop difficile à trouver... Selon les cas, on rajoute soit le terme du milieu, soit celui de la fin

[A voir en vidéo sur Futura]

[midorima]

Bonjour
A vrai dire
Je ne sais pas si je n'arrive pas a me concentrer ou c'est difficile
Mais je n'arrive pas a comprendre
Y a t il un cour en particulier que je dois etudier pour comprendre cet exercice ?

[ansset]

Rappel du titre :
exercice d'olympiades sur les suites

Bonjour tous le monde
J'e suis tombe sur un exercice sur les suites qui me m'a rendu tres curieux
Je precise que je n'ai pas encore étudier les suites

Bonjour,....
Je ne sais pas si je n'arrive pas a me concentrer ou c'est difficile
Mais je n'arrive pas a comprendre
Y a t il un cour en particulier que je dois etudier pour comprendre cet exercice ?

Il y a t il de quoi s'étonner ?

[midorima]

Non
Je sais que normalement je ne devrais pas essayer de faire cet exercice
Mais je ne supporte pas de rester ignorant
Justement j'ai posté cet exercice pour qu'on m'informe de ce que je dois connaître pour le résoudre

[gg0]

Ben ... tu l'as dit toi-même : "Je precise que je n'ai pas encore étudier les suites".

[midorima]

And so what
J'ai pas dis que je vais pas les étudier

[ansset]

sauf que tu demandes implicitement une aide pour la résolution d'un exercice d'olympiade dans un domaine que tu ne connais.
commencer par un exercice de haut niveau sans avoir aucune base du domaine me semble être une très mauvaise méthode d'approche.

[midorima]

Pas exactement
J'ai posté l'exercice
Et je demande ce qu'il faut etudier en particulier vu que les suites sont un tres vaste sujet
Je n'ai pas demandé directement la solution
Justement je suis de damander par quoi dois je commencer

[gg0]

Heu ... tu transforme un peu la réalité :

Mais pour la 3eme je n'ai pas pu la faire je demande de l'aide

Tu ne demandais pas quelles notions tu devais étudier.
Trop facile de changer d'idée !!

[midorima]

Je n'ai pas changé d'idée
Demander de l'aide
Ça exprime pas mal de choses
(Comme les notions)
Et je ne vois pas pourquoi cette discussion s'est transformé en un debat
Qui ne finira jamais

[gg0]

Tu as demandé de l'aide, pas où on peut apprendre ! en expliquant comment tu avais traité deux exercices (donc tu savais faire !!)
Tu as eu de l'aide, on t'en a donné.
Maintenant tu dis que tu n'as pas eu de cours, et tu prétends que c'est ce que tu voulais dire. Je le redis, ce n'est pas sérieux !

[midorima]

Gg0
Je n'ai pas fais le cour sur les suites
Si pour toi faire les deux exercices veux dire que je bleuf
Detrompe toi
Avant de poster cet exercice
J'ai chercher sur la somme d'une suite de nombres
Et j'ai trouvé les formules basic
Je n'ai fais qu'appliquer
Pour le pgcd ce n'est monstrueux de le faire puisque
L'un s'ecris comme multiplication de l'autre (a savoir si c'est juste)
Mais pour la somme d'une suite de nombres dans l'exposant est supérieur a 3
Je n'ai rien trouvé du tout
Maintenant je ne sais pas
Si il y a vraiment un cours spécialement pour ce genre d'exercices
Ou alors il faut s'appuyer sur d'autre formules
Voila pourquoi j'ai demandé de l'aide
Sans préciser
Franchement tu dis que ce n'est pas sérieux
Le fait de vouloir apprendre d'avantages ?
De s'intéresser plus au maths ?
Ou alors tu t'es tellement concentré sur le fait que j'ai appliquer une formule
Dans un simple exercice

[ansset]

avant de passer à la 3, j'ai un souci avec ta réponse 2)

J'obtiens que pgcd entre les deux est 1\2n(n+1)
Donc 1008×2017 = 2033136

pourquoi le 1\ mais surtout dans le calcul tu fais (n/2)(n+1) !?

[ansset]

OK, histoire de parenthèses certainement dans l'ecriture 1\2n(n+1) à lire (1/2)(...)

[midorima]

Oui voila
J'ai oublié les parenthèses
(1/2)(n(n+1))
Dsl
Est ce juste pour les 2 premières question ?

[Resartus]

Bonjour,
Mais trouver une formule sur internet et l'appliquer, comme dans le cas 1 et 2, ce n'est pas très interessant, et surtout, cela n'enseigne rien sur les méthodes mathématiques.
Petit exercice d'arithmétique, avant de se lancer dans des choses plus compliquées : retrouver le calcul 1+..+n =n*(n+1)/2 en faisant, comme je l'ai indiqué
des regroupements de paires de nombres : 1+n, 2+ (n-1), etc. Combien y a t'il de paires de ce type? Conclure...
Une fois ceci compris, peut-être mes explications sur la partie 3 seront-elles utiles.

[ansset]

exercice ( la partie 3) ) objectivement difficile midorima ! ( olympiades )
même si les indications de Resartus sont justes.
quel est ton niveau en maths ?
pas pour te décourager mais pour ajuster les indications !

[midorima]

Bonjour
On utilisant les regroupement
On retombe sur la meme formule
n(3+n-2)/2=n(2+n-1)/2=n(n+1)/2
Le nombre de paire dépend de n
Si n est pair il y a n/2 nombre de paire
Si n est impair donc il ya (n-1)/2 de paires plus le nombre du milieu
Je sais pas exactement ce que je dois repondre
J'ai juste mis ce que j'ai compris des questions
Pour la conclusion je ne vois pas trop ce que je peux conclure
Peut etre que si n est pair donc il est divisible par toute ces paires
Et si n est imapaire donc il n'est pas divisible par ses paires vu qu'il reste le nombre du milieu

[midorima]

Pour ansset
Je suis en première lycée
Pour mieux préciser
Nous somme en ce moment sur le cours des dérivés

Merci pour ton attention
D'après ce qu'on m'a dit
Le sujet dans lequel cet exercice est tombé été dirigé au élèves de lycée en générale

[gg0]

C'est un poème ?

Il te manque sans doute quelques connaissances, les exercices d'olympiades ne sont pas des exercices simples pour élèves de base. Les candidats ont généralement été formés en plus des cours dans des regroupements. Donc il n'est pas anormal que tu sois en difficulté. Et c'est toi qui parles de bluff (mot anglais qui se prononce bleuf), pas moi.
Ici, il te faut connaître les identités remarquables générales sur x^n-y^n et x^n+y^n (n impair) qu'on voyait autrefois en première. Puis suivre les indications que tu as eues.

Comme faire les olympiades ou les exercices d'olympiades est une action volontaire, c'est à toi de trouver, ou de renoncer. Comme l'exercice t'intéresse, cherche !

Cordialement.

[midorima]

Bonjour
J'ai cherché les identités remarquables a^n+b^n (n =2017 donc impair)
Et j'ai essayé de resoudre l'exercice

Tout d'abord, comme je confondais entre n de l'exposant et n le dernier nombre de la suite
Donc je préfère les distinguer on mettant
L'eposant N
Et le dernier nombre de la suite n

Alors pour l'exercice je l'ai fais en 2 cas
1/ cas ou n est pair
Nous avons 1^2017+2^2017+....+n^2017
Pour avoir la forme de l'identités remarquable
Je regroupe pour avoir
(1^2017+n^2017)+(2^2017+[n-1]^2017)+....
Comme n est pair donc il ne ya n/2 paires
En appliquant l'identité remarquable
On obtient :
1^2017+n^2017=(1+n)(n^2016-n^2015....+1)
(Je préfère nommer le 2eme diviseur X , puis pour les autres d'autres lettre pour ne pas réécrire tout le temps)
Donc 1+n^2017=(n+1)(X)
2^2017+(n-1)^2017=(2+n-1)(Y)
=(n+1)(Y)
Ainsi de suite
Pour avoir a la fin
1+2^2017+3^2017+...+n^2017= (n+1)(X+Y+Z.....)
Et nous avons
1+2+3+4+...n= n(n+1)\2
Comme n est pair donc (n+1)/2 n'est pas entier
Donc on prend 1+2+3+..n= (n+1)(n/2)
Et on obtiens que le pgcd entre les deux somme est n+1

2\ cas ou n est impair :
On a
1+2^2017+3^2017+..+n^2017 comme pour n pair plus
Le nombre du milieu (n+1)/2
Donc = (n+1)(X+Y+Z...) + [(n+1)/2]^2017
Donc = (n+1)(X+Y+Z...+[(n+1)^2016/2^2017)]
Et 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
Comme n est impair donc n/2 n'est pas entier
Donc la somme = (n)[(n+1)/2]
Donc
Il n' y a pas de diviseur commun

Donc en resume
Si n est pair le pgcd est n+1
Si n est impair il n y a pa de pgcd

Me suis je trompé ?

[Resartus]

Bonjour,
Cela démarrait bien, mais tu n'as pas montré que, (pour n pair), n+1 était le pgcd (ce qui est d'ailleurs faux).
Tu as juste démontré que n+1 était un diviseur commun.
Maintenant, essaye de faire un autre regroupement de paires (cette fois en prenant 1 et n-1, 2 et n-2,etc. et en laissant provisoirement de coté les termes en n/2 et en n), pour montrer que n/2 va AUSSI être un diviseur commun de la somme totale.
Pour le cas n impair, il faudra chercher à prouver que (n+1)/2 est un diviseur commun, et que n est aussi un diviseur commun

Au total, on se retrouve maintenant avec deux diviseurs différents, dont le produit vaut n*(n+1)/2 ( qui est justement la somme 1+..+n)
Peut-on conclure que ce produit est le PGCD? Non, pas encore, il faut d'abord s'assurer que ces deux nombres sont premiers entre eux et donc que s'ils divisent tous les deux, le produit divise aussi.
As-tu déjà vu comment on démontre que n et n+1 sont toujours premiers entre eux? Sinon, essaye de le retrouver...

[midorima]

Bonjour
Resartus merci pour tes indications
J'ai essayé de les exploité au max

Bon
Je termine ce que je n'ai pas terminé

1/ cas ou n est pair
On a
1+2^2017+...n^2017= (n+1)(X+Y+Z...)
Donc est divisible par n+1

Rt avec les regroupement 1+n-1 et ...
On obtien
1+(n-1)^2017 +2^2017+(n-2)^2017....
Ce qui donne sans oublier le n et le terme du milieu
n(A)+n(B).....+ (n/2)^2017 + n^2017
Donc = n(A+B+C+....(n^2016/2^2017)+n^2016)
Donc = (n/2)(2A+2B+2C+.....(n^2016/2^2016) +2n^2016)
(Je ne sais pas si je peux faire ça)
Donc 1+2^2017+3^2017+..n^2017
Est divisible par n+1 et par n/2 dans le cas ou n est pair
Et nous avons 1+2+3+4+..+n est divisible par n/2 et n+1 seulement
Donc pgcd des deux somme est n(n+1)/2
Seulement si les deux termes sont premiers entre eux
J'ai cherché et trouvé comment prouver cela
Ce n'est pas tres difficile
n+1=n*1+1
n=1*n+0
Donc pgcd (n+1;n)=1
Donc pgcd de (n+1;n/2) aussi egale a 1
Donc le pgcd des deux sommes pour n pair est n(n+1)/2
Qui est par ailleurs 1+2+3+...+n

Pour n impair
Nous avons
1+2^2017+..+n^2017 = (n+1)(X+Y+Z+....+[(n+1)^2016/2^2017])
Donc ((n+1)/2)(2X+2Y+2Z+.....[(n+1)^2016/2^2016])
Donc divisible par (n+1)/2
On regroupant avec 1et n-1 , 2et n-2
On a la somme est egale a :
n(A+B+C+...)+ n^2017
Donc = n(A+B+C+....+n^2016)
Donc la somme est aussi divisible par n
Et 1+2+3+4+...+nest divisible seulement par n et(n+1)/2
Donc le pgcd des deux sommes est 1+2+3+4+...+n
Puisque pgcd ((n+1)/2;n)=1

Donc pour les deux cas
le pgcd entre les deux somme est 1+2+3+4+...n

Me suis encore trompé ?

[midorima]

Svp
Quelqu'un pour me dire si c'est juste ou je suis a côté de la plaque