Fonction

[Gohan.]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice que voici:
Soit E l'ensemble des fonctions definies sur [0;1], F le sous-ensemble de E constituees des fonctions de hauteur k>0 c'est a dire quelque soit x ∈ [0,1] il existe un reel k positif tel qu'on ait: 0 ≤ f(x) ≤ k(1-x)
J'ai montre que 1 est solution de l'ensemble des fonctions de F.
Probleme: Donner un exemple de fonction de hauteur k qui soit :
1- Derivable sur [0,1], j'ai dit f(x) = 1-x
2- Continue et non derivable (c'est a dire non derivable au moins en un point)
3- Pas continue sur [0,1]
Pourriez-vous m'aider pour le 2 et 3. Merci d'avance
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[worgui]

Pour la 3) tu as la fonction partie partie entiére avec f(1)=1 et la limite lorsque x tend vers 1 est de 0

[PlaneteF]

Bonsoir,

Soit E l'ensemble des fonctions definies sur [0;1], F le sous-ensemble de E constituees des fonctions de hauteur k>0 c'est a dire quelque soit x ∈ [0,1] il existe un reel k positif tel qu'on ait: 0 ≤ f(x) ≤ k(1-x)

... C'est bancal comme énoncé, tu parles de fonctions possédant une propriété liée à un réel positif (constant) et dans ta définition n'est pas forcément constant mais dépend de . Tu es sûr que tu n'aurais pas interverti le "quel que soit" et le "il existe" ?

J'ai montre que 1 est solution de l'ensemble des fonctions de F.

... Un réel qui appartient à un ensemble de fonction ??! ... A moins que tu parles de la fonction constante sur l'intervalle ?


Cordialement

[Gohan.]

Bon je réecris d'une maniere plus claire l'énoncé:
Soit E l'ensemble des fonctions définies sur [0;1].
On dit qu'une fonction f de E est de hauteur k s'il existe un réel k positif tel que, quelque soit x ∈ [0,1] on ait: 0 ≤ f(x) ≤ k(1-x)
On désigne par F le sous-ensemble de E constituées de ces fonctions.
J'ai montre que 1 annule toutes fonctions de F : ici je veux dire que pour toute fonction f de F on a f(1)=0
Probleme: Donner un exemple de fonction de hauteur k qui soit :
1- Dérivable sur [0,1], j'ai dit f(x) = 1-x
2- Continue et non dérivable (c'est à dire non dérivable au moins en un point)
3- Pas continue sur [0,1]
Donc la 1ere remarque de PlaneteF est bonne quant à la 2eme je l'ai explicite ci-dessus.
Et pour Worgui en fait la fonction doit nécessairement vérifié f(1)=0 ce qui n'est pas le cas avec la partie entiere
Merci de m'aider pour le 2 et 3

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bon je réecris d'une maniere plus claire l'énoncé:

Ce n'était pas une question de clareté, ton énoncé était tout simplement faux, ce qui n'est pas la même chose. En effet on ne peut pas intervertir une quantification "il existe" avec une quantification "quel que soit" comme tu l'as fait.

quelque soit

quel que soit le sujet
quels que soient les sujets
quelle que soit la couleur
quelles que soient les couleurs

1- Dérivable sur [0,1], j'ai dit f(x) = 1-x

Oui, ... mais pour être plus complet dans ta réponse tu dois donner une hauteur possible pour cette fonction (toutes les hauteurs ne conviennent pas).

2- Continue et non dérivable (c'est à dire non dérivable au moins en un point)

Par exemple, tu peux prendre la fonction précédente sur un certain intervalle en faisant la jonction avec une fonction constante sur l'intervalle restant. Au point de jonction la fonction ne sera pas dérivable, mais elle sera bien continue. Là encore donner une hauteur qui convient.

3- Pas continue sur [0,1]

Même genre d'idée que pour la question précedente.


Cordialement

[PlaneteF]

Même genre d'idée que pour la question précedente.

Je précise, sans faire de jonction justement pour ne pas avoir la continuité.

Cdt

[gg0]

A noter : Si f est de hauteur k, af est de hauteur ak pour toute constante a. Donc on peut se contenter de traiter le cas k=1.

Cordialement.