[TermS] Exercice fonction exponentielle

[PiChar45]

Bonjour/Bonsoir !

J'ai un petit exercice concernant la fonction exponentielle et je suis bloqué à partir d'un moment et j'aimerais un peu d'aide.

Les documents (graphiques et tableaux) sont en pièce jointe.

" On a représenté avec un tableur l'évolution de la population en Afrique entre 1950 et 2010


1. On souhaite modéliser l'évolution de cette population par une fonction du type : f(t) = ke^{λ(t- 1950)}
a. En utilisant la valeur de la population en 1950, déterminer la valeur de k (* ici il y a marqué "méthode 2" d'ailleurs, mais cette méthode n'apparaît pas sur la feuille...)
b. En utilisant la valeur de la population en 2010, déterminer la valeur de λ.
c. A l'aide d'un tableur, représenter sur un même graphique la fonction f et l'évolution de la population en Afrique entre 1950 et 2010. Que peut-on penser de ce modèle ?

2. Selon ce modèle, donner une estimation de la population en Afrique en 1968 et en 2016.

3. Déterminer une relation entre la fonction f et sa dérivée f'.

4. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Que peut-on penser de l'évolution de ce modèle à long terme ?

"Soit ϕ la fonction définie sur R par :
ϕ(x) = e^x + x + 1
1. Étudier les limites de ϕ aux bornes de son ensemble de définition"
La dernière question est à part mais notre professeur nous a donné une feuille d'exercice donc je me permets de l'ajouter ici vu que c'est en rapport de toute façon

Ce que j'ai fait :
1.a Je remplace donc t par 1950 ce qui donne f(t) = ke^{λ * (0)} soit f(t) = k * 1, je remplace ensuite f(t) par 229 donc k = 229.
1.b Pour ça idem je remplace t par 2010 ce qui donne f(2010) = 229 * e^{λ * (0)}, je fais passer 229 de l'autre côté et j'applique la propriété du logarithme népérien tel que "Si k > 0 , alors ex = k équivaut à x = ln(k)" ce qui donne ln(1031/229) = λ * 60 puis à partir de la je fais passer 60 de l'autre côté et je trouve : λ = 0.025076 (environ, j'ai arrondi)
1.c
xcas_2018-01-04_13-51-37.png Bon pour celle-là je suis un peu confus ... j'ai bel et bien tracé la fonction sur xcas mais... qu'est ce que je peux en drie ? "Que peut-on penser de ce model" je trouve ça plutôt vague, disons qu'il a pour avantage de pouvoir faire des estimations quant à la population à un instant précis (et non pas comme la suite de point fourni sur le graphique), mais est-ce tout ce qu'il y a dire ? Ou alors j'ai loupé quelque chose d'important

2. Donc j'ai juste remplacé t par la date correspondante dans la fonction obtenue ce qui me donne respectivement 359.365 pour 1968 et 1198.4 pour 2016 en millions.
3. Et bien là je "bloque", je veux dire, je sais que la dérivée d'une fonction exponentielle est la même que la fonction elle-même du coup f' = f non ?
4. Et bien, sachant que quand f tend vers plus l'infini, e^x (étant donné que t augmente) et que k est une constante, et bien la fonction f a pour limite l'infini, mais pareil qu'en dire sur l'évolution de ce modèle à long terme ? Tout ce que je peux faire c’est décrire les propriétés de la fonction exponentielle qui sont que la population augmente bien plus vite au cours du temps...

1. L'ensemble de définition de la fonction est R.Quand la fonction tend vers l'infini, e^x et x aussi donc la fonction à pour limite l'infini, quand la fonction tend vers moins l'infini, e^x tend vers 0 mais comme x tend vers moins l'infini, par multiplication, la fonction tend vers moins l'infini. Mais qu'en dire ensuite ? Je veux dire, la question me parait beaucoup trop simple et sans grand intérêt si je l'ai faite correctement du coup je suis un peu perdu...

Merci d'avance pour l'aide, en espérant pouvoir comprendre, passez une bonne journée/soirée !

PS : Curieux mais ma version de lambda (훌) se transforme en caractère chinois après prévisualisation du message du coup j'ai du en prendre une autre
-----

[gg0]

Pour le 1-c, tu peux comparer les valeurs prédites par le modèle aux valeurs réelles
Pour la 4, reviens à la réalité. C'est un modèle de quoi.

Dans les deux cas, tu fais des calculs sans t'occuper de ce qu'ils signifient. Est-ce vraiment sérieux ?

C ordialement0

[PiChar45]

Pour le 1-c, tu peux comparer les valeurs prédites par le modèle aux valeurs réelles
Pour la 4, reviens à la réalité. C'est un modèle de quoi.

Dans les deux cas, tu fais des calculs sans t'occuper de ce qu'ils signifient. Est-ce vraiment sérieux ?

C ordialement0

Bonsoir,

En comparant toutes la valeurs, il ya une marge d'erreur qui oscille entre 10 et 0 les résultats du tableaux et ceux obtenus à travers le modèle (229 pour 1950, 294 pour 1960, 378 pour 1970, 486 pour 1980, 624 pour 1990, 802 pour 2000 et, 1031 pour 2010). On peut donc penser que globalement ce modèle est fiable et propose des prévisions plutôt correctes quant à l'évolution de la population ?

Pour la 4, c'est un modèle modélisant l'évolution d'une population à travers le temps mais je n'arrive toujours pas à interpréter, si je devais interpréter ça en dehors de toute interprétation mathématiques, je dirais que ce modèle sur le très long terme semble irréel car plusieurs événements peuvent jouer sur l'évolution d'une population (qui aura techniquement parlant toujours une limite finie).

[ansset]

Pour la 4, c'est un modèle modélisant l'évolution d'une population à travers le temps mais je n'arrive toujours pas à interpréter, si je devais interpréter ça en dehors de toute interprétation mathématiques, je dirais que ce modèle sur le très long terme semble irréel car plusieurs événements peuvent jouer sur l'évolution d'une population (qui aura techniquement parlant toujours une limite finie).

n'est ce pas là le point important de la réflexion. ? ( indépendamment des "facteurs" ou "évènements" inconnus sur l'avenir )
car, qu'en est-il de la limite de la fonction elle-même ? (qu'on demande de calculer )

[A voir en vidéo sur Futura]

[PiChar45]

n'est ce pas là le point important de la réflexion. ? ( indépendamment des "facteurs" ou "évènements" inconnus sur l'avenir )
car, qu'en est-il de la limite de la fonction elle-même ? (qu'on demande de calculer )

En elle-même la fonction tend bien vers +∞ ?
A ce moment l'utilisation d'un tel modèle n’entraîne-t-il pas une contradiction dans ce cas-là ?

[gg0]

Le modèle donne effectivement, pour un temps infini, une limite infinie. Ce qui donne une bonne raison de ne pas l'utiliser indéfiniment. Mais après tout, il a été construit sur des données correspondant à une durée très faible (60 ans). Une bien meilleure critique serait de regarder ce qu'il donne pour l'an 2400 et de comparer à la superficie de l’Afrique. Moins de 2m² par personne en moyenne !?! Ou de regarder ce que ça donne en l'an 1000 (environ 0,1 habitant !!).

Toutes ces réflexions sont du sens commun, pas des maths. Il est évident que ce qui s'est passé entre 1950 et 2010 n'a aucune raison de se poursuivre éternellement, ni ne représente ce qui s'est passé entre l'an 1000 et aujourd'hui.

Donc, comme c'est ton exercice, réponds de façon raisonnable aux questions posées, sans attendre que d'autres réfléchissent à ta place.

Cordialement.

[PiChar45]

Le modèle donne effectivement, pour un temps infini, une limite infinie. Ce qui donne une bonne raison de ne pas l'utiliser indéfiniment. Mais après tout, il a été construit sur des données correspondant à une durée très faible (60 ans). Une bien meilleure critique serait de regarder ce qu'il donne pour l'an 2400 et de comparer à la superficie de l’Afrique. Moins de 2m² par personne en moyenne !?! Ou de regarder ce que ça donne en l'an 1000 (environ 0,1 habitant !!).

Toutes ces réflexions sont du sens commun, pas des maths. Il est évident que ce qui s'est passé entre 1950 et 2010 n'a aucune raison de se poursuivre éternellement, ni ne représente ce qui s'est passé entre l'an 1000 et aujourd'hui.

Donc, comme c'est ton exercice, réponds de façon raisonnable aux questions posées, sans attendre que d'autres réfléchissent à ta place.

Cordialement.

D'accord, je comprends.

Merci une nouvelle fois pour l'aide, passez une bonne journée !