À la Racine du Carré, voire du Cube : série de questions (pièges ? ;) )

[Khwartz]

Bonjour,

J'ai une série de questions pour vous dont voici la première :

Dans un plan muni d'un repère orthonormé, combien de carrés peut-on tracer de côtés de mesure l'unité, dont l'un des sommets est l'origine du repère et deux côtés sur les axes du repère ? ^^

Cordialement.
-----

[Khwartz]

Lol, soit vous croyez que ma question est "trop évidente", "trop triviale", soit vous manquez d'Esprit De Jeu, les gars ! ^_^

Cela dit, si votre réponse était "4", demandez-vous quelle est L'AIRE D'UN CARRÉ DONT UN DES CÔTÉS "MESURE" "-1" ET L'AUTRE "1" ?

Oui, parce qu'il s'agit d'une figure "dans un plan MUNI d'un repère orthonormé". En bref, il s'agissait de vous "titiller" à propos de la définition d'un CARRÉ (ou d'un CUBE) et de rapprocher cela de la définition ÉTYMOLOGIQUE de LA RACINE CARRÉE (ou CUBIQUE).

Voyez-vous où je veux en venir, ou dois-je demander à ce que cette discussion soit transférée dans le forum du Supérieur pour avoir plus de chances d'avoir une quelconque Participation Constructive, voire Ludique ? ^_^

[mach3]

Cela dit, si votre réponse était "4", demandez-vous quelle est L'AIRE D'UN CARRÉ DONT UN DES CÔTÉS "MESURE" "-1" ET L'AUTRE "1" ?

si la métrique est celle d'Euclide, alors les cotés mesurent 1. Jamais -1. Toujours si la métrique est celle d'Euclide, alors on obtient la surface orientée d'un parallélogramme, en effectuant le produit extérieur entre les vecteurs de deux cotés adjacents. La surface orientée obtenue dans le cas présenté sera, selon l'ordre choisi (produit extérieur antisymétrique) I ou -I (avec I l'unité pseudoscalaire) et peut se transformer en 1 ou -1 en prenant le dual de Hodge (qui en 2D renvoie pseudoscalaire vers scalaire). La norme du bivecteur obtenu par ce produit extérieur sera par contre toujours 1. Jamais -1.

m@ch3

[duduch74]

1) à partir du moment où tu parles de sommets et de cotés, il s'agit d'un carré en tant que figure (quadrilatère à 4 cotés de mêmes longueurs et 4 angles droits).
2) sur un axe, une distance entre un point de cet axe et l'origine n'est pas égale à l’abscisse du point mais à la valeur absolue de celle-ci. Et plus généralement la distance entre deux points est égale à la valeur absolue de la différence des abscisses des deux points. Par conséquent ton carré ne pourra jamais avoir un coté de longueur -1.
3) la racine carré est toujours positive.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Khwartz]

Salut M@ch3. Merci BEAUCOUP pour ta réponse qui je crois a "titillé" Encore Plus ma Curiosité que je pensais le faire pour vous !

Et bien, je crois que j'ai pas mal de Nouvelles Choses à étudier avant de vraiment pouvoir Profiter Complètement du contenu de ta réponse mais ne crois pas que c'est un mal, c'est même Mieux que j'en rêvais !

Cela dit, je crois qu'il y beaucoup à voir avec les CONVENTIONS : moi ça m'amuse de pouvoir définir une "aire ALGÉBRIQUE" en me basant sur les mesures algébriques des côtés, pour ces "REPRÉSENTANTS" Très Particuliers de la classe d'équivalence de tous les carrés de côtés de LONGUEUR l'unité, et là on est d'accord on parle de distance sur Métrique Euclidienne, mais je vois bien qu'il a déjà été conçu des objets qui s'approchent de cette idée, donc je vais étudier ça de plus près afin de ne pas "réinventer le fil à couper de beurre"

Merci Encore Cher M@ch3 pour ton Aide

En passant, si tu as des liens vers les notions que tu décris ...

Bien Cordialement,
Didier

[Khwartz]

Bonjour duduch74, Merci pour ta réponse.

1) à partir du moment où tu parles de sommets et de cotés, il s'agit d'un carré en tant que figure (quadrilatère à 4 cotés de mêmes longueurs et 4 angles droits).

Oui, je comprends bien dans une utilisation Habituelle mais j'essaie de me montrer Créatif ! ^_^

Mon idée là c'était de considérer ces carrés comme des "REPRÉSENTANTS" Très Particuliers de la classe d'équivalence de tous les carrés de côtés de longueur l'unité, un peu comme pour les vecteurs. Cela dit, ayant lu le post de m@ch3, je réalise que ces représentants sont même "trop restrictifs" car comment définir la mesure algébrique d'un côté qui serait à 45° par rapport à l'axe des abscisses ? Les mesures algébriques à la rigueur pouvaient être utilisées pour ces quatre carrés car leurs côtés étaient parallèles aux axes du repère mais sinon je crois qu'effectivement, définir des classes d'équivalences à l'aide de couples de vecteurs est bien plus "Riche" (je vais étudier les objets dont m@ch me parle ^_^).

2) sur un axe, une distance entre un point de cet axe et l'origine n'est pas égale à l’abscisse du point mais à la valeur absolue de celle-ci. Et plus généralement la distance entre deux points est égale à la valeur absolue de la différence des abscisses des deux points. Par conséquent ton carré ne pourra jamais avoir un coté de longueur -1.

Je sais bien tout ça mais je ne définissais pas mes carrés de cette façon, justement PAR CHOIX de ne PAS considérer les DISTANCES, les LONGUEURS des côtés mais bel et bien LA MESURE ALGÉBRIQUE DES CÔTÉS DE CES "REPRÉSENTANTS" SPÉCIFIQUES DE LA CLASSE D'ÉQUIVALENCE QUE J'INVENTAIS DE TOUS LES CARRÉS DE CÔTÉS DE LONGUEUR L'UNITÉ QUE LE PLAN PEUT CONTENIR, AVEC EN PLUS LA DÉFINITION D'UNE AIRE "ALGÉBRIQUE" (ou "ORIENTÉE" comme le dit m@ch). C'était de la Créativité, pas une demande d'info nécessairement sur ce qui existe et sur ce qui se fait habituellement (même si j'Apprécie que l'on veuille bien Prendre Le Temps de m'en Informer ).

3) la racine carré est toujours positive.

Oui, dans l'ensemble des Réels mais on se s'est pas empêché historiquement d'Inventer Des Nouveaux Objets tels que les "i", nombre "Imaginaire", n'est-ce pas ? et La Seule Véritable Restriction Mathématique à la Création n'est-elle pas LA COHÉRENCE LOGIQUE ? À moins bien sûr que tu n'interdises la Créativité ou ne la réserve qu'à ceux qui sont bardés de Diplômes ?

[mach3]

Le sujet mériterait d'être déplacé en mathématiques du supérieur, l'algèbre extérieure ce n'est pas vraiment de niveau lycée. D'ailleurs, même le produit vectoriel, qui est une espèce de bricolage issue de l'algèbre extérieure, n'est plus de niveau lycée.

Pour résumer, le produit extérieur sert, entre autres, à fabriquer des k-vecteurs, qui selon la valeur de k, sont des vecteurs (k=1), des aires orientées (k=2), des volumes orientés (k=3), etc. Le produit extérieur est antisymetrique :

ce qui implique

comme conséquence k se limite au nombre de dimensions de l'espace vectoriel considéré (et tant mieux car par exemple, des volumes en 2D on ne saurait qu'en faire).
Pour une valeur de k donnée, l'ensemble des k-vecteurs est un espace vectoriel (addition interne formant un groupe, multiplication par les scalaires du corps de base).

m@ch3

[Khwartz]

Bonjour à nouveau m@ch3. Merci pour ta nouvelle réponse

Si le produit vectoriel ne fait plus partie du programme de lycée alors que c'était le cas il y a quelques année, et ce même en seconde, cela veut-il dire que le niveau de l'enseignement des mathématiques s'est effondré ?

Sinon quelque chose m'intrigue : tu parles D'ANTISYMÉTRIE mais l'exemple que tu donnes juste après n'est-il pas un exemple de COMMUTATIVITÉ ? ^_^ ("u ^ v = v ^ u")

[ansset]

Une faute de frappe très certainement, car le produit vectoriel est bien antisymétrique.

[mach3]

oui j'ai oublié le signe "-"... c'est u^v=-v^u qu'il faut lire, évidemment, et du coup u^v + v^u = 0. En particulier u^u + u^u =0, donc u^u=0.

Concernant le produit vectoriel, c'était au programme de terminale jusqu'au début des années 2000 (j'y ai eu le droit, en math pour les surfaces orientées et en physique pour la force de Lorentz), et a été enlevé depuis. Oui, les étudiants qui arrivent actuellement en 1ere année de fac sont de très bas niveau en maths/physique comparé à il y a 20 ans, problème connu (les profs de première année de fac s'en plaignaient il y a encore 10 ans, maintenant ils sont... habitués à tout reprendre depuis le début). Il parait que le produit vectoriel va revenir avec la prochaine réforme.

m@ch3

[Khwartz]

Il me semblait bien !

RELATION ANTISYMÉTRIQUE : a R b = b R a => a = b ; on est bien d'accord ? (R, RELATION BINAIRE INTERNE)

RELATION COMMUTATIVE : si a R b alors b R a ? (idem)

Ai-je fais une erreur ? ou j'ai tout bon ? ^_^

[Khwartz]

oui j'ai oublié le signe "-"... c'est u^v=-v^u qu'il faut lire, évidemment, et du coup u^v + v^u = 0. En particulier u^u + u^u =0, donc u^u=0.

Ah oui, là je Comprends Mieux ! Merci pour la Correction

Concernant le produit vectoriel, c'était au programme de terminale jusqu'au début des années 2000 (j'y ai eu le droit, en math pour les surfaces orientées et en physique pour la force de Lorentz), et a été enlevé depuis. Oui, les étudiants qui arrivent actuellement en 1ere année de fac sont de très bas niveau en maths/physique comparé à il y a 20 ans, problème connu (les profs de première année de fac s'en plaignaient il y a encore 10 ans, maintenant ils sont... habitués à tout reprendre depuis le début). Il parait que le produit vectoriel va revenir avec la prochaine réforme.

m@ch3

Et bé ! J'ai récupéré des vieux manuels des programmes de 70-80 (de la 6ème à la seconde, éditions des "Mauguin" et des "Dimathème)" qui nous ont permis d'engendrer au moins 1 Médaille Field : Alain Connes, et dès la 6ème on introduit la logique, la Théorie des Ensembles, les relations, etc. Je me suis fait déjà 3 fois de suite les programmes plus récents mais il me tarde de faire ceux-là car à côté, les derniers à côté ressemblent à jouer à la marelle ! ^_^

[mach3]

attention, là ce n'est pas une relation (une relation donne une valeur de vérité, un booléen, en fonction des arguments qu'on lui fourni) binaire, mais ternaire (entre deux vecteurs et un bivecteur). .
On appelle cela une loi de composition binaire externe (deux vecteurs d'un espace vectoriel V donnent un truc qui n'est pas un vecteur de l'espace vectoriel V). Par contre ça marche un peu comme les relations, une loi binaire "." peut être commutative si a.b=b.a, ou antisymétrique si a.b = -b.a, ou aucun des deux.

m@ch3

[Khwartz]

attention, là ce n'est pas une relation (une relation donne une valeur de vérité, un booléen, en fonction des arguments qu'on lui fourni)

Euh, Wikipedia ne semble pas d'accord avec toi et dans les souvenirs, une OPÉRATION est bel est bien une relation :/

"En mathématiques, une relation binaire entre deux ensembles E et F (ou simplement relation entre E et F) est définie par un sous-ensemble du produit cartésien E × F, soit une collection de couples dont la première composante est dans E et la seconde dans F. Cette collection est désignée par le graphe de la relation. Les composantes d'un couple appartenant au graphe d'une relation R sont dits en relation par R. Une relation binaire est parfois appelée correspondance entre les deux ensembles."

https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_binaire

binaire, mais ternaire (entre deux vecteurs et un bivecteur). .
On appelle cela une loi de composition binaire externe (deux vecteurs d'un espace vectoriel V donnent un truc qui n'est pas un vecteur de l'espace vectoriel V).

Et oui, Merci de me Reprendre c'est bien une LOI DE COMPOSITION EXTERNE puisque que l'on ne reste pas dans l'ensemble des vecteurs (enfin ESPACE VECTORIEL) avec cette opération J'étais resté avec le PRODUIT VECTORIEL qui lui est bien une LOI DE COMPOSITION INTERNE, on se place dans un ESPACE À 3 DIMENSIONS ; n'est-ce pas ?

Est-on bien d'accord pour le PRODUIT EXTERNE : "VOLUME ORIENTÉ" ou "BIVECTEUR" sont synonymes ? (en partant de la définition d'une BOULE de DIMENSION "n", "n" entier naturel différent de zéro, est l'ensemble de points qui vérifient DISTANCE < ou = à "r", RAYON DE LA BOULE, "n" pouvant être donc égale 1 ou 2 aussi) ?

Par contre ça marche un peu comme les relations, une loi binaire "." peut être commutative si a.b=b.a, ou antisymétrique si a.b = -b.a, ou aucun des deux.

m@ch3

Je pense voir ce que tu veux dire mais je crois que ma remarque plus haut tient toujours

[mach3]

Euh, Wikipedia ne semble pas d'accord avec toi et dans les souvenirs, une OPÉRATION est bel est bien une relation :/

oui, mais le produit extérieur entre u et v n'est pas une relation entre u et v. C'est pas tout à fait pareil d'écrire uRv = vRu ssi u=v pour une relation antisymétrique et u.v=v.u ssi u=v pour une loi binaire antisymétrique "." (dans le premier cas on égale du booléen, dans le deuxième un machin résultant de l'opération "." appliquée sur u et v).

Et oui, Merci de me Reprendre c'est bien une LOI DE COMPOSITION EXTERNE puisque que l'on ne reste pas dans l'ensemble des vecteurs (enfin ESPACE VECTORIEL) avec cette opération J'étais resté avec le PRODUIT VECTORIEL qui lui est bien une LOI DE COMPOSITION INTERNE, on se place dans un ESPACE À 3 DIMENSIONS ; n'est-ce pas ?

oui, en 3D, le dual de Hodge d'un bivecteur (une surface orientée) est un vecteur, enfin un pseudovecteur parce qu'il ne se transforme pas pareil qu'un vecteur. Le dual de Hodge du bivecteur u^v est le produit vectoriel u x v (j'adopte la notation anglo-saxone du produit vectoriel car en france on utilise ^ donc bonjour les confusions). De même le dual de Hodge du trivecteur u^v^w (un volume orienté) est le "produit mixte" u.(v x w) (pas sûr de l'ordre, à vérifier...), c'est un "pseudoscalaire". A l'inverse on peut prendre le dual de Hodge d'un scalaire pour obtenir un volume orienté, ou le dual de Hodge d'un vecteur pour obtenir une surface orientée. Le dual de Hodge fait intervenir le symbole de Levi-Civita.

m@ch3