dérivée distribution de 1/r

feldid · 18/10/2006 - 09h59

Bonjour,
je cherche une preuve directe du fait que la partie distribution de
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\frac{1}{r})$ est $\frac{-4\pi}{3} \delta(\vec{r})$
on peut le voir en partant de $\Delta (\frac{1}{r})=-4\pi \delta(\vec{r})$ et en permutant les axes mais quelqu'un connaît-il un calcul explicite?
merci!

rvz · 18/10/2006 - 12h13

Bonjour,

Je te suggère de remarquer que 1/r ressemble beaucoup à 1/ sqrt(r^2 + e^2) en faisant tendre e vers 0. Comme la dérivation est continues sur les distributions, tu devrais arriver au résultat.

__
rvz

feldid · 18/10/2006 - 13h50

le problème c'est la commutation des passages à la limite:
$\partial_x((r^2+e^2)^{-1/2})=-x (r^2+e^2)^{-3/2}$
prenons par exemple y=z=0 alors
l'expression devient:
$-x(|x|^2+e^2)^{-3/2}$
si je fais tendre x vers 0 puis e vers 0 j'obtiens 0
si je fais tendre e vers 0 j'obtiens x/|x|^3 infini en x=0
il me semble qu'avec cette méthode je n'obtiendrai que la partie régulière...mais j'ai peut-être loupé qqchose...

rvz · 18/10/2006 - 14h22

D'accord, je dis des conneries. Essaye plutot de revenir à la definition d'une dérivée distributionnelle. Tu multiplies par une fonction test regulière, et tu fais des IPP contre 1/r en faisant attention à ce qui se passe en zéro en disant qu'en gros f(x) = f(0) + x f'(0) + o(x^2) au voisinage de 0.

_-
rvz

dérivée distribution de 1/r

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