Dérivée partielle

Lévesque · 29/11/2006 - 19h12

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel $f= f(t,t_1,t_2,...,t_n)$

$\frac{\partial f\left( TT...T\right) }{\partial T}=\left[ \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t_{1}}+...+\frac{\partial f}{\partial t_{n}}\right] _{t_{s}=T}$

Est-ce évident?

Merci,

Simon

Gwyddon · 29/11/2006 - 19h49

Salut,

C'est une simple histoire de dérivation d'une fonction composée

Lévesque · 01/12/2006 - 00h45

Ok,

en fait, je bosse dans le formalisme de Tomonaga-Schwinger (fonctions d'ondes avec une coordonné de temps par particule) et j'ai souvent à dériver par rapport à T après avoir imposé t1=t2=...=T, exactement comme dans mon premier message.

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

Gwyddon · 01/12/2006 - 07h11

Envoyé par Lévesque

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par $\displaystyle \left(\frac{dx_i}{dt_i} \right)_{t_i=T}$

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

Là désolé je ne vois pas (et tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies

)

Lévesque · 01/12/2006 - 17h21

Envoyé par Gwyddon

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Tout à fait.

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par $\displaystyle \left(\frac{dx_i}{dt_i} \right)_{t_i=T}$

J'en doute. La dérivée par rapport à T est partielle. Pour cette raison, j'ai l'impression que dériver f(x1,x2,...,xn,T,T,...,T) par rapport à T donnera le même résultat que celui de mon premier post, simplement en remplaçant f(T,T,...,T) par f(x1,...,xn,T,T,...,T). Aussi, je me suis toujours dit qu'avec des impressions on ne va pas loin en math, voilà pourquoi je demande. Je n'ai pas envie de faire le calcul...

tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies

)

hehe, je ne m'étais même pas aperçu

Simon

Gwyddon · 02/12/2006 - 16h40

Je n'en doute pas de ma réponse

Si tu considère xi(t), il n'y a pas de souci

Lévesque · 02/12/2006 - 19h36

Bonjour Gwyddon,

je suis désolé, mais je ne comprends pas ce que tu veux dire. Voilà ce que j'ai compris de tes interventions:

Pour une fonction $f\left( x_{1},...,x_{n},t_{1},...,t_{n }\right)$ , on aurait

$\frac{\partial f\left( x_{1},...,x_{n},T,...,T\right) }{\partial T}=\left[ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\frac{dx_{1}}{dt_{1}}+.. .+ \frac{ \partial f}{ \partial x_{n}} \frac{dx_{n}}{dt_{n}}+ \frac{ \partial f}{ \partial t_{1}}+...+\frac{\partial f}{\partial t_{n}}\right] _{t_{s}=T}$

Si c'est bien ce que tu veux dire, je continue de douter très fort...(la dérivée est partielle!) Soit j'ai mal compris, soit j'ai besoin d'explications plus approfondies.

Personne ne peut m'indiquer rapidement comment établir cette relation?

Cordialement,

Simon

Gwyddon · 02/12/2006 - 19h45

Ok, alors j'y vais plus en détail.

Ce que tu veux dériver, c'est

$g(T) = f(x_1(R), x_2(T), ..., x_n(T), T, T, ... , T)$

Ok ?

Alors tu dérives composante par composante, et tu appliques la dérivation d'une fonction composée :

$\displaystyle g'(T) = \sum_{i=1}^n x_i'(T) \frac{\partial f}{\partial x_i}(T) + \sum_{i=1}^{n} \frac{dT}{dT} \frac{\partial f}{\partial t_i} (T)$

Ton trouble vient du fait qu'en physique on n'introduit pas g, et on traite f indiféremment selon qu'elle dépende de T, t, etc...

b@z66 · 02/12/2006 - 19h51

Envoyé par Lévesque

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel $f= f(t,t_1,t_2,...,t_n)$

$\frac{\partial f\left( TT...T\right) }{\partial T}=\left[ \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t_{1}}+...+\frac{\partial f}{\partial t_{n}}\right] _{t_{s}=T}$

Est-ce évident?

Merci,

Simon

Pour moi personnellement ça l'ai, tu imposes apparemment t=t1=t2....=T donc quand tu dérives partiellement n'importe laquelle de tes variables t par rapport à T, ça donne 1. Quand tu appliques ça à ta dérivée totale de f par rapport à T, tous les éléments de ta somme dans le second membre se trouve donc affublé d'un coefficient unité. Où est le problème?

Lévesque · 02/12/2006 - 20h04

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

b@z66 · 02/12/2006 - 20h09

Envoyé par Lévesque

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!

Que ce soit une dérivée partielle, je le considérai effectivement comme évident comme de toute façon une dérivée "classique" n'est de toute manière pas définie pour une fonction de plusieurs variables, ce n'est donc pas la peine de prendre les autres pour des neuneus.

Quant à tes xi, s'ils sont indépendants de T, tes dérivées partielles de xi par rapport à n'importe quel ti(égal à T) seront donc nulles. Franchement, il n'y a pas à se prendre la tête là-dessus, c'est à toi de voir si tes variables xi sont indépendantes de T, c'est tout.

Lévesque · 02/12/2006 - 20h15

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

Gwyddon · 02/12/2006 - 20h26

Envoyé par Lévesque

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

Ok d'accord, je ne l'avais effectivement pas compris comme cela... Désolé Simon, je pensais que tes variables dépendaient de la variable T

Alors ce que dis b@z66 est très juste

Tu reprend ma formule, mais à la place de $x_i'(t)$ tu mets 0

b@z66 · 02/12/2006 - 20h28

Envoyé par Lévesque

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

Franchement, j'ai un peu du mal à comprendre où tu butes. Pour rappel, la différentielle totale (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...%A9e_partielle)
peut s'utiliser pour calculer aussi les dérivées partielles par rapport à T(par exemple), seulement, tu remplaces simplement les différentielles d'une variable dans la formule du lien ci-dessus par les dérivées partielles de cette même variable par rapport à T. La formule de différentielle totale s'applique de toute façon généralement avec les dérivées partielles vu le nombre de variables mis en jeu.

Lévesque · 02/12/2006 - 20h40

Bah, je ne sais pas non plus pourquoi je bute. Essayez seulement de faire la preuve sur une feuille de papier. Écrivez la totale, et essayez d'obtenir une expression pour la dérivée partielle de f(x...,T,...T) par rapport à T. Si vous trouvez comment, je suis preneur.

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