Dérivée partielle

[Lévesque]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon
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[Gwyddon]

Salut,

C'est une simple histoire de dérivation d'une fonction composée

[Lévesque]

Ok,

en fait, je bosse dans le formalisme de Tomonaga-Schwinger (fonctions d'ondes avec une coordonné de temps par particule) et j'ai souvent à dériver par rapport à T après avoir imposé t1=t2=...=T, exactement comme dans mon premier message.

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

[Gwyddon]

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

Là désolé je ne vois pas (et tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Tout à fait.

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par

J'en doute. La dérivée par rapport à T est partielle. Pour cette raison, j'ai l'impression que dériver f(x1,x2,...,xn,T,T,...,T) par rapport à T donnera le même résultat que celui de mon premier post, simplement en remplaçant f(T,T,...,T) par f(x1,...,xn,T,T,...,T). Aussi, je me suis toujours dit qu'avec des impressions on ne va pas loin en math, voilà pourquoi je demande. Je n'ai pas envie de faire le calcul...

tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies )

hehe, je ne m'étais même pas aperçu


Simon

[Gwyddon]

Je n'en doute pas de ma réponse

Si tu considère xi(t), il n'y a pas de souci

[Lévesque]

Bonjour Gwyddon,

je suis désolé, mais je ne comprends pas ce que tu veux dire. Voilà ce que j'ai compris de tes interventions:

Pour une fonction , on aurait



Si c'est bien ce que tu veux dire, je continue de douter très fort...(la dérivée est partielle!) Soit j'ai mal compris, soit j'ai besoin d'explications plus approfondies.

Personne ne peut m'indiquer rapidement comment établir cette relation?

Cordialement,

Simon

[Gwyddon]

Ok, alors j'y vais plus en détail.

Ce que tu veux dériver, c'est



Ok ?

Alors tu dérives composante par composante, et tu appliques la dérivation d'une fonction composée :



Ton trouble vient du fait qu'en physique on n'introduit pas g, et on traite f indiféremment selon qu'elle dépende de T, t, etc...

[b@z66]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon

Pour moi personnellement ça l'ai, tu imposes apparemment t=t1=t2....=T donc quand tu dérives partiellement n'importe laquelle de tes variables t par rapport à T, ça donne 1. Quand tu appliques ça à ta dérivée totale de f par rapport à T, tous les éléments de ta somme dans le second membre se trouve donc affublé d'un coefficient unité. Où est le problème?

[Lévesque]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

[b@z66]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!

Que ce soit une dérivée partielle, je le considérai effectivement comme évident comme de toute façon une dérivée "classique" n'est de toute manière pas définie pour une fonction de plusieurs variables, ce n'est donc pas la peine de prendre les autres pour des neuneus.

Quant à tes xi, s'ils sont indépendants de T, tes dérivées partielles de xi par rapport à n'importe quel ti(égal à T) seront donc nulles. Franchement, il n'y a pas à se prendre la tête là-dessus, c'est à toi de voir si tes variables xi sont indépendantes de T, c'est tout.

[Lévesque]

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

[Gwyddon]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

Ok d'accord, je ne l'avais effectivement pas compris comme cela... Désolé Simon, je pensais que tes variables dépendaient de la variable T

Alors ce que dis b@z66 est très juste

Tu reprend ma formule, mais à la place de tu mets 0

[b@z66]

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

Franchement, j'ai un peu du mal à comprendre où tu butes. Pour rappel, la différentielle totale (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...%A9e_partielle)
peut s'utiliser pour calculer aussi les dérivées partielles par rapport à T(par exemple), seulement, tu remplaces simplement les différentielles d'une variable dans la formule du lien ci-dessus par les dérivées partielles de cette même variable par rapport à T. La formule de différentielle totale s'applique de toute façon généralement avec les dérivées partielles vu le nombre de variables mis en jeu.

[Lévesque]

Bah, je ne sais pas non plus pourquoi je bute. Essayez seulement de faire la preuve sur une feuille de papier. Écrivez la totale, et essayez d'obtenir une expression pour la dérivée partielle de f(x...,T,...T) par rapport à T. Si vous trouvez comment, je suis preneur.

[b@z66]

Le calcul se résume à cette formule, simplement dans cette formule si tes variables xi sont indépendantes des ti (et donc de T), les dérivées partielles de xi par rapport à T sont nulles et comme toutes tes variables ti sont égales à T, alors les dérivées partielles de ti par rapport à T font 1. Le calcul est rapide. Sinon pour la formule des dérivées totales, je vais quand même pas te la démontrer.

[Lévesque]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

[b@z66]

Petite erreur typographique de ma part, excuses. Quant à la formule, ce n'est pas celle des "dérivées totales" (j'ai fait une confusion avec les probas) mais de la différentielle totale. Bonsoir.

[b@z66]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

C'est bien de dire que c'est faux mais dans ce cas là on explique alors pourquoi. Où est l'erreur ?

[Gwyddon]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

Le truc, c'est que tu nous dis ça sans nous dire pourquoi. Je suis sûr de ce qu'affirme b@z66, j'ai eu un cours sur les diff il y a deux ans et ce n'est pas plus bête que ça.

[Lévesque]

Bonjour,

je suis désolé, j'étais un peu pressé hier. Mais j'ai répété plusieurs fois pourquoi c'est faux. Vous utilisez à gauche de l'égalité le symbole pour la dérivée partielle, et vous écrivez à droite de l'égalité l'expression de la dérivée totale. Aussi, lorsqu'on écrit dx ou dz ou dx/dz, chaque quantité d? est un objet bien défini, qui est par définition infinitésimal. Mais le symbole del n'a pas le meme sens, la quantité del x n'existe pas, elle n'est pas définie. Seulement la quantité del/del T a un sens.

Maintenant, comme je l'ai répété dans presque tous mes messages, vous partez de la définition d'une différentielle exacte, vous divisez par dT, vous remplaçez les d par des del, vous éliminez des termes; et comme cela donne ce que je cherche à démontrer, vous affirmez que c'est simple... je veux bien, mais le fait que c'est simple ne change rien au fait que c'est faux.

Ce que je voulais éviter, c'est de faire la preuve par la définition de la dérivée partielle, en terme de la limite. J'aurais aimé trouver un document fiable où les développements sont faits. Mais je sais que c'est assez simple... jvais regarder ça quand j'aurai quelques minutes.

Merci pour votre aide,

Simon

[Gwyddon]

Le truc Simon c'est que je pense que tu ne maîtrises pas suffisamment les différentielles (je ne me veux pas méchant, mais réaliste). Notre calcul est *mathématiquement* rigoureux, sans même parler d'éléments infinitésimal... Reprend un cours de différentielle niveau L2 par exemple, et tu comprendras ce que l'on entend par "composée de fonction" lorsque rentre en jeu une fonction de plusieurs variables, et une fonction d'une variable.

Si tu préfères, on note g(T)=T, et h(T)=f(x1,x2,x3,...,xn,g(T),g( T),...,g(T)) . h est une fonction d'une seule variable, dérive-la par rapport à T et dis-moi ce que tu trouves.

[Rincevent]

Le truc Simon c'est que je pense que tu ne maîtrises pas suffisamment les différentielles (je ne me veux pas méchant, mais réaliste).

j'en suis pas certain

Notre calcul est *mathématiquement* rigoureux

bah non, pas pour moi. Comme Simon le dit, vous jonglez avec la dérivée partielle comme si elle était totale... la formule qu'il donne au départ est un abus de notation typique des physiciens... le résultat auquel vous arrivez est juste, mais Simon a tout à fait raison en disant que la formule qu'il a trouvée dans sa lecture n'est pas rigoureuse. Comme le rappelle le lien vers Wikipédia, une dérivée partielle n'est proprement définie que pour une fonction qui a pour arguments diverses variables dont celle par rapport à laquelle on veut dériver, ce qui précise implicitement les "variables qui restent constantes".

Si tu préfères, on note g(T)=T, et h(T)=f(x1,x2,x3,...,xn,g(T),g( T),...,g(T)) . h est une fonction d'une seule variable, dérive-la par rapport à T et dis-moi ce que tu trouves.

un truc qui n'a rien à voir avec une dérivée partielle mais plutôt avec une différentielle totale d'où le problème dans la notation indiquée dans le premier message de Simon...

[Gwyddon]

Le truc, c'est que bien sûr que la notation physicienne est ambigüe/mauvaise, je l'ai déjà fait remarquer dans ce fil...

C'est pourquoi j'ai repris la démo en notant précisément les fonctions à employer, or Simon bute sur cette démo...

Je ne vois donc en rien l'erreur de la démonstration mathématique (en spécifiant bien les fonctions employées) fournie par b@z66 et moi. S'il y a une erreur précise, dites-le et j'irai me rhabiller

[Rincevent]

C'est pourquoi j'ai repris la démo en notant précisément les fonctions à employer, or Simon bute sur cette démo...

je crois qu'il bute car la démo que tu mentionnes ne démontre pas le résultat annoncé dans son premier message (car ce résultat est faux). La formule que tu rappelles porte sur une différentielle totale et pas une dérivée partielle.

Je ne vois donc en rien l'erreur de la démonstration mathématique (en spécifiant bien les fonctions employées) fournie par b@z66 et moi. S'il y a une erreur précise, dites-le et j'irai me rhabiller

bah par exemple dans le message datant d'hier 21h55, l'équation est inexacte car elle comprend à gauche une dérivée partielle, ce qui n'a aucun sens. Il ne s'agit pas d'erreur proprement dite (en tous cas pour un physicien ) mais d'ambiguïté dans l'écriture qui rend le tout flou et donc aussi vrai que pas vrai. Une dérivée partielle n'a de sens que dans un contexte clairement posé et là c'est pas le cas. M'enfin, le problème est surtout que lorsqu'on fait de la physique faut savoir être un peu schizo du point de vue math: faut parfois jongler entre les trucs proprement écrits et ceux écrits "à la physicienne"...

[Lévesque]

Simon a tout à fait raison en disant que la formule qu'il a trouvée dans sa lecture n'est pas rigoureuse

Salut Rincevent,

mon problème, c'est que la formule que j'énonce dans mon premier message provient de l'article de Dirac, Fock et Podolsky, On Quantum Electrodynamics, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion (1932) lequel est l'article fondateur du formalisme à temps-multiple. Wentzel, dans son livre Quantum Theory of Fields (p. 141, 2e équation), n'écrit pas explicitement cette formule, mais un calcul qu'il explicite montre clairement qu'il l'utilise.

Cette formule est extrêmement importante, elle permet de montrer qu'une fonction d'onde à temps multiple Phi(x_1...x_n,t_1,...,t_n), satisfaisant simultanément à n équations différentielles, satisfera l'équation de Schrödinger si on prends tous les t_i égaux. Cette "formule", si j'ai bien compris, est le pont entre le formalisme temps-multiple et la limite des temps égaux où l'on doit reproduire Schrödinger.

Si vous me dites qu'elle est fausse, je tombe en bas de ma chaîse.

Merci pour votre aide,


Simon

[Rincevent]

Si vous me dites qu'elle est fausse, je tombe en bas de ma chaîse.

je dirais pas un truc comme ça sans avoir le texte original sous les yeux. Reste que j'ai déjà vu plusieurs fois des formules inexactes dans des bouquins de géo dif ou relat écrits par des gens très compétents. Il ne s'agissait évidemment pas d'erreurs (enfin, y'a des coquilles aussi certainement) mais d'abus de notation et j'aurais donc tendance à croire que là c'est peut-être pareil (encore une fois, j'en sais rien, j'ai pas vu le texte...)

Quand je disais "fausse", c'était donc du point de vue du matheux... pour le physicien, le raisonnement se tient et est relié à ce que Gwyddon et b@z66 t'ont rappelé.

Pour illustrer par un exemple (enfin, là c'est pas moi qui ai vu des "erreurs" ) : je connais un mathématicien (un peu intégriste sur les bords ) qui considère que le livre d'Hawking et Ellis sur la RG est bourré d'erreurs alors que pour beaucoup de relativistes, c'est une référence... et même l'une parmi les plus "mathématiques" ... bref...

[Gwyddon]

Ok je vois le problème Rincevent, j'aurais dû dire dès le début que la formule n'était pas rigoureuse

Désolé Simon j'ai été un peu "violent" dans ma formulation... La formule est juste mais mal écrite..

[b@z66]

formule de la différentielle totale:



formule que l'on propose avec Gwyddon:



Je réécris ces deux formules simplissimes (me semble t'il) pour que l'on indique où se trouverait l'erreur. Du fait que toute les dérivées sont partielles dans les deux membres de la deuxième équation, il n'y a pas de problème: simplement on divise les différentielles de la première formule par (c'est à dire en considérant toutes les autres variables qui ne s'appliquent pas dans le rapport comme constant), c'est comme ça qu'apparaissent les dérivées partielles. Si vous ne voyez pas cela, cela m'étonne car c'est quand même "basique".

[b@z66]

Petite erreur encore de ma part (j'utiliserai la prévisualisation la prochaine fois):

formule de la différentielle totale:



formule que l'on propose avec Gwyddon:



Je réécris ces deux formules simplissimes (me semble t'il) pour que l'on indique où se trouverait l'erreur. Du fait que toute les dérivées sont partielles dans les deux membres de la deuxième équation, il n'y a pas de problème: simplement on divise les différentielles de la première formule par (c'est à dire en considérant toutes les autres variables qui ne s'appliquent pas dans le rapport comme constant), c'est comme ça qu'apparaissent les dérivées partielles. Si vous ne voyez pas cela, cela m'étonne car c'est quand même "basique".