Dérivée partielle

[invitefa5fd80c]

Petit indice. Pour une fonction à une seule variable, par exemple y=f(x), on a:


-----

[invite8ef93ceb]

Merci beaucoup Rincevent,

mais je suis désolé, je ne comprends pas plus ce qui se passe.

Je suis très sérieux. J'ai devant moi un formalisme, et je dois vérifier qu'il reproduit la mécanique quantique si je prends tous les t égaux. Voilà en gros le calcul:

On définit la fonction qui satisfait simultanément aux n équations

. (1)

où et où . On va maintenant montrer que toute fonction solution de (1), telle que pour tout s (), est aussi solution de l'équation de Schrödinger. Sachant que pour toute fonction on a

,

on trouve que

.

Utilisant (1) on trouve

,

c'est-à-dire

.

Voilà l'essentiel de la preuve, où H a été défini de façon évidente.

Maintenant, c'est important de réaliser que je scrute l'équivalence de deux FORMALISME MATHÉMATIQUES. Il n'y a de place pour aucune ambiguité.

Vous pensez quoi de cette preuve? S'il faut utiliser le raisonnement non rigoureux de mes amis sur ce forum, je suis désolé mais alors la preuve montre que le formalisme à temps multiple nous fait tomber sur une équation qui ressemble à Schrödinger, mais qui a une dérivée exacte au lieu d'une partielle.

Je refuse de croire que les auteurs en questions (Dirac, Fock, Podolsky, Wentzel) n'aient pas pensé à ça.

Pour cette raison, j'envisageais d'essayer d'écrire en terme de limites la dériver partielle à effectuer:

pour ensuite manipuler dans le but d'obtenir le résultat énoncé dans mon premier message.

Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

simplement on divise les différentielles de la première formule par

Tu n'as pas le droit de faire ça. La quantité que tu évoques n'existe pas.

La seconde formule fait du sens seulement si on sait qu'elle est exactement la première, mais écrite par quelqu'un qui ne connait pas le sens de certains symboles mathématiques universellement acceptés.

Cordialement,


Simon

[invite8ef93ceb]

Petit indice. Pour une fonction à une seule variable, par exemple y=f(x), on a:

Effectivement. Ce serait très simple si la fonction ne dépendait pas aussi des variables d'espace, d'impulsion, de spin... Mais dans le cas où ces variables sont présentes, je ne vois pas ce que ton commentaire peut m'apporter,

Cordialement,

Simon

[b@z66]

Lévesque, es-tu simplement d'accord avec cette formule ci-dessus (sans tenir compte de l'expression de y) ? En divisant chaque différentielle de tn par exemple de la formule de la différentielle totale par , on se contente de diviser la variation de xn par la variation de y en considérant toutes les variables indépendantes de y comme constantes: il me semble que cela est la définition même de la dérivée partielle. Le point sur lequel,il me semble que tu butes vient du fait que y peut être dépendant ou non des variables tn: lorsque tu impose t1=t2=...=y (comme dans ton problème où cela revient à rendre dépendantes des variables de ta fonction), tu en peux en conclure que y est une fonction de t1 (ou t2 sachant le lien qui les relie,ou...) ou que t1 (ou t2, ou t3,...) est une fonction de y. Tu peux donc en connaissant cette dernière fonction déterminer les dérivées partielles de tn par rapport à y. Pour ce qui est des variables tn qui ne dépendent pas de y, on ne peut pas imposer un tn comme une fonction de y d'où le résultat d'une dérivée partielle nulle. Je crois être quand même assez rigoureux et je ne vois pas où il y aurait une erreur "mathématiquement".

[invitefa5fd80c]

Effectivement. Ce serait très simple si la fonction ne dépendait pas aussi des variables d'espace, d'impulsion, de spin... Mais dans le cas où ces variables sont présentes, je ne vois pas ce que ton commentaire peut m'apporter,

Cordialement,

Simon

Tu devrais regarder la section "Chain rule for several variables" à l'adresse suivante : http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_r...eral_variables

[invite8ef93ceb]

Lévesque, es-tu simplement d'accord avec cette formule ci-dessus (sans tenir compte de l'expression de y) ?

Non, on tourne en rond, tu me reposes les mêmes questions et je te redonne les mêmes réponses.

Le côté droit de l'égalité devrait donner zéro, puisque ta fonction ne dépend pas EXPLICITEMENT de y. N'oublie pas que du côté droit de l'égalité, TU DÉRIVES PARTIELLEMENT PAR RAPPORT À y.

Cordialement,

Simon

[invite9c9b9968]

Il y a un gros blocage de ta part Simon, dû aux notations physiciennes

Reprend tout ce que Rincevent a dit, ce que j'ai dit (notamment en introduisant les fonctions h, g, f), n'hésite pas à prendre ton temps et à lire des bouquins.


Définis dans ton exemple et on a bien (car dépend effectivement de plusieurs variables, mais lorsque l'on définit g on a bloqué toute les variables qui ne nous intéresse pas dans donc g est bien une fonction d'une variable)

[invite8ef93ceb]

Tu devrais regarder la section "Chain rule for several variables" à l'adresse suivante : http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_r...eral_variables

Bonjour Popol,

Je te réfère plutôt vers le site de Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html

Là, ils ont bien fait attention à la notation (équation 2). Dans l'article de wikipedia, on note des partielles à gauche de l'égalité, alors que ce qu'on voit à droite est manifestement le résultat de l'application d'une exacte.

Vous me faites presque douter à tous vous réunir contre mes convictions...

Gwyddon, regarde aussi sur mathworld. Ils font exactement ce que tu as fait en utilisant, eux, la bonne notation. Il s'agit d'une exacte... ça commence à être difficile pour moi les gars... vous devenez presque insultant.

[b@z66]

Tu n'as pas le droit de faire ça. La quantité que tu évoques n'existe pas.

La seconde formule fait du sens seulement si on sait qu'elle est exactement la première, mais écrite par quelqu'un qui ne connait pas le sens de certains symboles mathématiques universellement acceptés.

Cordialement,


Simon

Personnellement, je ne suis pas d'accord. Du moment que l'on sait de quoi on parle, cela est simple: la quantité que l'on calcule ainsi correspond à une division de la variation d'une variable (différentielle) par une autre variation de variable (différentielle), on calcule ainsi bien une dérivée suivant une dimension. Simplement comme on veut se ramener à une dérivée de fonction suivant une dimension (seul cas où il n'y a pas d'ambiguïté), on précise que l'on considère toutes les autres variables indépendantes dont dépendent la fonction comme constantes: c'est l'introduction de la notion de dérivées partielles. Simplement, toutes les variables ne sont pas nécessairement indépendantes et faire une dérivée partielle par rapport à une variable x lié à y ou z n'impose pas de laisser y ou z constant car on peut poser y(x) et z(x): les variables y et z disparaissent donc du calcul tout en ayant une action encore par l'intermédiaire de x. La présence même de variables dépendantes est donc un faux problème. Quant à dire que l'écriture mathématique n'est pas rigoureuse, je ne pourrais pas te dire qu'elle l'est dans un contexte de mathématiques très avancés mais au niveau de ceux qui s'enseignent dès bac +1, il me semble que cela est généralement admis et que tous les bouquins de physique que l'on trouve utilisent ce formalisme à fond. Je reste donc perplexe sur tes interrogations.

[invite8ef93ceb]

Quand je disais "fausse", c'était donc du point de vue du matheux... pour le physicien, le raisonnement se tient et est relié à ce que Gwyddon et b@z66 t'ont rappelé.

Bonjour Rincevent,

En gros, si je comprends bien, l'équation que j'ai écrite dans mon premier message est mal écrite, et ce devrait être une totale à gauche de l'égalité?

Mais alors, comment les auteurs peuvent-ils prétendre retomber sur l'équation de Schrödinger, laquelle s'écrit avec une partielle?

Merci,

Simon

[invite9c9b9968]

Salut,

Relis mon dernier message, je te l'ai expliqué

[invitefa5fd80c]

Salut Simon,

Supposons que l'on ait une fonction u dépendant de 3 variables x, y et z:

u=f(x,y,z)

Examinons 2 cas:

1- x, y et z sont toutes les trois des fonctions d'une variable t.

On peut alors écrire:

u = f(x(t),y(t),z(t)) = G(t)

On peut alors parler de la dérivée totale de u par rapport à t, et on a:



2- y et z sont toutes les deux des fonctions d'une variable t, mais x n'est pas une fonction de t.

On peut alors écrire:

u = f(x,y(t),z(t)) = H(x,t)

Ici, on ne peut pas parler de la dérivée totale de u par rapport à t car u est une fonction de 2 variables. On a plutôt:



Est ce-que ça répond à ta question ?

[b@z66]

Salut Simon,

Supposons que l'on ait une fonction u dépendant de 3 variables x, y et z:

u=f(x,y,z)

Examinons 2 cas:

1- x, y et z sont toutes les trois des fonctions d'une variable t.

On peut alors écrire:

u = f(x(t),y(t),z(t)) = G(t)

On peut alors parler de la dérivée totale de u par rapport à t, et on a:



2- y et z sont toutes les deux des fonctions d'une variable t, mais x n'est pas une fonction de t.

On peut alors écrire:

u = f(x,y(t),z(t)) = H(x,t)

Ici, on ne peut pas parler de la dérivée totale de u par rapport à t car u est une fonction de 2 variables. On a plutôt:



Est ce-que ça répond à ta question ?

Là, ça semble imparable comme logique. Simple et concis. Bravo.

PS: On pourrais juste rajouter que l'on pourrait voir x dans le 2 comme une fonction constante de t pour faire un lien avec le 1.

[invitefa5fd80c]

Là, ça semble imparable comme logique. Simple et concis. Bravo.

Merci d'apprécier

[invite8ef93ceb]

Bonsoir,

prenons une fonction F quelconque, qui a un nombre quelconque de variables.

Si je fais la dérivée partielle par rapport T, l'une des variables, combien de termes sommerez vous?

Pour répondre à la question, prenons une fonction de fonctions. F(f(g(h(...)))). Par exemple, F pourait être un sinus, g un cosinus, h une exponentielle... etc. Dans ce cas particulier, on aurait quelque chose du genre F=sin(cos(e^j(T))) où j est une fonction quelconque de T.

La première étape sera de transformer la forme fonctionnelle de F. Si vous avez un sinus avant la dérivation, vous aurez un cosinus après. La seconde étape sera de multiplier ce résultats par la dérivée partielle de f, la troisième étape sera de multiplier ce dernier résultat par la dérivée partielle de h, puis de multiplier par la dérivée partielle de j, etc, jusqu'à ce que vous arriviez à dériver T partiellement par rapport à T, ce qui multiplira votre résultat final par 1.

Dans cette procédure, qui est tout à fait générale et s'applique à un nombre illimité de variables, vous n'avez sommé aucun terme.

D'un autre côté, si vous faites la dérivée totale, vous êtes forcé d'appliquer la règle de chaîne. Vous devez trouver comment F varie selon une direction del/delx, ajouter à cela comment F varie selon une direction orthogonale del/dely, et ainsi de suite, jusqu'à ajouter la grandeur de la variation selon toutes les directions orthogonales.

Notez que les deux procédures ont des définitions très différentes, des effets très différents, des sens très différents, et que ce n'est pas parce que leur valeur numérique coïncident dans la plupart des cas qu'il s'agit de la même entité mathématique.

Pour moi, quand vous écrivez une somme de termes avec des dérivées partielles, vous décrivez un champ vectoriel où les partielles sont les vecteurs de base et les exactes les composantes numériques. Vous additionnez des termes qui correspondent à des amplitudes de variation selon des directions orthogonales. Sachez que la dérivée totale et la dérivée partielle forment des espaces tangent duals à une variété. Les del/del x, del/dely etc, sont les vecteurs de base d'un espace tangent à cette variété.

Cela dit, à chaque fois que vous m'écrivez qu'une partielle est égale à une somme d'autres partielles, c'est exactement comme si vous écriviez qu'un vecteur de base s'exprime en terme d'autres vecteurs de base. Dans ce cas, c'est évident pour tout le monde qu'on ne peut pas écrire n'importe quoi. Par exemple, si vous avez x, y et z orthogonaux, vous ne pouvez pas écrire x= ay+bz. Dans le cas où vous partez d'une exacte, et qu'à l'aide d'argument plutôt suspects, vous introduisez une nouvelle partielle, c'est-à-dire un nouveau vecteur de base de l'espace tangent, je ne peux que m'objecter et vous demander si vous savez ce que vous faites.

Pour résumer, je ne suis pas plus d'accord avec vous, et popol, je ne considère pas ton message une réponse à mon questionnement. Je suis désolé de ne pas avoir été plus précis plus tôt sur les raisons qui m'encouragent à jetter du revers de la main toutes vos tentatives, mais je suis très occupé ces jours-ci.

Cordialement,

Simon

[invite9c9b9968]

Le truc Lévesque dans ton dernier message c'est que tu raisonnes "à la physicienne", tu t'attaches à des images de physicien.

Les démos données par Popol, b@z66, moi sont des démos *mathématiques* qui ne s'attachent pas au côté physique des choses... Je ne sais vraiment pas ce qu'il te faut pour te convaincre

[invite8ef93ceb]

Le truc Lévesque dans ton dernier message c'est que tu raisonnes "à la physicienne", tu t'attaches à des images de physicien.

Les démos données par Popol, b@z66, moi sont des démos *mathématiques* qui ne s'attachent pas au côté physique des choses... Je ne sais vraiment pas ce qu'il te faut pour te convaincre

Salut,

il faut avoir fait un peu de géo diff pour réaliser que mon dernier message est tout sauf un raisonnement de physicien.

Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

Seulement pour résumer où j'en suis.

Je suis maintenant convaincu que la formule que je donne dans mon premier post est valable, et cela suite à un commentaire de popol. En effet, une fois qu'on a remplacé toutes les variables par T, la fonction ne dépend plus que d'une variable et la différentielle partielle équivaut à la totale.

Cependant, lorsque la fonction dépend aussi d'autres variables (espace, spin, impulsion, qui dépendent toutes implicitement des t_i), je ne vois pas comment conclure à un tel résultat.

Simon

[b@z66]

Bonsoir,

prenons une fonction F quelconque, qui a un nombre quelconque de variables.

Si je fais la dérivée partielle par rapport T, l'une des variables, combien de termes sommerez vous?

On somme autant de termes qu'il y a de variables mais dans le cas où ta variable est indépendante de toutes les autres, toutes les dérivées partielles des autres variables par cette variable sont nulles dans la formule que l'on t'indique donc tous les termes du second membre sont nuls à l'exception du terme où apparait la dérivée partielle de ta variable par elle-même(qui donne 1). Résultat après simplification: ton second membre fini par être le même que le premier membre, on vient de redémontrer que 1=1 !!!

Pour répondre à la question, prenons une fonction de fonctions. F(f(g(h(...)))). Par exemple, F pourait être un sinus, g un cosinus, h une exponentielle... etc. Dans ce cas particulier, on aurait quelque chose du genre F=sin(cos(e^j(T))) où j est une fonction quelconque de T.

La première étape sera de transformer la forme fonctionnelle de F. Si vous avez un sinus avant la dérivation, vous aurez un cosinus après. La seconde étape sera de multiplier ce résultats par la dérivée partielle de f, la troisième étape sera de multiplier ce dernier résultat par la dérivée partielle de h, puis de multiplier par la dérivée partielle de j, etc, jusqu'à ce que vous arriviez à dériver T partiellement par rapport à T, ce qui multiplira votre résultat final par 1.

Dans cette procédure, qui est tout à fait générale et s'applique à un nombre illimité de variables, vous n'avez sommé aucun terme.

Sauf que le cas que tu donnes en donnant des chaines de fonctions composées ne correspond pas entièrement au cas que t'a donné Popol (qui est assez clair selon moi). Dans l'exemple de Popol "f(x(t),y(t))", tu as des fonctions composées effectivement pour revenir à une fonction de 1 seule variable mais tu as surtout une virgule qui montre que la fonction peut aussi d'une s'interpréter comme fonction de deux variables (non indépendantes mais deux variables quand même). Pour ce qui est de dériver des fonctions composées, on obtient bien des produit de fonctions (comme tu l'as toi même indiqué plus haut). Cela apparait toutefois dans la formule que l'on te donne non pas en tant que second membre complet mais en tant que "chaque" terme du second membre (qui sont effectivement des produits).

D'un autre côté, si vous faites la dérivée totale, vous êtes forcé d'appliquer la règle de chaîne. Vous devez trouver comment F varie selon une direction del/delx, ajouter à cela comment F varie selon une direction orthogonale del/dely, et ainsi de suite, jusqu'à ajouter la grandeur de la variation selon toutes les directions orthogonales.

C'est ce que l'on t'indique, fais juste attention à la virgule dans l'exemple "f(x(t),y(t))".

Notez que les deux procédures ont des définitions très différentes, des effets très différents, des sens très différents, et que ce n'est pas parce que leur valeur numérique coïncident dans la plupart des cas qu'il s'agit de la même entité mathématique.

On peut toutefois généraliser la dérivée classique d'une fonction à une variable en la considérant comme une dérivée partielle de fonction à plusieurs variables où simplement la fonction reste constante en fonction des variables supplémentaires.

Pour moi, quand vous écrivez une somme de termes avec des dérivées partielles, vous décrivez un champ vectoriel où les partielles sont les vecteurs de base et les exactes les composantes numériques. Vous additionnez des termes qui correspondent à des amplitudes de variation selon des directions orthogonales. Sachez que la dérivée totale et la dérivée partielle forment des espaces tangent duals à une variété. Les del/del x, del/dely etc, sont les vecteurs de base d'un espace tangent à cette variété.

C'est là que tu te trompes il me semble, le fait de poser f(x,y) n'implique pas nécessairement que x ou y puissent varier indépendamment: si tu asservis ces variables à une variable t (cela revient à paramétrer une trajectoire dans un plan), l'indépendance de tes variables x et y disparait (projection dans un sous-espace).

Cela dit, à chaque fois que vous m'écrivez qu'une partielle est égale à une somme d'autres partielles, c'est exactement comme si vous écriviez qu'un vecteur de base s'exprime en terme d'autres vecteurs de base. Dans ce cas, c'est évident pour tout le monde qu'on ne peut pas écrire n'importe quoi. Par exemple, si vous avez x, y et z orthogonaux, vous ne pouvez pas écrire x= ay+bz.

Pourtant, c'est ce que tu fais dans ta question de départ (t1=t2=...=T), tu fais simplement une projection dans un sous-espace.

Dans le cas où vous partez d'une exacte, et qu'à l'aide d'argument plutôt suspects, vous introduisez une nouvelle partielle, c'est-à-dire un nouveau vecteur de base de l'espace tangent, je ne peux que m'objecter et vous demander si vous savez ce que vous faites.

Simon

Simon, on sait ce que l'on fait si faire varier le "paramètre" entraine de faire varier simultanément plusieurs autres variables dans un espace de dimension supérieure.

[invitea29d1598]

En gros, si je comprends bien, l'équation que j'ai écrite dans mon premier message est mal écrite, et ce devrait être une totale à gauche de l'égalité?

Non. Ce que je disais, c'est juste qu'une dérivée partielle toute seule n'a strictement aucun sens. Il faut toujours préciser les "variables qui sont constantes", c'est-à-dire l'espace sur lequel habite ta fonction. En l'occurence (je connais pas très bien le formalisme à N temps mais ça devrait ressembler à ça), tu veux passer de fonctions vivants sur R3NxRN (où le premier terme est l'espace et le second rassemble les temps), à des fonctions vivants sur R3NxR. Tu dois donc considérer tes (N-1) temps comme fonctions du dernier (ou bien tes N temps fonctions d'un "temps propre"), et considérer que les variables spatiales sont indépendantes.

Mais alors, comment les auteurs peuvent-ils prétendre retomber sur l'équation de Schrödinger, laquelle s'écrit avec une partielle?

aucun problème car ce n'est pas une dérivée totale (le calcul est fait dans l'esprit de celui donné en exemple par Popol... mais lui aussi écrit un truc "faux" en écrivant une dérivée partielle en ne précisant pas quelles variables sont constantes). Désolé si c'est ce que tu as compris en me lisant. Quand je disais que la formule que tu donnais était fausse, je voulais dire que sans préciser quelles variables sont constantes, la formule en soit n'avait aucun sens (et n'était donc pas juste et en conséquence pouvait être considérée comme fausse )

Le truc Lévesque dans ton dernier message c'est que tu raisonnes "à la physicienne", tu t'attaches à des images de physicien.

au contraire

il faut avoir fait un peu de géo diff pour réaliser que mon dernier message est tout sauf un raisonnement de physicien.

d'accord...

Cependant, lorsque la fonction dépend aussi d'autres variables (espace, spin, impulsion, qui dépendent toutes implicitement des t_i), je ne vois pas comment conclure à un tel résultat.

les variables en questions sont considérées comme indépendantes de tes N temps et il est donc naturel de les considérer comme également indépendantes du "temps propre".

C'est là que tu te trompes il me semble, le fait de poser f(x,y) n'implique pas nécessairement que x ou y puissent varier indépendamment

quand on est rigoureux, si...

[b@z66]

Simon, es-tu seulement d'accord avec cette formule ??? Il n'apparait que des dérivées totales donc tu devrais être satisfait.

Si oui, je te montre que l'on peut encore la généraliser. f(t) est une fonction à une variable mais on peut la donner comme une fonction de deux variables f(t,u) où on a simplement fixer la deuxième variable (u=0 par exemple). f(t,0) reste donc, au fond ,une fonction à une variable et les dérivées sont donc toujours classique. Toutefois du point de vue de "la seconde variable" (même introduite artificiellement) que l'on donne constante, ce que l'on fait là s'appelle une dérivée partielle. On a donc le droit en posant f(t,u) et u=0 de réécrire la formule précédente en remplaçant les dérivées classiques par des dérivées partielles. Cela me semble assez logique.

[b@z66]

C'est là que tu te trompes il me semble, le fait de poser f(x,y) n'implique pas nécessairement que x ou y puissent varier indépendamment

quand on est rigoureux, si...

Excuse moi mais quand tu me cites, essayes de me citer entièrement:

C'est là que tu te trompes il me semble, le fait de poser f(x,y) n'implique pas nécessairement que x ou y puissent varier indépendamment: si tu asservis ces variables à une variable t (cela revient à paramétrer une trajectoire dans un plan), l'indépendance de tes variables x et y disparait (projection dans un sous-espace).

Quand on s'intéresse au sous espace d'un espace, il est normal que des coordonnées de l'espace englobant soient liées dans le sous-espace. Sinon prouve moi le contraire.

Pour ce qui est de dire que cette écriture est insuffisante parce que physicienne, montre-nous simplement ce que l'on fait "mathématiquement".

[b@z66]

quand on est rigoureux, si...

Du point de vue de la forme, écrire f(x,t) induit effectivement que x et t sont indépendant donc j'aurai plutôt du écrire f(x(t),y(t)) mais mon but était de montrer que x et t pouvaient être vu comme des coordonnées dans un espace de dimension supérieures. Donc ta critique n'est pas si injustifiée que cela même si ma démarche était intentionnelle et que je pensais que cela devait apparaitre clairement.

Mea culpa.

[invitea29d1598]

Pour ce qui est de dire que cette écriture est insuffisante parce que physicienne, montre-nous simplement ce que l'on fait "mathématiquement".

je l'ai déjà dit et répété : on précise sur quelle variété on se place en indiquant les variables qui ne varient pas... En l'occurence, pour le problème dont parle Simon, il est évident pour un physicien, étant donné le contexte, que les x_i doivent être considérés indépendants des t_j, d'où l'abus de notation. Mais pour un mathématicien, ce n'est pas évident et la formule ainsi balancée est donc d'une certaine manière fausse.

et pour ce qui est de citer, ce que je n'ai pas inclus ne change rien. Quand on est rigoureux, si on écrit f(x,y), par définition les deux variables sont indépendantes. Si on veut parler de la fonction qui est la "restriction" de celle-ci à une sous-variété, on ne parle pas de la même fonction. Sauf quand on est physicien (ce que je suis moi-même, je le précise)

[edit] j'ai posté ce message sans avoir vu que tu avais rajouté un truc à 11h21... on est donc d'accord.

[b@z66]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon

je l'ai déjà dit et répété : on précise sur quelle variété on se place en indiquant les variables qui ne varient pas... En l'occurence, pour le problème dont parle Simon, il est évident pour un physicien, étant donné le contexte, que les x_i doivent être considérés indépendants des t_j, d'où l'abus de notation. Mais pour un mathématicien, ce n'est pas évident et la formule ainsi balancée est donc d'une certaine manière fausse.

Dans l'écriture du premier message de Simon, il apparaissait selon moi que toutes les variables tn devenait dépendantes par l'intermédiaire de T (t1=t2=...=T ou tq=T), de ce point de vue il était clair selon moi que aucune ne pouvait rester constante en dérivant par T. En introduisant en plus les variables xn et sans donner plus de détail, il est assez évident que ces variables sont indépendantes (c'est toi-même qui l'a fait remarqué) des tn et que c'est donc ces variables qu'il fallait laisser constante en dérivant les tn par T. Ensuite si "mathématiquement", il faut préciser que, lorsque l'on dérive par une variable, qu'il faut laisser les autres variables indépendantes constantes, cela me semble un peu superflu car de toutes manières on est obligé de se ramener à une fonction où une seule variable varie pour calculer la dérivée sans ambigüité. Dans le cas où plusieurs variables varient (comme dans le cas de Simon), il s'agit d'un mauvais contre-exemple puisque en réalité on peut remplacer ces variables par le seul paramètre T donc on a en réalité qu'une variable finalement pour les t et cela était précisé dans l'expression de f: f(T,T,T,T,...).

S'il y a une ambigüité comme tu dis dans la détermination des variables constantes, j'ai personnellement du mal à la situer.

[b@z66]

Quant à cette écriture, s'il y a une ambigüité, peux-tu m'en donné des interprétations différentes pour essayer de comprendre ton positionnement?

[b@z66]

Quant à cette écriture, s'il y a une ambigüité, peux-tu m'en donné des interprétations différentes pour essayer de comprendre ton positionnement?

Je précise également que l'on a les fonctions y(t) et z(t).

[invitea29d1598]

le problème c'est qu'une dérivée partielle porte sur une variable dont dépend explicitement la fonction. Si la fonction est du genre f(x1,..xn) avec xi=xi(T), la dérivation partielle n'a aucun sens rigoureux. Ce qui a un sens c'est la dérivée partielle si la fonction est f(x1, ..,xn,T) ou si on a h(x1, .., xn-1,T)=f(x1, ..,xn(T),T) et que la dérivée partielle porte sur h.

Quant à cette écriture, s'il y a une ambigüité, peux-tu m'en donné des interprétations différentes pour essayer de comprendre ton positionnement?

c'est pas une ambiguïté qu'il y a, c'est surtout un non-sens dans l'écriture car

n'est pas défini car f n'est pas une fonction de la variable y.

en clair, je dis pas que ça se comprend pas, juste que c'est pas rigoureux. Et si Simon s'est posé la question (cf message 3) et que Gwyddon lui a répondu un truc faux dans le message 4 car il avait pas compris le contexte, c'est bien parce que l'écriture est ambigue. Je comprends pas que ce fil soit aussi long...

[b@z66]

Ok, je comprend un peu mieux ton point de vue: c'est donc le fait de dériver par une variable t par exemple une fonction qui ne dépend pas directement (ou explicitement)de t (f(x,y) par exemple) que tu trouves incorrect d'un point de vue écriture mathématique et cela même si on peut exprimer indirectement x(t) et y(t) (il faut donc préciser ces relations). J'avoue que c'est un point de vue qui se défend même si en tant que "phycisien", ces relations ont pour moi aussi un sens précis. Sinon effectivement, tu m'as à peu-près convaincu que le formalisme mathématique pouvait (si on le restreint très précisément) manquer ici de rigueur mais je ne pense pas que cela enlève quoi que ce soit à la validité des raisonnement pratiques. En tout cas, cette discussion est effectivemnt un peu longue mais elle m'aura au moins permis de découvrir une approche "légèrement" différente.