Dérivée partielle

[invitea29d1598]

J'avoue que c'est un point de vue qui se défend même si en tant que "phycisien", ces relations ont pour moi aussi un sens précis.

si tu joues avec des grandeurs thermodynamiques tu verras que ce point de vue ne fait pas juste "se défendre"... idem si tu fais de l'hydrodynamique en ayant à introduire des dérivées lagrangiennes, eulériennes et autres...

je l'ai déjà dit : si au départ y'a eu malentendu entre Simon et Gwyddon, c'est pas un hasard... l'écriture que tu défends est mal définie et source de plein d'erreurs chez les étudiants.

le formalisme mathématique pouvait (si on le restreint très précisément) manquer ici de rigueur

c'est plutôt quand on ne le restreint pas à un usage plein de sous-entendu qu'il perd sa clarté...
-----

[b@z66]

si tu joues avec des grandeurs thermodynamiques tu verras que ce point de vue ne fait pas juste "se défendre"... idem si tu fais de l'hydrodynamique en ayant à introduire des dérivées lagrangiennes, eulériennes et autres...

je l'ai déjà dit : si au départ y'a eu malentendu entre Simon et Gwyddon, c'est pas un hasard... l'écriture que tu défends est mal définie et source de plein d'erreurs chez les étudiants.



c'est plutôt quand on ne le restreint pas à un usage plein de sous-entendu qu'il perd sa clarté...

Il n'empêche que nombre de bouquin de physique (électromagnétisme par exemple) utilise ce formalisme et cela ne m'a jamais vraiment perturber dans ma compréhension, après si cela peut le devenir dans des domaines particuliers comme tu l'indiques, je ne peux pas te contredire n'étant pas connaisseur en hydrodynamique mais cela reste pour moi du domaine de la forme plus que du fond qu'on le fasse explicitement ou non.

[invitea29d1598]

Il n'empêche que nombre de bouquin de physique (électromagnétisme par exemple) utilise ce formalisme

mais toujours en précisant les variables qui sont constantes.... bref, je laisse tomber puisque tu as raison

[b@z66]

mais toujours en précisant les variables qui sont constantes.... bref, je laisse tomber puisque tu as raison

Je trouve de mon coté assez évident que les variables qu'on laisse constantes sont celles qui ne correspondent pas (ou plutôt sont indépendantes) à celle que l'on met au dénominateur de la dérivée partielle: le but en réalité est de ne faire varier qu'une seule variable indépendante où sinon la dérivée partielle n'est pas définie.

Pour ce qui est de la forme on peut faire un lien du genre F(x)=f(u(x),v(x),w(x)) comme on le fait dans l'annexe d'un bouquin de physique que je mets en pièces jointes (voir au point 1.3b) et en dérivant F et f respectivement dans chaque membre par les variables qui leur correspondent. Si tu penses que cette forme est plus harmonieuse et objective, tu peux donner ton avis.

J'admets toutefois que les fonctions F et f ne sont pas identiques.

[invite9c9b9968]

+1 sur le dernier message, et je précise que je connais un peu la géo diff quand même...

Bon en tout cas puisque d'autres ont pris la relève, je me retire de la discussion et regarde en spectateur, ça vaut mieux j'apprendrai des choses

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

je vais faire une preuve que je considère propre pour un cas particulier, le cas général découlant simplement.

J'ai une fonction à partir de laquelle je définis . D'après la définition de la dérivée partielle, j'ai

.

J'ajoute maintenant pour obtenir








Je pardonne tous ceux qui m'ont presque traité d'ignorant parce qu'ils croient (ou croyaient?) que leur preuve est bonne et que je ne la comprends pas. Si vous pensez réellement que la preuve en question est bonne, il faut impérativement retravailler le sujet pour consolider vos connaissances.

Pour moi le sujet est clos.


Cordialement,

Simon

[invite9c9b9968]

Ce qui est drôle Simon c'est que tu n'as toujours pas dit en quoi notre preuve est fausse.... Et nous aboutissons tous ensemble au même résultat.. Enfin bref, désolé si tu as cru comprendre que nous te traitions d'ignorant, mais je remarque que tu fais pareil à la fin de ton message

[invitefa5fd80c]

Je pardonne tous ceux qui m'ont presque traité d'ignorant parce qu'ils croient (ou croyaient?) que leur preuve est bonne et que je ne la comprends pas. Si vous pensez réellement que la preuve en question est bonne, il faut impérativement retravailler le sujet pour consolider vos connaissances.

Pour moi le sujet est clos.


Cordialement,

Simon

Oula ! Simon

Faut pas prendre les choses personnel comme ça
(mais là-dessus je reconnais que je ne suis peut-être pas le meilleur exemple )

Personnellement je n'ai jamais pensé que tu étais un ignorant, loin de là

Contrairement à bien d'autres, tu n'acceptes pas d'avaler bêtement les formules sans te poser de questions sur leur signification exacte: c'est une voie difficile mais qui apporte une compréhension réelle de ce que l'on sait.

A+

[invite9c9b9968]

Contrairement à bien d'autres, tu n'acceptes pas d'avaler bêtement les formules sans te poser de questions sur leur signification exacte: c'est une voie difficile mais qui apporte une compréhension réelle de ce que l'on sait.

A+

Je plussoie, c'est une qualité rare et bravo à toi pour cela d'ailleurs Simon

[invite8ef93ceb]

Ce qui est drôle Simon c'est que tu n'as toujours pas dit en quoi notre preuve est fausse....

Oui, je l'ai dit Gwyddon. Plusieurs fois.

Vous m'avez mis un éléphant devant les yeux, vous lui avez coupé quelques membres et vous avez écrit dessus : "souris". J'ai conclu que vous ne saviez pas ce qu'était une souris.

Dans les faits, une dérivée totale ne devient pas partielle parce qu'on élimine ce qu'il faut dans sa définition pour retrouver l'expression de la partielle. Gardez en mémoire qu'une partielle est toujours un vecteur de base d'un espace, et qu'une totale est un vecteur de base d'un autre espace (son dual). La totale ne devient jamais une partielle, et vice versa, seulement la valeur numérique (ou la forme fonctionnelle) obtenue par l'une peut correspondre à celle obtenue par l'autre. J'ai déjà écrit un message très long à ce sujet.

Alors, oui, je pense avoir bien indiqué pourquoi votre preuve était fausse, il ne reste qu'à faire le lien entre ce que j'ai écrit et les opérations "mathématiques" faites dans votre preuve.


Cordialement,

Simon

PS merci pour les flatteries

[invite9c9b9968]

Là par contre, je suis totalement pas d'accord avec toi Simon, et il me suffit d'un exemple simple et accessible à n'importe quel élève de L2.

Prenons une bête fonction f d'une seule variable réelle, mettons t. On la suppose dérivable (et on peut montrer que ça équivaut à différentiable) Que vaut sa dérivée en un point t ? Sa dérivée partielle par rapport à sa variable, prise elle aussi en un point t ?

[invite8ef93ceb]

Qu'est-ce que la dérivée partielle d'une fonction à une seule variable?

[invite9c9b9968]

exactement la même définition que pour une fonction de n variables, mais comme elle n'a qu'une seule variable, c'est quoi ici ?

Je te rappelle quand même que dériver partiellement, c'est en définitive dériver selon une direction donnée, or ici il n'y en a qu'une seule puisque la fonction est à une seule variable, donc...

EDIT : je dois y aller Simon, j'y reviendrai dans les prochains jours, en te donnant la définition que j'ai toujours eu pour une dérivée partielle

[invitea29d1598]

Je trouve de mon coté assez évident que les variables qu'on laisse constantes sont celles qui ne correspondent pas (ou plutôt sont indépendantes) à celle que l'on met au dénominateur de la dérivée partielle: le but en réalité est de ne faire varier qu'une seule variable indépendante où sinon la dérivée partielle n'est pas définie.

c'est justement ce que je te reproche depuis le début : affirmer que certains trucs sont évidents, alors qu'ils ne le sont qu'avec un nombre non négligeable d'a priori en tête.... l'évidence est l'ennemi de la rigueur. Si tu sais pas la différence entre une dérivée eulérienne et une dérivée lagrangienne, tant pis pour toi. Bref...

[b@z66]

Oui, je l'ai dit Gwyddon. Plusieurs fois.

Vous m'avez mis un éléphant devant les yeux, vous lui avez coupé quelques membres et vous avez écrit dessus : "souris". J'ai conclu que vous ne saviez pas ce qu'était une souris.

Dans les faits, une dérivée totale ne devient pas partielle parce qu'on élimine ce qu'il faut dans sa définition pour retrouver l'expression de la partielle. Gardez en mémoire qu'une partielle est toujours un vecteur de base d'un espace, et qu'une totale est un vecteur de base d'un autre espace (son dual). La totale ne devient jamais une partielle, et vice versa, seulement la valeur numérique (ou la forme fonctionnelle) obtenue par l'une peut correspondre à celle obtenue par l'autre. J'ai déjà écrit un message très long à ce sujet.

Alors, oui, je pense avoir bien indiqué pourquoi votre preuve était fausse, il ne reste qu'à faire le lien entre ce que j'ai écrit et les opérations "mathématiques" faites dans votre preuve.


Cordialement,

Simon

PS merci pour les flatteries

Toutefois ta démonstration n'ai pas si originale que tu crois puisque l'on peut utiliser le même principe pour par exemple (c'est le genre de truc que j'ai fait déjà depuis pas mal d'années):

f(x+dx,y+dy)-f(x,y)=(f(x+dx,y+dy)-f(x+dx,y))+(f(x+dx,y)-f(x,x))
df=d_yf+d_xf

Tu redémontres simplement la formule de la différentielle totale au passage. En reprenant la précédente formule et en remplaçant x et y par t et t, on obtient la même chose que pour toi. Tout ça pour dire que la démonstration utilisant la différentielle totale que nous te proposions reviens strictement au même que la tienne (à noter que tu as enfin considérer les variables tn liées puisque tu les as remplacer par t dans ta démonstration).

c'est justement ce que je te reproche depuis le début : affirmer que certains trucs sont évidents, alors qu'ils ne le sont qu'avec un nombre non négligeable d'a priori en tête.... l'évidence est l'ennemi de la rigueur. Si tu sais pas la différence entre une dérivée eulérienne et une dérivée lagrangienne, tant pis pour toi. Bref...

Rincevent, je ne prétend pas que certaines choses sont évidentes comme tu l'indiques mais qu'elles me semblent évidentes, je ne suis donc pas fermé à des remises en causes. Simplement, le fait de lancer des affirmations qui ne font pas avancer le schmilblick d'un iota du genre "Si tu sais pas la différence entre une dérivée eulérienne et une dérivée lagrangienne, tant pis pour toi", et le fait de ne pas expliquer pourquoi, pour toi, l'affirmation que j'ai faite selon laquelle on ne fait varier qu'une variable (et donc que toutes les autres sont constantes) pour déterminer sans ambigüité une dérivée partielle est fausse, n'est pas pour moi un signe d'ouverture particulière. Tu te contentes de critiquer mais tu ne proposes rien de concret qui puisse remplacer ou corriger les erreurs que tu mentionnes.

Dans mon précédent post, je te proposais de réécrire la formulation comme ci-après et te demandais ton avis. Cela fait plaisir de voir à quel point tu peux t'intéresser à mes propositions.

En posant: F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))

et

.

Je te reposes la question: cela te convient-il maintenant?

PS: Dans le cas de l'exemple de Simon, les fonctions f ef F sont identiques car:

f(t1,t2,...,tn)=F(T,T,T,T,...) et on considère t1=t2=t3=...T.

[b@z66]

Gardez en mémoire qu'une partielle est toujours un vecteur de base d'un espace, et qu'une totale est un vecteur de base d'un autre espace (son dual). La totale ne devient jamais une partielle, et vice versa, seulement la valeur numérique (ou la forme fonctionnelle) obtenue par l'une peut correspondre à celle obtenue par l'autre.

Cordialement,

Simon

PS merci pour les flatteries

Excuse moi mais je pensais que justement les dérivées partielles étaient les "vecteurs de base" pour décrire la différentielle totale (ce qu'il me semble que traduit la formule de la différentielle totale) à partir des différentielles de chaque variable. Quant à la différence entre dérivée simple et partielle, je dirais simplement que la dérivée simple est un cas particulier de dérivée partielle pour laquelle le nombre de variable dont dépend la fonction se réduit à 1.

[b@z66]

Rincevent, je ne prétend pas que certaines choses sont évidentes comme tu l'indiques mais qu'elles me semblent évidentes

Pour Rincevent:
Mea culpa, sur ce point que je viens de vérifier, j'ai effectivement utiliser l'expression "je trouve évident", cela n'empêche que cela restait un avis personnel et non une affirmation générale. Pour ce qui est de l'utilisation des fonctions dérivées classiques (non eulériennes ou lagrangiennes peut-être ), je suis toujours d'avis que l'on ne peut toujours dériver que par une variable à la fois (et donc laisser les autres constantes). Je reste ouvert si tu as des contre-exemples sur ce point.

[invitea29d1598]

Rle fait de lancer des affirmations qui ne font pas avancer le schmilblick d'un iota du genre "Si tu sais pas la différence entre une dérivée eulérienne et une dérivée lagrangienne, tant pis pour toi",

une recherche de 10 secondes sur le web t'aurait donné la réponse...

http://www.ufrmeca.univ-lyon1.fr/~bu...ML/node23.html

et le fait de ne pas expliquer pourquoi, pour toi, l'affirmation que j'ai faite selon laquelle on ne fait varier qu'une variable (et donc que toutes les autres sont constantes) pour déterminer sans ambigüité une dérivée partielle est fausse, n'est pas pour moi un signe d'ouverture particulière.

je l'ai dit, redit, répété, rerépété, et rererépété : il faut préciser quelles sont les variables fixes car malgré ce que tu dis, ce n'est pas évident. La différence entre dérivée eulérienne et lagrangienne en est une illustration triviale du fait qu'une dérivée partielle par rapport au temps, dans l'absolu, ça ne veut rien dire : la dérivée lagrangienne et la dérivée eulérienne sont toutes deux des dérivées partielles par rapport au temps. Mais l'une comporte un terme d'advection par rapport à l'autre car elles ne considèrent pas les mêmes "variables qui restent constantes"...

[Tu te contentes de critiquer mais tu ne proposes rien de concret qui puisse remplacer ou corriger les erreurs que tu mentionnes.

je l'ai dit, redit, répété, rerépété, rererépété et rerererépété : il faut préciser quelles sont les variables fixes... je vois pas ce que je peux te dire de plus...

PS: Dans le cas de l'exemple de Simon, les fonctions f ef F sont identiques car:

f(t1,t2,...,tn)=F(T,T,T,T,...) et on considère t1=t2=t3=...T.

bah non, justement : si tu lis non pas seulement son premier post mais également son second, tu verras qu'il se place dans un cas plus général. L'exemple que tu donnes ne résoud pas tout. En plus, je vois pas l'intérêt de donner un "exemple" pour illustrer la phrase "préciser quelles sont les variables fixes"... c'est pour cela que je n'avais pas commenté ton truc....

je pensais que justement les dérivées partielles étaient les "vecteurs de base" pour décrire la différentielle totale (ce qu'il me semble que traduit la formule de la différentielle totale) à partir des différentielles de chaque variable.

c'est là le problème de cette discussion : Simon se place depuis le début dans le cadre de la géo diff sur une variété quelconque alors que vous raisonnez sur Rn. Des choses qui vous semblent évidentes ne le sont pas si on veut les exprimer rigoureusement en considérant non pas Rn mais une variété, ce que fait Simon...

reste que le résultat final est le même. Simplement sur une variété il est encore plus important de préciser clairement quelles sont les variables fixes car c'est justement ça qui précise sur quelle variété vit la fonction considérée...

[invite9c9b9968]

Je commence à comprendre le fond du problème... Effectivement il faut faire très attention sur une variété à préciser ce qui varie, ce qui ne varie pas, et je trouve que de ce point de vue les notations physiciennes sont malheureuses

[b@z66]

une recherche de 10 secondes sur le web t'aurait donné la réponse...

http://www.ufrmeca.univ-lyon1.fr/~bu...ML/node23.html

Merci pour ce lien, effectivement on voit qu'il peut y avoir ambigüité. L'exemple donné montre bien que l'on fait varier le temps mais que cela dépend du référentiel pour calculer la dérivée de f par t: celui utilisé au départ ou celui lié à la particule fluide par la suite. Les relations des coordonnées entre ces deux référentiels pouvant être quelconque suivant les mouvements de la particule au cours du temps, il faut donc bien préciser dans quel référentiel on se place. En résumé, si j'ai bien compris, dans un cas lorsque l'on dérive par t, c'est les coordonnées du référentiel de départ qui ne varient pas (), dans l'autre cas c'est celle du référentiel lié à la particule qui ne varient pas().

je l'ai dit, redit, répété, rerépété, et rererépété : il faut préciser quelles sont les variables fixes car malgré ce que tu dis, ce n'est pas évident. La différence entre dérivée eulérienne et lagrangienne en est une illustration triviale du fait qu'une dérivée partielle par rapport au temps, dans l'absolu, ça ne veut rien dire : la dérivée lagrangienne et la dérivée eulérienne sont toutes deux des dérivées partielles par rapport au temps. Mais l'une comporte un terme d'advection par rapport à l'autre car elles ne considèrent pas les mêmes "variables qui restent constantes"...

Ok, ok, ok,ok.

je l'ai dit, redit, répété, rerépété, rererépété et rerererépété : il faut préciser quelles sont les variables fixes... je vois pas ce que je peux te dire de plus...

Ok, ok !!!! Pas la peine de se prendre la tête non plus. !!! Un bon exemple suffisait, merci !!!

bah non, justement : si tu lis non pas seulement son premier post mais également son second, tu verras qu'il se place dans un cas plus général. L'exemple que tu donnes ne résoud pas tout. En plus, je vois pas l'intérêt de donner un "exemple" pour illustrer la phrase "préciser quelles sont les variables fixes"... c'est pour cela que je n'avais pas commenté ton truc....

Ok, donc dans le cas restreint le raisonnement que l'on proposais avec Gwyddon était juste mais pas dans le second avec les xn. Ok.

c'est là le problème de cette discussion : Simon se place depuis le début dans le cadre de la géo diff sur une variété quelconque alors que vous raisonnez sur Rn. Des choses qui vous semblent évidentes ne le sont pas si on veut les exprimer rigoureusement en considérant non pas Rn mais une variété, ce que fait Simon...

reste que le résultat final est le même. Simplement sur une variété il est encore plus important de préciser clairement quelles sont les variables fixes car c'est justement ça qui précise sur quelle variété vit la fonction considérée...

Ok, ça "parait" plus clair.

[invitea29d1598]

je reviens en arrière car j'avais râté ce message, le fil ayant couru trop vite

Vous pensez quoi de cette preuve? S'il faut utiliser le raisonnement non rigoureux de mes amis sur ce forum, je suis désolé mais alors la preuve montre que le formalisme à temps multiple nous fait tomber sur une équation qui ressemble à Schrödinger, mais qui a une dérivée exacte au lieu d'une partielle.

non, la preuve est ok. C'est avant tout une histoire de notations et/ou d'introduction de machins intermédiaires si tu veux faire les choses plus proprement en utilisant un langage variétérien.

Comme tu le sais, dans une variété, on peut définir la dérivée le long d'une courbe paramétrée par T (un paramètre réel), d'une fonction f (de M vers R). En appliquant les trucs usuels (géo dif de Rn) et prenant le soin d'introduire des cartes, etc, tu arrives au résultat classique

, avec , dérivées des fonctions coordonnées par rapport au paramètre, résultat que tu peux écrire V[f] où V est la dérivation de long de la courbe paramétrée par T : .

Maintenant, indépendamment de ça, tu peux toujours dériver le long du vecteur . Par définition, tu as alors . Mais à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que (pas de problème si tu considères une variété plate ou n'essaies pas d'introduire toute une base ainsi). Ainsi, avec cette coordonnée, tu as .

Résultat, si tu reprends la première formule que j'ai rappelée en l'appliquant à une courbe dont W est le vecteur tangent, tu as alors

.

En clair, si tu donnes le même nom à ton paramètre T et à ta coordonnée Y, ou si tu utilises ta coordonnée comme paramètre de la courbe, tu as le résultat que tu voulais, via l'égalité entre la dérivée (à laquelle tu appliques ce que t'ont rappelé Gwyddon et b@z66) et la dérivée partielle (qui comme tu le rappelais vit dans l'espace tangent). Le truc c'est qu'on jongle entre une coordonnée et un paramètre sans le dire...

Effectivement il faut faire très attention sur une variété à préciser ce qui varie, ce qui ne varie pas, et je trouve que de ce point de vue les notations physiciennes sont malheureuses

oui et non

quand on sait de quoi on parle, y'a pas ambiguïté et donc pas de pb à utiliser des notations physiciennes souvent plus concises que les notations rigoureuses. En plus, pour pas mal de problèmes de physique, on peut oublier l'aspect variété et ne garder que l'aspect Rn et ainsi ne pas entrer dans des prises de tête qui génèrent des fils de près de 100 messages

mais là en l'occurence, Simon partait sur la vision variétienne, donc...

Un bon exemple suffisait, merci !!!

bah désolé, mais à mon époque (pas si lointaine pourtant ) tout étudiant de physique niveau bac+2 avait aperçu les formulations eulériennes et lagrangiennes de l'hydro

[b@z66]

bah désolé, mais à mon époque (pas si lointaine pourtant ) tout étudiant de physique niveau bac+2 avait aperçu les formulations eulériennes et lagrangiennes de l'hydro

Désolé mais mon cursus n'est pas purement "physique" même si j'en ai besoin souvent. En tout cas, j'essaierai de voir du coté de la géométrie différentielle pour éloigner quelques a-prioris s'il en reste. C'était un truc que je m'étais dis une fois mais bon, le temps... .

Merci en tout cas pour ces derniers éclaircissement Rincevent.

[invite8ef93ceb]

tu arrives au résultat classique

, avec , dérivées des fonctions coordonnées par rapport au paramètre, résultat que tu peux écrire V[f] où V est la dérivation de long de la courbe paramétrée par T : .

Jusque là, c'est seulement une totale écrite joliement.

Maintenant, indépendamment de ça, tu peux toujours dériver le long du vecteur .

Si je comprends bien, W est X réécrit en terme d'autres coordonnées:

, ()

Par définition, tu as alors .

Jusque là, je réussi à suivre.

Mais à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que (pas de problème si tu considères une variété plate ou n'essaies pas d'introduire toute une base ainsi).

Là, j'avoue que tu me perds. Tu es passé des coordonnés x aux coordonnés t. Ensuite, tu passes de t à Y. Si l'argument est bon pour t->Y, il devrait être bon pour x->Y.

Résultat, si tu reprends la première formule que j'ai rappelée en l'appliquant à une courbe dont W est le vecteur tangent, tu as alors

.

Comme je dis, si je comprennais l'argument pour t->Y, je comprendrais l'argument pour x->Y. Or, il s'agit justement du questionnement auquel tu souhaites répondre.
Pour être plus clair, tu souhaites me démontrer que la totale df/dT équivaut à une somme de partielles dans le cas où les coordonnées sont toutes égales. Tu pars de la définition de la totale, tu fais un changement de coordonnées, et tu obtiens que df a des composantes égales à 1. Maintenant, pour que je comprenne, il faudrait que tu montres que ce changement de coordonnées reviens à t1->T,..., tn->T. Toi, tu le poses en disant "à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que ", or, c'est justement ce qu'on souhaite démontrer. La question n'est pas de savoir comment on va nommer Y, mais bien de montrer que ce Y existe.

Pour être encore plus clair, tu fais deux transformations: x->t->y. Tu pourrais laisser tomber t et faire directement x->y. Dans ce cas, tu peux directement dire que ...à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que . La valeur numérique de ne change rien à la question. En définitive, si on oublie la transformation passant par t (qui est inutile?), tu utilises directement ce qu'il faut démontrer

Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

Tu redémontres simplement la formule de la différentielle totale au passage. En reprenant la précédente formule et en remplaçant x et y par t et t, on obtient la même chose que pour toi.

Ajoute une troisième variable, disons z, et ne la remplace pas par t. Tu verras que les deux preuves sont différentes, et arrivent à des résultats différents. Ce n'est pas compliqué: pour une fonction à plusieurs variables, la totale et la partielle sont deux objets mathématiques distincts.

Cordialement,

Simon

[invitea29d1598]

Jusque là, c'est seulement une totale écrite joliement.

non. C'est la définition de la dérivée d'une fonction définie sur une variété le long d'une courbe donnée tracée dans cette variété... y'a pas d'histoire de totale ou pas totale ici...

Si je comprends bien, W est X réécrit en terme d'autres coordonnées

Non. X était le vecteur associé à la dérivation le long d'une courbe quelconque. Je rappelais juste la formule car elle est utilisée après. Comme je l'ai précisé plus loin dans le message, T n'est pas une coordonnée mais un paramètre qui décrit la courbe comme une application de R dans M (où M est ta variété).

Là, avec W, je pars de l'inverse : je choisis un vecteur dans l'espàce tangent, et j'écris son effet sur une fonction.

Jusque là, je réussi à suivre. Là, j'avoue que tu me perds. Tu es passé des coordonnés x aux coordonnés t.

non, non, pas de changement de coordonnées...

Toi, tu le poses en disant "à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que ", or, c'est justement ce qu'on souhaite démontrer. La question n'est pas de savoir comment on va nommer Y, mais bien de montrer que ce Y existe.

cette question est triviale étant donné qu'un vecteur est défini comme la classe d'équivalence de courbes tangentes : tu prends la courbe intégrale associée à W au point de ta variété que tu considères, et hop tu as un paramètre/une coordonnée qui vérifie ça... après, pour définir tout ça globalement, tu as besoin de savoir plus de choses sur la variété... mais localement, pas de problème.

[invite8ef93ceb]

non. C'est la définition de la dérivée d'une fonction définie sur une variété le long d'une courbe donnée tracée dans cette variété... y'a pas d'histoire de totale ou pas totale ici...

Peut-être. Mais il me semble que si tu avais écrit , sans préciser les composantes de X, tu aurais bien ce que tu prétends définir. Mais dans le cas particulier où les composantes de X sont données, et où par hasard elles valent précisément , ce que tu as écrit est ce qu'on appelle une différentielle totale: , c'est-à-dire . non? Sinon, c'est pas si important... Comme tu dis, ta preuve partirais d'ici:

avec W, je pars de l'inverse : je choisis un vecteur dans l'espace tangent, et j'écris son effet sur une fonction.

Si tu es au point p dans l'espace tangent, l'effet de W sur f peut s'écrire en terme de l'effet de X au même point (T=0). C'est pour cette raison que je croyais à un changement de coordonnés. Mais comme tu le dis, ta preuve commence en choisissant W et en donnant son effet: .

Mais à un vecteur tu peux toujours associer une coordonnée Y telle que .

Là, ne me dit pas qu'il n'y a pas de changement de coordonnées?

Résultat, si tu reprends la première formule que j'ai rappelée en l'appliquant à une courbe dont W est le vecteur tangent, tu as alors .

En gros, tu me donnes la définition suivante: , et tu me dis que dans Rn, il est possible de trouver une coordonnée Y telle que . Je suis d'accord, c'est même trivial comme tu dis (juste à penser à une rotation de dans R2).

Si on se place dans R3, par exemple, tu as démontré que la courbe x=y=z, paramétrisé par T, se retrouve sur un axe unidimentionel si on change les coordonnées de façon à ce que le nouvel axe x' coïncide avec la droite x=y=z de l'ancien système de coordonnées. Aussi, même si la fonction n'est pas une droite, il me semble que ta relation sera valable puisque tu précises "localement".

Cependant, il me semble que cela fonctionne seulement si ta transformation vers Y affecte toutes les variables de f (les coordonnées). Dans le cas d'une fonction f(x,y,t1,t2), je ne vois pas comment tu pourras trouver un W tel que toutes ses composantes seront nulles sauf une, sans jamais toucher à x et y. Plus précisément, quand tu pars de , et que tu changes les coordonnées pour obtenir , tu as assurément transformé tous les . Essaie de faire ça si je te force à ne pas toucher à la moitié des . Tu vois ce que je veux dire?


Cordialement,

Simon

[invite8ef93ceb]

Pour être plus précis, je suis d'accord que tu as démontré l'équation que je présente dans mon premier message. Mais tu ne l'as pas fait pour le cas plus général discuté par la suite.

[b@z66]

Ajoute une troisième variable, disons z, et ne la remplace pas par t. Tu verras que les deux preuves sont différentes, et arrivent à des résultats différents. Ce n'est pas compliqué: pour une fonction à plusieurs variables, la totale et la partielle sont deux objets mathématiques distincts.

Cordialement,

Simon

Bon alors j'essaie:

f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)=(f(x+dx,y,z)-f(x,y,z))+(f(x+dx,y+dy,z)-f(x+dx,y,z))+(f(x+dx,y+dy,z+dz )-f(x+dx,y+dy,z))
df=d_xf+d_yf+d_zf

En remplaçant x, y et z par t et en divisant par t on arrive au même résultat que tu as donné (avec une dérivée partielle supplémentaire). J'ai du mal à croire que ce qui marche pour 1(évident) ou 2 variables (comme tu l'as montré) donne un résultat différent pour 3,4,5,...

[invitefa5fd80c]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon

Salut,


Lorsqu’on écrit : , on signifie par là que l’on a une fonction de n variables indépendantes.

L’expression désigne la dérivée partielle de par rapport à sa ème variable indépendante .

Lorsqu’on écrit , c’est un très très gros abus de notation. Pour faire les choses plus proprement, il faut plutôt écrire :

Étant donné que est une fonction d’une seule variable (indépendante par défaut), on peut alors parler de la dérivée partielle de par rapport à (qui dans le cas présent est aussi la dérivée totale de par rapport à ). Par la "chain rule", on a :

soit

Ok,

en fait, je bosse dans le formalisme de Tomonaga-Schwinger (fonctions d'ondes avec une coordonné de temps par particule) et j'ai souvent à dériver par rapport à T après avoir imposé t1=t2=...=T, exactement comme dans mon premier message.

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

Ici c’est une extension de ci-haut. On a :

Si tu veux parler de la dérivée partielle de par rapport à lorsque l’on pose , on fait comme plus haut et on écrit :

Étant donné que est une fonction de variables indépendantes, on peut alors parler de la dérivée partielle de par rapport à . Par utilisation de la "chain rule", on peut montrer que l’on a :

soit

Est-ce que ça répond à ta question ?

Amicalement

[invitefa5fd80c]

...Par utilisation de la "chain rule", on peut montrer que l’on a :...

...sans utiliser de dérivée totale, bien sûr