Dérivée partielle

[invitefa5fd80c]

Est-ce que ça répond à ta question ?

Heu...non, j’ai relu le fil et ça ne répond pas vraiment à ta question : tu voulais une preuve rigoureuse et écrite explicitement que ton impression quant au résultat était fondée.

Étant donné qu’une telle preuve n’est pas trop longue à rédiger, en voici une.

Donc ici on a une fonction de 2n variables :

En imposant la condition , le nombre de variables indépendantes passe de 2n à (n+1).

On peut donc introduire (n+1) nouvelles variables indépendantes en fonction desquelles on peut écrire les 2n variables .

On peut choisir de façon à ce que s’écrivent de la façon suivante en fonction de ces nouvelles variables indépendantes :

...

...

Les équations (1) et (2.1) à (2.2n) ont exactement la forme des hypothèses de départ de la "chain rule". On a donc :

Par utilisation de (2.1) à (2.n), on a :

Par utilisation de (2.n+1) à (2.2n), on a :

L’équation (3) devient donc :

C.Q.F.D.
-----

[b@z66]

Salut Popol,

je viens de revoir le principe de la "chaine rule" sur wikipédia et on voit que effectivement que l'erreur mentionné par Rincevent est également commise:

http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule

En gros, pas étonnant que ça fasse discuter. Sur le fond, je pense qu'il n'y a pas de problème (excepté pour Simon) concernant nos raisonnement respectifs, il s'agit plutôt de la forme qui est mise en cause. Le truc à mon avis consiste avant de faire la "chain rule" de bien définir les fonctions qui y apparaissent et les variables indépendantes dont elles dépendent de façon à ne pas avoir de doute sur celles qui restent constantes quand on dérive.

Personnellement, j'aurais donc aussi quelques suggestions sur la forme sachant que sur le fond rien n'a vraiment changer depuis le départ . Dans le premier membre, tu dérives y par T mais tu n'as pas mentionné que y était une fonction de T ou des xn (d'ailleurs tu fait apparaitre y plus comme une variable), donc j'aurais plutôt utilisé:

y(T,x1,...,xn)=f(t1(T,x1,...,x n),...,tn(T,x1,...xn),X1(T,x1, ...,xn),...Xn(T,x1,...xn))
y(T,x1,...,xn)=f(t1,...,tn,X1, ...Xn)

en introduisant les fonctions (ou variables suivant le point de vue de y) t1,...,tn,X1,...,Xn et en posant (un peu comme tu l'as fait):

t1(T,x1,...,xn)=tn(T,x1,...,xn )=T
et
X1(T,x1,...,xn)=x1,
Xn(T,x1,...,xn)=xn.

pour finalement écrire:

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dx1)+...+(df/dXn)*(dXn/dxn)

En remplaçant bien sûr les "d" par des différentielles partielles. Cela ne fait pas beaucoup avancer le problème sur le fond mais c'est plutôt pour faire "joli" et très clair sur la forme. Bonne journée.

[b@z66]

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dx1)+...+(df/dXn)*(dXn/dxn)

Oups, petite erreur à corriger...

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dT)+...+(df/dXn)*(dXn/dT)

[invitefa5fd80c]

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dT)+...+(df/dXn)*(dXn/dT)

Salut b@z66

Heu... ici est une fonction des (n+1) variables indépendantes et on ne peut donc parler d'une dérivée totale de par rapport à mais seulement d'une dérivée partielle de par rapport à .

Il y a plusieurs variantes de la "chain rule", dont l'une pour les fonctions de plusieurs variables qui sont elles-mêmes des fonctions de plusieurs autres variables.

Pour le , tu as raison: j'aurais dû expliciter sa dépendance sur . Je l'avais fait deux messages auparavant mais j'aurais dû la reprendre ici

Amicalement

[b@z66]

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dx1)+...+(df/dXn)*(dXn/dxn)

En remplaçant bien sûr les "d" par des différentielles partielles.

Salut b@z66

Heu... ici est une fonction des (n+1) variables indépendantes et on ne peut donc parler d'une dérivée totale de par rapport à mais seulement d'une dérivée partielle de par rapport à .

Amicalement

Merci pour la remarque, je m'en souviendrais. Le problème, il est vrai, vient de la forme de la dérivée: le terme qui apparait au numérateur doit être définie comme une fonction dont on connait précisément les paramètres; y mettre donc simplement une variable (même si elle représente la fonction) est donc peut-être le point sur lequel des ambigüités peuvent apparaitre. En tout cas, cette discussion, je l'espère, aura eu le mérite de me rendre plus rigoureux pour ces détails. Je vous remercie tous même si la discussion, il est vrai, a un peu durer plus que nécessaire.

Salut.

[Lévesque]

Bonjour,

pour ma part, j'ai cessé de répondre parce que j'ai perdu espoir de ralier quiconque de mon côté.

Dans toutes les démonstrations que vous avez faites, il faut garder à l'esprit que lorsque vous utilisez la notation del f/del t, vous dites à mon cerveau de regarder la fonction f, de repérer la variable t, et de dériver par rapport à celle-ci en considérant tous les autres symboles comme des constantes. Si vous me donnez une fonction f(x,y,z), et que vous me demandez de dériver partiellement par rapport à t, j'écrirai zéro comme résultat puisque par définition la dérivée partielle est une opération sur la présence EXPLICITE de la variable par rapport à laquelle on dérive. Si vous écrivez une partielle, et que vous faites la règle de chaine (i.e. considérer la dépendance implicite en t), je conclu tout de suite que vous vous être trompé en utilisant la notation partielle, et que vous faites définitivement une exacte.

En conséquence, mon cerveau pense qu'il n'existe pas de règle de chaine pour la dérivée partielle (même si j'ai vu des tonnes de sites qui présentent la règle de chaîne pour la dérivée partielle : mon cerveau doit être malade). Cette conclusion est simple (pour un cerveau malade): vous dérivez partiellement par rapport à UNE variable EXPLICITE. Peut importe la façon avec laquelle vous écrivez f: f=f(x(t),y(t),t), f=f(x,y,t), f=(t,t,t,); au bout du compte, vous avez une fonction g=g(?,?,t) dans laquelle t apparait ou non explicitement. Vous faite une "dérivée exacte en considérant tous les autres symboles que t constants, i.e. en ne considérant pas leur dépendance en t", ce qu'on dénote par del/del t.

Je ne comprends absolument pas comment, si je vous donne une fonction f(x,y,z)= x^2y+ yxz^2+2z^4 et que je vous demande d'en faire la dérivée partielle par rapport à t, vous pourriez me donner une autre réponse que 0 et ce, même si je vous assure que x,y et z dépendent de t. La différence entre la dérivée partielle et totale de cette fonction par rapport à t est que pour la partielle on regarde la présence explicite de t, tandis que pour la totale on regarde (en plus!) la dépendance implicite de toutes les variables sur t.

(aussi, j'ai répondu à ma question dans un message où je pars de la définition de la partielle pour arriver au résultat recherché)

Cordialement,

Simon

[Gwyddon]

Salut Simon,

Là ton blocage existe même en euclidien...

Et cela est dû à la notation physicienne !

Reprenons ensemble.

Si tu as une fonction f(x,y,z), et que tu décides de prendre g(x,t)= f(x,y(t),z(t).

Tu veux dériver f par rapport à t. Alors tu vas faire une dérivée partielle et appliquer la chain rule.

Mais pour éviter toute imprécision, toute erreur de notation, dans ce que je dis je note D₁f la dérivée partielle par rapport à la première variable de f (ici dans mon exemple x), D₂ par rapport à la seconde variable (ici y) , etc...

Le truc, c'est qu'avec cette notation, plus d'embrouille, peu importe qu'à la place de x je mette q, camembert ou autre, c'est explicite

Alors si je note tout pareil pour g, à savoir Dg la dérivée partielle de g par rapport à sa première variable, etc...

J'ai D₂g(x,t) = y'(t) D₂f(x,y(t),z(t)) + z'(t) D₃f (x, y(t), z(t) . Tout simplement



Je comprend tout à fait ton objection, parce que par exemple si à la place de f(x,y,z) j'avais mis f(x,y(t), t), pour toi dériver partiellement par rapport à t c'est dériver juste partiellement suivant la 3e variable... Mais c'est malheureux comme notation précisément pour cela, car on ne sait plus maintenant si on dérive suivant la 3e coordonnées seulement, ou si on dérive suivant la deuxième et la troisième...

[Lévesque]

J'ai D₂g(x,t) = y'(t) D₂f(x,y(t),z(t)) + z'(t) D₃f (x, y(t), z(t) . Tout simplement

Quand tu écris g(x,t)=f(x,y(t),z(t)), tu remplaces y et z par leur expression en terme de t. Dans g(x,t), y et z n'apparaissent pas. Comment peux-tu écrire que la dérivée partielle de g par rapport t dépend d'une quelconque façon sur y et z?

[Gwyddon]

Relis la définition de g.... Désolé Simon mais je ne peux pas faire plus à distance.

[invitefa5fd80c]

Je ne comprends absolument pas comment, si je vous donne une fonction f(x,y,z)= x^2y+ yxz^2+2z^4 et que je vous demande d'en faire la dérivée partielle par rapport à t, vous pourriez me donner une autre réponse que 0 et ce, même si je vous assure que x,y et z dépendent de t.

Salut Simon

La dérivée de f par rapport à t n'est même pas égale à 0, elle n'existe tout simplement pas. Lorsque x,y et z dépendent de t, c'est un très gros abus de langage de parler de la dérivée partielle (ou même totale) de f par rapport à t.

Lorsqu'on dit que x,y et z dépendent de t, on signifie par là qu'il y a une fonction de qui à tout nombre associe le triplet ordonné

La fonction pour sa part est une fonction de qui à tout triplet ordonné associe le nombre

À partir des deux fonctions et , on peut définir une fonction de qui à tout nombre associe un nombre . Symboliquement on peut écrire et la dérivée totale de par rapport à sa seule variable est bien définie.

La chose importante à comprendre ici est que et sont deux objets mathématiques distincts. Mais g étant définie à partir de et de , on peut établir des propriétés de en utilisant les propriétés de et celles de .

On peut généraliser lorsque dépend de plusieurs variables et/ou lorsque l'on travaille avec d'autres ensembles que


PS: je ne suis pas mathématicien de formation et, en plus, tout cela est bien loin maintenant, alors c'est à prendre avec des pincettes

Amicalement

[b@z66]

Dans toutes les démonstrations que vous avez faites, il faut garder à l'esprit que lorsque vous utilisez la notation del f/del t, vous dites à mon cerveau de regarder la fonction f, de repérer la variable t, et de dériver par rapport à celle-ci en considérant tous les autres symboles comme des constantes. Si vous me donnez une fonction f(x,y,z), et que vous me demandez de dériver partiellement par rapport à t, j'écrirai zéro comme résultat puisque par définition la dérivée partielle est une opération sur la présence EXPLICITE de la variable par rapport à laquelle on dérive. Si vous écrivez une partielle, et que vous faites la règle de chaine (i.e. considérer la dépendance implicite en t), je conclu tout de suite que vous vous être trompé en utilisant la notation partielle, et que vous faites définitivement une exacte.

En conséquence, mon cerveau pense qu'il n'existe pas de règle de chaine pour la dérivée partielle (même si j'ai vu des tonnes de sites qui présentent la règle de chaîne pour la dérivée partielle : mon cerveau doit être malade). Cette conclusion est simple (pour un cerveau malade): vous dérivez partiellement par rapport à UNE variable EXPLICITE. Peut importe la façon avec laquelle vous écrivez f: f=f(x(t),y(t),t), f=f(x,y,t), f=(t,t,t,); au bout du compte, vous avez une fonction g=g(?,?,t) dans laquelle t apparait ou non explicitement. Vous faite une "dérivée exacte en considérant tous les autres symboles que t constants, i.e. en ne considérant pas leur dépendance en t", ce qu'on dénote par del/del t.

Excuse-nous Simon mais il me semble que tu ne peux plus nous dire qu'il y a un problème la-dessus. Avec Popol, on a bien respecté le fait de dériver par une variable "directe" de la fonction comme on l'a fait dans les post #91 et #92. Je te le réécris ci-dessous rapidement (les dérivées à la fin sont en fait des partielles) si tu ne l'avais pas vu mais je pense qu'il n'y a plus de problème ici:

y(T,x1,...,xn)=f(t1(T,x1,...,x n),...,tn(T,x1,...xn),X1(T,x1, ...,xn),...Xn(T,x1,...xn))
y(T,x1,...,xn)=f(t1,...,tn,X1, ...Xn)

en introduisant les fonctions (ou variables suivant le point de vue de y) t1,...,tn,X1,...,Xn et en posant:

t1(T,x1,...,xn)=tn(T,x1,...,xn )=T
et
X1(T,x1,...,xn)=x1,
Xn(T,x1,...,xn)=xn.

pour finalement écrire:

dy/dT=(df/dt1)*(dt1/dT)+...+(df/dtn)*(dtn/dT)+...+(df/dX1)*(dX1/dx1)+...+(df/dXn)*(dXn/dxn)


Si tu penses qu'il y a toujours une erreur de forme ci-dessus, indique le nous.

[Lévesque]

Est-ce bien le résultat recherché?

[stokastik]

Notons . On a avec .
On a avec
La règle de la chaîne donne
et on a.

D'où le résultat.

[stokastik]

Dans le genre "formule de physicien" qui m'a fait sauté de ma chaise un jour :