Bonsoir à vous
Ce soir je m'intéresse à comment créer une fonction qui sortirait une série de chiffre en fonction du paramètre x.
f(0)=0
f(1)=520
f(2)=780
f(3)=1020
f(4)=
f(x)=...
Les nombres non, à priori, aucune relation entre eux.
Avec f(x)=520x, je m'en sors facilement pour x=0 et x=1. Mais je manque déjà d'imagination pour x=2 et x=3... Mettre x en exposant peut-être ?
Bonsoir
Je ne comprend pas bien.
tu veux une fonction telle que
f(0)=0
f(1)=520
f(2)=780
f(3)=1020
et apres ?
il y a une infinité de facon de prolongé cela !
d'ou viennent ces nombres ?
en tous cas je ne sais pas si c'est ce que tu cherche, mais le polynome de plus petit degré a vérifier ca est : f(x)=10*x*(4*x^2-25*x+73)
c'etait ca que tu voulais ?
Intéresse toi aux polynomes d'interpolation de Lagrange...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Bon allons-y, plongeons XD
Ces chiffres sortent d'un algorithme qui me présente des nombres ayant une propriété que je n'arrive pas à décrire en français facilement donc voici une explication avec un exemple :
Le nombre 1105 peut s'écrire ainsi :
1105=33²+4²=32²+9²=31²+12²=23² +24²
Le nombre en question, 1105, a été sélectionné par mon algorithme car il possède au moins 4 jeux de deux nombres entiers différents qui élevés au carré et sommé donne 1105.
Voici les premiers nombres ayant cette propriété :
1105
1625
1885
2125
2210
2405
2465
2665
...
Les nombres que je vous ais donné plus haut, 0, 520, 780 sont ces mêmes nombres mais auxquels j'ai soustrait 1105 pour partir de 0 (0+1105=1105, 520+1105=1625, 780+1105=1885, ...) juste pour faciliter le problème.
Quoi qu'il en soit, l'algorithme qui me pond ces nombres et lourd et contraignant pour mon ordinateur, j'aimerai donc mettre au point une fonction qui se baserait sur les premiers nombres sortis et qui permettrait de prédire les suivants. Par exemple j'ai les 1000 premiers nombres, et grâce à la fonction créée, j'aimerai pouvoir déjà prédire sans le moindre calcul le millionième nombre ayant cette propriété.
J'ignore si une telle chose est possible, mais j'aimerai essayer. J'ai déjà constaté certaines choses importantes : beaucoup de ces nombres sont des multiples de 5 (mais pourquoi au juste ?) et tous les multiples des premiers nombres sortis respectent la propriété. Ainsi, 1105 possèdent au moins 4 jeux d'entiers dont la somme des carrés donne 1105, mais c'est également vrai pour 2210 et 4420 !
Il y a d'autres détails qui seraient longs à expliquer. mais mon plus grand soucis pour le moment est que j'ignore comment faire communiquer mon script C++ avec un logiciel de dessin graphique qui me permettrait peut-être de voir mieux certaines choses.
Dans tous les cas l'idée de base est de se baser sur les premières données pour faire une fonction qui prédirait les suivantes.
Je ne vois pas pourquoi une telle fonction serait facile à déterminer. La définition de ta fonction est extrêmement compliquée et est dépendante de la structure arithmétique de l'ensemble des nombres. C'est aussi compliqué a priori que de trouver une fonction qui donnerait la liste des nombres premiers.
Les remarques que tu as faites te permettent en revanche de créer un genre de crible à condition qu'elles soient prouvées (l'histoire des multiples, etc...) C'est à ça que tu dois t'atteler... Enfin , ça dépend des travaux déjà effectués...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Pour le fait que tu ais beacoup de multiples de 5, ça n'a rien de surprenant!
En fait, si tu travailles dans le corps, tu constateras rapidement que sur 25 sommes de carrés, 12 donnent 0, c'est à dire sont multiples de 5 dans Z. Comme tu cherches des nombres qui sont sommes de deux carrés de 4 manières différentes, la probabilité qu'un nombre quelconque le soit sachant qu'il est multiple de 5 est grandement augmenté. Je dirais que tu devrais avoir une proportion de multiples de 5 d'environ 93 %.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Vous pensez donc qu'il n'est possible de créer une fonction comme je le souhaite ? Où en tout cas si c'est possible, manifestement en dehors de mes capacités
Une fonction pour décrire les nombres premiers ? A quoi ça ressemble ?
Personne ne l'a trouvée...
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Sauf erreur, on a au moins deux fonctions définit par des expressions qui decrivent l'ensemble des nombre premier : mais ces expressions sont complement inutilisable pour trouver des nombre premier : le temps de calcule devien collossal des qu'on cherche des nombres premier supérieur a 30 ou 40 ^^
(NB : j'essai de retrouver la réference...)
J'ai trouvé ça sur wikipédia:
(k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a ²y²−y²+1−x²)² −(e³(e+2)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1 )³(k+2)(n+1)²+1−f²)²
−(((a+u²(u²−a))²−1)(n+4dy)²+1− (x+cu)²)²−(ai+k+1−l−i)² −((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r² y4(a²−1)+1−u²)²
−(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n− 2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1) )² −(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p− 2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y) ²]
Il paraît qu'avec ce polynome, ils sont parvenus à trouver le nombre premier 2. Chapeau !!!
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Salut,Envoyé par LicenceXP
Tu pourrais peut-être regarder ton problème sous un angle un peu différent. Par exemple, considère la fonction g de N* dans N* qui à un entier naturel non nul associe le nombre de décompositions distinctes (et sans tenir compte de l'ordre) en somme de 2 carrés.
A priori, on doit avoir g(1)=1 et tu dois pouvoir prouver que pour p et q premiers entre eux g(pq)=g(p)g(q) (ce qui pourrait expliquer bien des choses sur l'histoire de multiples). Auquel cas cette fonction est arithmétiquement multiplicative et il suffit de la connaître sur l'ensemble des nombres premiers pour la connaître entièrement...
Si ce que tu dis est vrai, il faut aussi la connaître sur l'ensemble des puissances des nombres premiers...
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
donc : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier
pour les formules qui donnent des nombres premier... (il y a le polynome, mais il y en a d'autre qui donne directement le n-iemme nb premier... pas forcement rapidement aussi)
Sinon, je visualise mal pourquoi g serait multiplicative ?
C'est exact, ça complique un peu en effet. Il faudrait regarder de plus près.
Je suis pas tout à fait sûr mais on doit pouvoir partir du fait que :
Si
Ensuite, il faut regarder si l'on peut faire l'opération dans le sens inverse...
J'ai plutôt chercher un contre-exemple. Ca a l'air multiplicatif, mais c'est essentiellement parce qu'il se passe réellement quelque chose quand on multiplie par 2, et il y a peut être d'autres propriétés intéressantes.
En revanche, j'ai l'impression que g(13) x g(17) est différent de g(13 x 17), mais je vous laisse confirmer:
Je trouve g(13) x g(17) =1 alors que g(13x17)=2
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Oui car 13*17=221=10²+11²=14²+5². Je suis d'accord avec toi et je n'ai pas pris la bonne fonction g.En revanche, j'ai trouvé une référence de wikipedia où la bonne fonction g est explicitée (voir dans les exemples le dernier exemple) http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_multiplicative
Voir aussi http://perso.orange.fr/yoda.guillaume/Prof/SomCaQte.htm
où il y a quelques explications supplémentaires et une formule pour g.
C'est (peut-être) l'application pour les nombres premiers du théorème de Mattiassevitch (orthograf non garantie
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Le fait d'avoir cherché un nombre premier avec ce polynome te vaut mon admiration !!!
Ce théorème de Mattiassevitch a l'air particulièrement puissant s'il peut produire de tels résultats !
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1105=5x13x17
5=2²+1² 13=3²+2² 17=4²+1²
ou encore 5=(2+i)(2-i) 13=(3+2i)(3-2i) 17=(4+i)(4-i)
1105=(2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)(4+i)(4-i) ce qui donne 4 manières de l'écrire en somme de carrés (ce qui revient à l'écrire sous la forme zxconj(z))
1105=(2+i)(3+2i)(4+i)xconj=(2+ i)(10+11i)xconj=(9+32i)xconj=9 ²+32²
1105=(2+i)(3-2i)(4-i)xconj=(2+i)(10-11i)xconj=(31-12i)xconj=31²+12²
1105=(2+i)(3+2i)(4-i)xconj=(2+i)(14+5i)xconj=(23+ 24i)xconj=23²+24²
1105=(2+i)(3-2i)(4+i)xconj=(2+i)(14-5i)xconj=(33+4i)xconj=33²+4²
2210=2x1105=(1+i)(1-i)x1105
(1+i)(9+32i)=-23+41i => 23²+41²=2210
(1+i)(31-12i)=43+19i => 43²+19²=2210
(1+i)(23+24i)=-1+47i => 1²+47²=2210
(1+i)(33+4i)=29+37i => 29²+37²=2210
les décompositions en somme de deux carrés de 4420 sont celles de 1105 multipliées par 2.
Peut-on en trouver d'autres ? non les 1+i, 2+i, 3+2i, 4+i sont des nombres premiers chez les entiers de Gauss (m+in ; m et n entiers relatifs)
Les nombres pouvant s'écrire sous sommes de 4 carrés contiennent soit 3 facteurs premiers distincts type m+in avec m²+n²=entier naturel premier impair* (comme 1105)
ou 2 distincts avec un au cube 1625=13x5^3 ou les deux au carré (4225=5²x13² est le plus petit)
ou un facteur premier à la puissance 6 (5^6=15625) si on accepte m²+0² (sinon puissance 7 ou encore puissance 6 mais noùmbre multiple de 2).
* : ceci équivaut à un facteur premier (chez les entiers naturels) congru à 1 modulo 4
1105=5x13x17
1625=5^3x13
1885=5x13x29
2125=5^3x17
2210=(5x13x17)x2
2405=5x13x37
2465=5x17x29
2665=5x13x41
La question concernant la muliplicité par rapport au nombre 5 a sa réponse. Les plus petits sont multiples de 5 car 5 est nettement plus petit que les suivants
Le plus petit non multiple de 5 : 13x17x29=6409
