Bonjour @ tous,
Je suis tombé sur un exo qui me parais assez simple, mais je n'arrive pas à le démontrer!!! alors voilà :
"Soit f : E->F et g : F->E.
On suppose que fogofog est injective et gofogof est surjective. Montrer que f et g sont bijectives..."
Est ce que je peux déjà marquer que g=??
Et j'avais aussi pensé à gofogof =
on sait que HoF surjective => H surjective
HoF injective => F injective
donc Go(FoGoF) surjective => G surjective
(FoGoF)oG injective => G injective d'ou G bijective...deja ca.
sinon: si g(x) = g(y) alors fogofog(x)=fogofog(y) et comme fogofog est injective , x = y donc g est injective .
Si y est dans F , comme gofogof est surjective , il existe x dans E tel que : gofogof(x) = y et en posant z = fogof(x) , g(z) = y donc g est surjective .
on a donc g est aussi bijective .
tu prefereras peut etre cette démo plus explicite...reste f ^^
(FoG)o(Fog) injective =>( FoG )injective
(GoF)o(GoF) surjective => (GoF) surjective
soit g(x) différent g(y). Comme fog injective on a fog(x) différent fog(y)
en posant a=g(x) et b=g(y) tu as a différent b => f(a) différent f(b) donc f injective.
je ne trouve pas encore f surjctive (bizarre...)
G bijective <=> G-1 bigective et comme gofogof surjective
on a alors g-1ogofogof = fogof
soit z dans F. g-1 bijective alors il existe y dans E tq z=g-1(y).
comme gofogof surjective il existe x tq gofogof(x)=y, soit z=g-1ogofogof(x) ou encore fogof(x)=z.
donc fogof est surjective => f est surjective...
Voilà on a prouvé que f est bijective...c'était laborieux. rires
Cordialement.
Hakentaon
Avec ca on peut déjà dire que G est injective et surjective donc bijective... Manque plus que le F!(FoG)o(Fog) injective =>( FoG )injective
(GoF)o(GoF) surjective => (GoF) surjective
On ne pourrait pas partir juste de la bijectivité de g pour démontrer celle de f?
si avec ca
G bijective <=> G-1 bigective
la composée d'une fonction bijective et surjective est surjective on a
gofogof surjective => g-1ogofogof = fogof surjective => f surjective
la composée d'une fonction injective et bijective est injective on a
fogofog injective =>fogofogog-1 = fogof injective => f injective !
je voulais juste faire toute la démo...^^
Merci j'ai tout compris c'était juste une question de rigueur en fait!
