Période de composées de fonctions périodiques

[Bleyblue]

Bonjour,

Quelqu'un peut il me dire comment faire pour savoir si une fonctions composée (à partir d'au moins une fonctions périodique) est périodique ?

Exemples :

f(x) = cos(x) + sin(x) périodique ?

f(x) = cos(x)sin(x) périodique ?

f(x) = x + cos(x) périodique ?

f(x) = xcos(x) périodique ?

f(x) = xtan(x) + x périodique ?

etc.. etc...

Je pense que pour qu'elles soit périodiques, toutes les fonctions élémentaires qui les composent doivent l'être (mais je ne suis pas sûr).

Et, pour celles qui le sont, pouvez vous me dire comment déterminer leur période (en sachant que cos(x), sin(x) -> T = 2pi, tg(x) -> T = pi)

Merci bcp pour votre aide,

Zazeglu

[Remaillle]

je pense effectivement que les fonctions elmentaires doivent etre périodiques. pour trouver ta periode tu poses f(x)=f(x+T) et tu essaies de trouver T....

[olle]

toute composée de fonctions périodiques est périodique (ppcm des périodes)

[vuibert]

toute composée de fonctions périodiques est périodique (ppcm des périodes)

Il faut quand meme que les periodes admettent un ppcm, ie il faut qu'elles soit rationellement liees. Par exemple, sin(x) + sin(racine(2) x) n'est probablement pas periodique.

[Bleyblue]

Ah bon, donc si je reprend l'exemple ci dessus :

cos(x) + sin (x) -> périodique
cos(x) sin(x) -> périodique

et tout les 3 dernières ne le sont pas ?

tu poses f(x)=f(x+T) et tu essaies de trouver T....

Je ne comprend pas bien comment , cela me donne par exemple pour la première

f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)

?

Merci

Zazeglu

[invite43219988]

f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)

cos(x+2*k*pi)=cosx
sin(x+2*k*pi)=sinx
Donc f(x+2*k*pi)=f(x)

[olle]

si t'as vraiment envie de t'amuser :

f(x + T) = cos(x + T) + sin(x + T)
= cos(x)cos(T)-sin(x)sin(T) + sin(x)cos(T)+cos(x)sin(T)
= cos(x)(cos(T)+sin(T)) + sin(x)(cos(T)-sin(T))
= cos(x) + sin(x)

ssi

cos(T)+sin(T) = 1
cos(T)-sin(T) = 1

ou

2*cos(T) = 2
2*sin(T) = 0

ou

cos(T) = 1
sin(T) = 0

soit T = k*2pi

[Jeanpaul]

Il n'y a pas de recette miracle.
Exemple : la fonction 4*(cos(x))^3 - 3*cos(x)
Elle paraît avoir gentiment la période 2 pi mais en fait, c'est le développement de cos(3x) et la période est 2 pi / 3 !
Il faut donc regarder de près !

[Bleyblue]

oui je voit en fait il faut réfléchire, mais il y a certains cas asser compliqué.

Comment feriez vous par exemple pour f(x) = cos(x)sin(x) et g(x) = sin(3x) = tg (2x) ?
J'ai essayé en distribuant le cosinus et le sinus pour f(x) et je suis tombé sur ça :

cos(x)sin(x)*[cos²(t) - sin²(t)] + cos(t)sin(t)[-sin²(x) + cos²(x)]



Merci

Zazeglu

[olle]

f(x) = cos(x)sin(x)
f(x+T) = cos(x+T)sin(x+T) = [cos(x)cos(T)-sin(x)sin(T)]*[sin(x)cos(T)+cos(x)sin(T)]
= cos(x)sin(x)cos²(T)+cos²(x)cos (T)sin(T)-sin²(x)sin(T)cos(T)-sin(x)cos(x)sin²(T)
= sin(x)cos(x)*(cos²(T)-sin²(T))+(cos(T)sin(T))(cos²(x )-sin²(x))
= sin(x)cos(x)

ssi

1) cos²(T)-sin²(T) = 1 ou 1-2sin²(T) = 1 ou sin²(T) = 0 ou sin(T) = 0 ou T = k*2pi
2) cos(T)sin(T) = 0 ou 1/2 sin(2T) = 0 ou 2T = k*2pi ou T = k*pi

on combine les 2 conditions pour obtenir T = k*2pi

[Bleyblue]

ah ben oui tient, suffisait de poser que l'un soit = à 0
Mais, pourquoi à tu pris T = 2pi plutôt que pi ?

Merci

Zazeglu

[olle]

les 2 conditions sont nécessaires en même temps, donc il faut les combiner entre elles afin d'en obtenir une unique qui satisfera automatiquement les 2 autres.

ici, pour être multiple de pi et de 2pi en même temps, il faut être multiple de 2pi.

[Bleyblue]

ok merci