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Garnet · 08/05/2008, 10h31

Bonjour,
Comment démontre-t-on que si deux matrices réelles sont unitairement semblables alors elles sont orthogonalement semblables?

J'ai essayé de chercher la matrice orthogonale comme combinaison linéaire de la partie réelle et la partie imaginaire de la matrice unitaire, mais comme la caractérisation de l'orthogonalité n'est pas définie que par une seule équation (contrairement à l'inversibilité) il n'est pas garanti qu'il existe une combinaison qui soit orthogonale.

Vous avez des idées?
Merci.

God's Breath · 08/05/2008, 11h34

Citation:

Envoyé par Garnet

Comment démontre-t-on que si deux matrices réelles sont unitairement semblables alors elles sont orthogonalement semblables?

Les mattrices réelles $A$ et $B$ sont unitairement semblables : il existe une matrice $U$ unitaire telle que $B = U^*AU$ , donc $B^* = U^*A^*U$ .
Tu en déduis l'existence d'une matrice réelle inversible $P$ , combinaison linéaire des parties réelle et imaginaire de $U$ telle que $B = P^{-1}AP$ et $B^*=P^{-1}A^*P$ , puis tu montres, en diagonalisant la matrice symétrique $P^t.P$ ( $P^t$ est la transposée de $P$ ), que $A$ et $B$ sont orthogonalement semblables...

Mathieu09 · 10/02/2009, 10h53

Bonjour,

Je suis sur le meme probleme (le monde est petit...), mais je ne vois pas comment conclure...
J'etais arrive a $B=P^{-1}AP$ et $B^t=P^{-1}A^tP$ , mais ensuite je vois pas comment arriver a $B=Q^tAQ$ avec $Q$ orthogonale.
Certes, $P^tP$ est diagonalisable dans une base orthogonale, mais apres...

Merci
Mathieu

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