probabilité et changement de variable

[phunk]

Bonjour à tous, j'ai vu il y a quelques jour le film "Las Vegas 21" eti l y a au début du film une scéne que je ne suis pas trop.
Un prof propose un jeu à son élève:
il y a 3 portes et derriere une porte se trouve une voiture.
il demande à l'éléve de choisir une porte et il choisi la premiere.
Le prof ouvre la troisieme et la voiture ne s'y trouve pas, il demande alors à son élève si il garde la meme porte ou si il change.
L'élève change en disant: lorsque j'ai choisi la premiére porte j'avais 33.3% de chance de tomber sur la bonne porte mais apré avoir ouvert la troisiéme porte si je change j'ai 66.7 % de chance de tomber sur la bonne.


Voila ou je ne comprend pas.normalment lorsque la troisiéme porte à été ouverte il ne devrait avoir ue 50% de chance de tomber sur la bonne.
Je n'arrive pas à comprendre son raisonnement.
Si quelqu'un peut m'aider sa serait sympa
Merci d'avance

[God's Breath]

Le serpent de mer refait surface...

Dans la situation initiale, on choisit une porte à 1 chance sur 3, et les trois portes sont équivalentes :
– la probabilité que la voiture soit derrière la porte choisie est de 33,33% ;
– la probabilité que la voiture soit derrière une autre porte est de 66,67%.

Le fait d'ouvrir une porte pour montrer qu'il n'y a rien derrière ne modifie en rien cette situation, sauf le fait que "une autre porte" désignait au départ "une autre porte parmi deux, et que maintenant cela désigne "la porte non choisie et non ouverte", c'est-à-dire :
– la probabilité que la voiture soit derrière la porte choisie est de 33,33% ;
– la probabilité que la voiture soit derrière la porte non choisie et non ouverte est de 66,67%.
En changeant son choix, on double ses chances.

[phunk]

donc en fait meme si on ouvre une porte entre temps, la "répartition" des probabilité reste la meme ?

[phunk]

Et donc en fait le premier choix intervient directement.
Donc si en fait on choisit en premier la bonne porte, par la suite les proba nous disent de changer de portes ce qui pourrait nous faire perdre?

[God's Breath]

Et donc en fait le premier choix intervient directement.
Donc si en fait on choisit en premier la bonne porte, par la suite les proba nous disent de changer de portes ce qui pourrait nous faire perdre?

Oui, les probas nous font perdre dans le cas sur 3 où l'on a choisi la bonne porte. Dans ce cas le "professeur" a le choix de la porte qu'il ouvre, et ne donne en fait aucun renseignement.

Si l'on a choisi une mauvaise porte, le "professeur" est obligé d'ouvrir la "mauvaise porte" et d'indiquer de ce fait la "bonne porte".

Changer de porte est la seule façon de tenir compte de l'indication donnée par le "professeur".

Le problème est que l'on ne sait pas si le "professeur" a ouvert la porte sous la contrainte...

[phunk]

ok je comprend bien le truc mais c'est un concept un p bizarre à aborder.
Merci en tout cas et a bientot

[loucam]

Je ne comprend pas... on a 33% de chances au départ. le prof ouvre une mauvais porte. cette port qui valait 33% elle aussi "distribue" en principe la moitié des chances qu'elle représente à chaque autre porte. ce qui fait 50% chacune. Si ce raisonnement est faux ou est mon erreur? Est-ce que le fait que le professeur connaisse la bonne porte influe sur les résulats?

[loucam]

Pourquoi est-ce la seule facon de "tenir compte de l'indication donnée par le professeur"? celui ci ne nous donne aucune indication en nous disant que "l'une des deux portes non choisie est fausse (ne cache pas la voiture)" cela est evident. Il nous dit juste que c'est la pporte 2... aucun iterret? si?

[michelvar]

Reprenons depuis le début. Au début, on a 2 chances sur 3 de se tromper. Donc si on veut tenir compte des probabilité, lorsqu'on choisi une porte on doit partir du principe qu'on s'est trompé.

L'animateur a donc le choix entre ouvrir la bonne porte, ce qu'il ne peut pas faire, ou ouvrir la mauvaise. Il ouvre donc la mauvaise, désignant ainsi la bonne.

Les 66,7% de chances viennent donc du début, du premier choix, pas du second. On part du principe qu'on s'est trompé lors du premier choix, et on a raison car on a 66,7% de chance de s'être trompé. Une fois cette option prise, il n'y a plus de question de statistique : si on s'est trompé de porte au début, alors la porte qui reste est la bonne à 100%. Si on a choisi la bonne porte au début, alors la porte qui reste a 0% de chances d'être la bonne.

La probabilité de gain vient donc du premier choix. Ensuite il n'y a plus de chnagement de cette probabilité, car lorsque l'animateur ouvre une porte et qu'on choisi de mettre les proba de son coté, soit on avait choisi la bonne porte au début (33,3% de chance), on change et on a perdu, soit on avait choisi la mauvaise (66,7%), on change et on a gagné.

Cette stratégie donne donc 33,3% de perdre et 66,7% de gagner. Alors que maintenir son choix donne le résultat inverse.

[robocop_]

Bon, aller, moi aussi, j'ai vu le film, et ça m'a étonné cette histoire.
En plus, lors de mon premier message sur le forum, je me suis pris un blame pour publicité pour mon site, donc, il faut que je me rattrape !

J'ai créé un code php qui joue 100 000 fois au jeux, en faisant les deux possibilités : "changement de variable" ou pas de "changement de variable".

 Cliquez pour afficher

<?php

/*
* Initialisation des variables
*/
$sans_changement = 0;
$avec_changement = 0;
$tours_max = 100000;

for($tour=1; $tour<=$tours_max; $tour++)
{

//---//
//Coté TF1, on va générer le jeu
//Le tableau a 3 cases
$tableau = array(0, 0, 0);
//On en prend une au hasard;
$tableau[mt_rand(0, 2)] = 1;
//0 est une chèvre, 1, une voiture
//---//




//---//
//Coté joueur, il choisit une case entièrement au hasard
$choix = mt_rand(0, 2);
//Le présentateur retire une case, qui n'est pas celle qui l'a choisit, ni celle qui contient la voiture
$case_a_retirer = 0;
for($i=0; $i<=2; $i++)
{
if($i!=$choix AND $tableau[$i]!=1)
{
$case_a_retirer = $i;
}
}
unset($tableau[$case_a_retirer]);

//On remet le bon choix par rapport au tableau : si il avait choisit 2, son choix devient 2.
if($choix==2) $choix=1;

if($tableau[$choix]==1) //Si le joueur ne fait pas de changement de variable
$sans_changement++;
else //Sinon, si le fait, et que ça fonctionne
$avec_changement++;
//---//
}
$pourcentage_sans_changement = ($sans_changement*100)/$tours_max;
$pourcentage_avec_changement = ($avec_changement*100)/$tours_max;
echo "Sans changement de variable : $pourcentage_sans_changement % de chance de gagner la voiture
";
echo "Avec changement de variable : $pourcentage_avec_changement % de chance de gagner la voiture";
?>

Résultat ?
Sans changement de variable : 33.394 % de chance de gagner la voiture
Avec changement de variable : 66.606 % de chance de gagner la voiture

Et oui, comme l'explique michelvar, ça se tient !
@++

[tartpion]

Il me semble que le prof du film comme l'élève s'est trompé! d'aprés mes souvenirs de probas en TS, il s'agit tout simplement d'un problème de probas conditionnelles. Si on note D, M, G respectivement les évènement "la voiture est derrière la porte de droite ", "la voiture est derrière la porte du milieu ", rt "la voiture est derrière la porte de gauche " on a au début p(D)=p(M)=p(G)=1/3. La personne qui choisit D a donc 33,33% de chance de gagner la voiture. De plus, aprés l'indication de l'animateur, on doit calculer p( D sachant nonG ) c'est à dire la proba que la voiture soit derriere D sachant qu'elle n'est pas derriere G. On a donc : p( D sachant nonG ) = p(D inter nonG)/p(nonG) = (1/3)/(2/3) = 1/3*3/2 = 1/2 = 50% car "D inter nonG" c'est la même chose que D puisque D est inclus dans nonG.
Un preuve supplèmentaire (bien qu'inutile avec ce qui précède) de l'erreur du prof et de l'élève est qu'en suivant leur raisonnement si la personne change en prenant M au lieu de D il a 66,66% de gagner la voiture, mais on aura aussi dans le cas où il avait choisit M au départ une proba de 66,66% en prenant D au lieu de M ce qui est absurde car aprés l'indication de l'animateur il n'y a que 2 cas possibles pour gagner M ou D et la somme de leur probas feraient plus de 100% !!!!!!
J'espère avoir été assez clair (surtout pour la première partie ...).

[jdb222]

Wow j'en reviens pas que j'ai du m'enregistrer juste pour repondre a ca, mais je pouvais pas laisser ca comme ca. Vous vous compliquez bien trop la tete pour expliquer une chose simple. bien sur la preuve mathématique est une bonne explication si on est deja habile en math, mais pour la pluspart du monde cette explication conviens mieu. Avec un dessin c toujours plus facile :

Supposez 3 portes :
[]
[]
[]

X = la voiture
C = une chevre

C = Porte choisie
P = ouverte par le professeur

Il y a donc 3 types de sénario possibles a supposer qu'on choisit la meme porte les 3 fois pour simplifier la chose:

Senario 1 on perd si on change de porte
[X] C
[O] P
[O]


Senario 2 on gagne si on change de porte
[O] C
[X]
[O] P


Senario 3 on gagne si on change de porte
[O] C
[O] P
[X]

Donc, dans 2 cas sur 3, il est préférable de modifier son choix.

Finalement, au moment de choisire de changer de porte ou non, les prob sont a 66% de gagner si on change de porte. Par contre au total, la probabilité est de 50%. Parce que finalement il aura fallu choisir entre 2 portes

[loup2684]

Bonsoir à tous,

Tout dépend de la manière dont on interprète le problème:
-Lors du premier choix, il est clair que nous avons 1/3 de gagner.
-Ensuite, en prenant en compte l'action du commentateur et en prenant également en compte que le premier choix peut être le bon alors on arrive à 50% comme l'a démontre tartpion avec ses souvenirs de TS.
A noter que cette solution est mathématiquement la plus juste.

Cependant, si on fait entrer comme paramètre l'avis du héros du film qui part du postulat que les statistiques donnent toujours raison, alors le résultat n 'est pas le même car en effet, il part du principe que son premier choix est forcément faux (2/3 de se tromper).
Aussi, il y a donc 66.7% de chance que la bonne réponse soit dans les deux autres portes.
On ne prend pas en compte l'action du commentateur en imaginant que son action a été faite au hazard comme le professeur du film l'a dit)
en changeant de porte on a 66.7% de chance de gagner.

Pour conclure,
Sur une session de jeu, il faut prendre en compte la possibilité que les statistiques ne donnent pas forcément raison, ce que la solution de tartpion prend en compte car part du principe que le premier choix peut être le bon malgré le 1/3.

Cependant, il est certain d'une chose c'est que plus le nombre de session tendra vers l'infini et plus on rapprochera des 66.7% car sur la durée les statistiques donnent raison.

La réponse du jeune homme Héros de ce film est venue du fait qu'il part du principe qu'il fait confiance aux statistiques et dans ce cas, sa réponse est juste car il n'a pas omis d'énoncer cette hypothèse:
"Je fais confiance aux statistiques"

Merci de me faire part de vos avis.

[mikealfaromeo]

Bonjour,
Un an après, je viens de voir le même film(Las Vegas...etc. Voir le début de la discussion);
Voici ma réponse au problème.
Il s'agit en réalité de savoir dans quelle mesure il est intéressant pour le candidat de changer son choix après l'intervention du présentateur (et d'augmenter ainsi ses probabilités de gain (66%))
La réponse réside, non pas tant dans une répartition nouvelle des probabilités du choix du candidat mais par l'immixtion d'un paramètre extérieur déterminant, en l'occurrence, le fait que parce que nous sommes dans l'univers des jeux télévisés, il est presque certain que le choix "apparent" du présentateur n'est aucunement dû au hasard!!!
Reprenons: Dans l'hypothèse où le candidat a fait d'emblée le bon choix (33%), s'il en change, il perd. Mais dans l'hypothèse où il fait le mauvais choix (66%), il est presque certain que le geste de l'animateur lui indiquera indirectement la bonne porte (par défaut, en ouvrant l'autre) parce que, dans le cas contraire, l'intensité dramatique du moment (le "deuxième choix" du candidat) se volatilise. Et ce sont ces 66% là que l'on retrouve, comme miraculeusement, dans la possibilité offerte au candidat de modifier son choix. En résumé, il a 66% de chances de se tromper lors du premier choix, et dans cette perspective, il y a 100% de chances pour que l'animateur lui indique la bonne porte.
Si l'on change alors les données du problème, le mystère de ces 66% s'évanouit.
En effet voici l'énoncé reformulé:
En admettant que l'option "mauvais choix" vous fasse gagner à coup sûr (via l'intervention du présentateur) et que l'option "bon choix" vous fasse perdre à coup sûr, combien avez-vous de chances de désigner la bonne porte en changeant systématiquement votre choix à la deuxième demande?
Réponse: 2 mauvais choix possibles à la première demande = 100% réussite (car changé nécessairement suivant les indications du présentateur vers le bon choix), 1 bon choix = échec (car changé à la seconde demande). Total: 2 chances sur 3 , soit 66%!!!!
PS: on peut aussi faire une sorte de démonstration par l'absurde en imaginant que le présentateur choisisse vraiment par hasard, ce qui revient à dire qu'il serait d'une certaine manière un second candidat qui aurait, lui, l'obligation d'ouvrir la porte de son premier choix, laissant alors naturellement, en cas d'échec, le premier candidat devant un second choix "inaltéré", 50/50.

[mikealfaromeo]

...Pour être encore plus clair:
Lors de son premier choix le candidat a 66% de chances de se tromper et "force" alors le présentateur (qui ne peut naturellement ouvrir la porte "Voiture"au risque de voir l'intensité dramatique de son émission diminuer) à lui désigner indirectement la bonne porte (en ne l'ouvrant donc pas). Dans ce cas de figure (donc les 66% de probabilité d'erreur de son choix), changer de choix (et opter pour la porte restante) équivaut à gagner. Dans le cas où son premier choix était le bon (33%), changer de choix équivaut évidemment à perdre, quelle que soit l'intervention du présentateur. En somme, à considérer bien entendu et seulement dans ce cas de figure que l'on accepte l'idée que le présentateur ne peut lui-même dévoiler la voiture, il y a 66% de chances que le changement de choix soit payant, toutes hypothèses envisagées. C'est dans ce cas de figure (l'obligation du présentateur de désigner la bonne porte dans 66% des cas) que réside le fameux "changement de variable". On pourrait alors reformuler la question comme suit:
Considérant que dans le contexte dans lequel vos choix interviennent, le présentateur n'ouvrira jamais la porte "Voiture", combien avez-vous de chances de voir le présentateur vous désigner la bonne porte (par défaut) pour un second choix ? Réponse: seulement dans le cas où vous vous êtes trompé au départ, soit 66% des cas!