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suite d'entier definie par recurrence

  1. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    suite d'entier definie par recurrence

    comment donner une expression explicite (utilisant les suites usuels)de la suite suivante:

    U0=2 et pour tout n > 0 : 2^[U(n)]=U(n+1)

    -----

    Dernière modification par smt ; 16/02/2005 à 16h07.
     


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  2. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
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    1 796

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Tout d'abord bonjour.
    Ensuite, regarde ce qui se passe pour les premiers termes:
    u(0)=2
    u(1)=2²=4
    u(2)=4²=16=(2²)²=2^(2*2)
    u(3)=16²=2^(2*2*2)

    En fait on voit bien que u(n)=2^(2^n)
    Et ca se montre par recurrence très facilement...
     

  3. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    nous ne discutons pas de la meme suite on a en fait :
    U(1)=2^U(0)=2^2=4
    U(2)=2^U(1)=2^4=16
    U(3)=2^U(2)=2^16=65536
     

  4. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
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    33
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    1 796

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Au temps pour moi, mais le principe est le même.
     

  5. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    si j'ai compris le principe reside dans l'observation des premiers termes puis on pose une relation liant U(n) et n.Mais la je ne vois pas.
     


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  6. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
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    10 637

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Tu vois :

    U1=4
    U2=16
    U3=65536

    tu vois que ce sont des puissances de 2 donc :

    U1=2^2
    U2=2^4
    U2=2^16

    tu vois que les exposants également sont des puissances de 2 :

    U1=2^(2^1)
    U2=2^(2^2)
    U2=2^(2^4)

    tu vois que les exposants intérieurs sont des puissances également de 2 :

    U1=2^(2^(2^0)
    U2=2^(2^(2^1)
    U3=2^(2^(2^2)

    tu vois que les exposants finaux suivent une même suite que les n, simplement décalés d'1 donc :

    U1=2^(2^(2^(1-1))
    U2=2^(2^(2^(2-1))
    U3=2^(2^(2^(3-1))
    Un=2^(2^(2^(n-1))

    [ce qui ne joue pas pour n=0]


    Tu pouvais également suivre un autre raisonnement :

    U1=4
    U2=16
    U3=65536

    tu vois que ce sont tous des carrés donc :

    U1=2^2
    U2=4^2
    U3=256^2

    tu vois que les bases sont toutes des puissances de 2 donc :

    U1=(2^1)^2
    U2=(2^2)^2
    U3=(2^8)^2

    tu vois que les exposants intérieurs sont tous des puissances de 2 donc :

    U1=(2^(2^0))^2
    U2=(2^(2^1))^2
    U3=(2^(2^3))^2

    tu vois que la suite 0-1-3 est similaire à la suite 1-2-4 donc :

    U1=(2^(2^(1-1)))^2
    U2=(2^(2^(2-1)))^2
    U3=(2^(2^(4-2)))^2

    Tu vois ques les 1-2-4 sont des puissances de 2 donc :

    U1=(2^(2^(2^0-1)))^2
    U2=(2^(2^(2^1-1)))^2
    U3=(2^(2^(2^2-2)))^2

    Tu vois que les bases les plus intérieures suivent comme les n :

    U1=(2^(2^(2^(1-1)-1)))^2
    U2=(2^(2^(2^(2-1)-1)))^2
    U3=(2^(2^(2^(3-1)-2)))^2
    Un=(2^(2^(2^(n-1)-2)))^2

    Ce qui après simplification donne le même résultat que dans l'autre raisonnement.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  7. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Les deux suites ainsi dététerminer sont distinctes (au rang n=3 par exemple) et de plus differente de la suite cherchée.
    Ceci a partir du rang n=4 pour : Un=2^(2^(2^(n-1))
    =2^(2^(2^(4-1))
    = 2^(2^(2^(3))
    =2^256
    a partir du rang n=3 pour : Un=(2^(2^(2^(n-1)-2)))^2
    =(2^(2^(2^(3-1)-2)))^2
    =(2^(2^(2^(2)-2)))^2
    =(2^(2^(2)))^2
    =256

    or pour la suite cherchée : U(3)=2^U(2)=65536
    U(4)=2^65536

    d'ou la difference avec les resultats proposés.
     

  8. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
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    Suisse
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    33
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    10 637

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    ah ! heu... je ne me suis basé que sur n=1, n=2, n=3... comme tu as pu voir.

    revoyons donc :

    U0=2 et pour tout n > 0 : 2^[U(n)]=U(n+1)

    U0=2

    U1=4
    U2=16
    U3=65536
    U4=4294967296

    U1=2^2
    U2=2^(2^2)
    U3=2^(2^(2^2)
    U4=2^(2^(2^(2^2)
    ...

    mais après... gloup...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  9. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Désolé mais U(4)=2^65536
    = 2^(2^16)
    =2^(2^2*2^14)
    =(2^(2^2))^(2^14)
    =16^16384 car 2^14=16384
    >10^16384
    donc U(4) contient au moins 16384 chiffre.
    Tu a fait 65536^2=4294967296.
    Le probleme de cette suite reside dans la difficuté a calculer ses termes pour observer son comportement.
     

  10. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
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    Suisse
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    33
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    10 637

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    oups !

    mais après... comment faire ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  11. smt

    Date d'inscription
    février 2005
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    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Je ne sais pas........
     

  12. smt

    Date d'inscription
    février 2005
    Messages
    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    En cour je n'ais appri que la résolution des suite définie par recurrence qui vérifie une equation lineaire.Mais ici l'equation n'est pas lineaire,d'ou la difficulté.Peut étre en trouvant un morphisme de structure de monoide on pourrais résoudre.
     

  13. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Salut,

    pourquoi ne pas étudier la suite Vn=log(Un)?
     

  14. smt

    Date d'inscription
    février 2005
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    42

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Je ne compremd pas pourquoi utiliser le logarithme decimal pour résoudre ce probleme ?
     

  15. martini_bird

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Paris
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    6 910

    Re : suite d'entier definie par recurrence

    Autant pour moi, j'ai répondu un peu vite.

    En fait, U_n=2^(2^(2^(2^(...))...) où les 2 apparaissent n fois.

    Je ne sais pas si on peut trouver une expression "plus simple". :confused:

    En tout cas, je ne vois pas.

    Cordialement.
     


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